Система параллельных сил

1. Система параллельных сил

Занятие №2

2. Система двух параллельных сил

Пусть у нас есть две
приложенные к твердому телу
параллельные силы Р1 и Р2,
направленные в одну сторону
Из теории скользящих векторов
известно, что они имеют
равнодействующую Р,
направленную в ту же сторону и
равную по модулю
Р = Р1 + Р2
При этом линии действия этих
сил будут пересекать любой
непараллельный им отрезок в
таких точках А, В, С, что
справедливы соотношения:
P1
P2
P
BC AC AB

3. Система двух антипараллельных сил

Пусть у нас есть две
приложенные к твердому телу
параллельные силы Р1 и Р2,
направленные в разные стороны
Из теории скользящих векторов
известно, что они имеют
равнодействующую Р,
направленную в ту же сторону,
что и большая сила, и равную по
модулю
Р = |Р1 - Р2|
При этом линии действия этих
сил будут пересекать любой
непараллельный им отрезок в
таких точках А, В, С, что
справедливы соотношения:
P1
P2
P
BC AC AB

4. Система нескольких параллельных сил

Пусть имеется система n
параллельных сил Pi,
направленных в одну сторону и
приложенных в точках с радиусвекторами ri
Для нее справедливы следующие
соотношения:
•равнодействующая всех сил
направлена в ту же сторону и ее
модуль равен
n
P Pi
i 1
n
•точка приложения
Pr
i i
равнодействующей определяется
rc i n1
радиус-вектором
P
i 1
i

5.

Для системы параллельных сил, направленных в разные
стороны, величину равнодействующей и точку ее
приложения определяют следующим образом:
• Разделяют все силы на две группы, направленные в
одну сторону каждая
• Для каждой из групп определяют равнодействующую и
точку ее приложения
• Заменяют каждую группу равнодействующей со своей
точкой приложения, после чего рассматривают систему
двух антипараллельных сил
В случае, когда модули равнодействующих в группах
окажутся равными, а их точки приложения совпадут,
система сил будет находиться в состоянии равновесия.

6. Порядок решения статической задачи для системы параллельных сил.

• Изобразить все силы, действующие на тело,
включая реакции опор и связей.
• Разделить силы на две группы, направленные в
разные стороны, найти равнодействующую
каждой группы и приравнять их
• Ввести координатную ось Ох перпендикулярно
линиям действия сил, рассчитать координаты
точек приложения равнодействующей каждой
группы и приравнять их между собой
• Решить полученную систему двух уравнений

7. Задача №1

Однородный стержень АВ,
длина которого 1 м, а вес
20 Н, подвешен
горизонтально на двух
параллельных веревках
АС и BD. К стержню в
точке Е на расстоянии
АЕ=0,25 м подвешен груз
Р=120 Н. Определить
натяжения веревок ТС и
TD

8.

Решение задачи начинается с
расстановки всех сил,
действующих на стержень
АВ. Такими являются:
• силы натяжения веревок TC и
TD,
• вес груза Р
• вес самого стержня Q,
который приложен в его
центре (по условию задачи он
равен 20 Н)
Согласно общему методу решения
a) находят равнодействующие сил, направленных вниз и вверх и
приравнивают их между собой.
В данном случае вниз направлены силы Р и Q, вверх – TC и TD,
поэтому первое уравнение выглядит так:
P + Q = TC + TD

9.

b) находят координаты точек
приложения равнодействующих и
тоже приравнивают их между
собой.
Для определения координат вводится
координатная ось Ах
координата точки приложения
равнодействующей, направленной
вниз
A E P ( A B / 2) Q
x1
P Q
координата точки приложения
равнодействующей, направленной
вверх
0 TC A B T D
x2
TC T D
Знаменатели обоих выражений оказались равными между собой
(первое уравнение), поэтому второе уравнение можно записать в
следующем виде:
0 TC + AB TD = AE P + (AB/2) Q

10.

После подстановки численных значений система
уравнений принимает вид
TC TD 120 20
0 TC 1 TD 0, 25 120 0,5 20
Отсюда
TC TD 140
TD 40
Окончательно TC= 100 Н, TD= 40 Н

11. Пара сил.

Если модули двух параллельных
противоположно направленных сил
равны друг другу, то такой частный
случай системы параллельных сил
называется парой сил.
Действие пары сил на твердое тело
характеризуется ее моментом
L p F
где F – одна из сил, входящих в пару, р
– вектор, направленный из точки
приложения второй силы, входящей
в пару, в точку приложения силы F.

12.

• Момент пары является свободным вектором, т.е. его можно
поместить в любую точку тела. Если известна величина момента,
то, выбрав произвольно один из элементов пары (силу или
плечо), можно найти второй из условия постоянства момента.
• Действие любого числа пар сил на тело эквивалентно действию
одной пары, момент которой равен векторной сумме моментов
всех пар.
• В случае плоской системы сил векторное суммирование
заменяется алгебраическим: выбирается какое-либо направление
вращения (по или против часовой стрелки) и объявляется
положительным; тогда моменты, вращающие тело в том же
направлении, считаются положительными, а в противоположном
– отрицательными. Суммирование моментов происходит со
своими знаками.
• Также в плоском случае модуль момента можно вычислить,
умножив модуль силы, входящей в пару, на плечо пары расстояние между линиями действия сил пары.

13. Действия при решении задачи с моментами

• Прежде чем решать задачу, необходимо разделить
момент на две силы
• Направление этих сил определяется так, чтобы они в
паре вращали систему также, как исходный момент
• Точки приложения этих сил определяется из
соображений удобства решения задачи
• Величина сил определяется из того условия, что
созданный ими момент окажется равен исходному
моменту: величина исходного момента делится на
расстояние между точками приложения новых сил.
• Дальнейшее решение проводится аналогично
рассмотренной ранее задаче

14. Задача №2

На консольную горизонтальную балку действует пара сил
с моментом М=6 кН м, в точке С приложена
вертикальная нагрузка Р=2 кН. Длина пролета балки
АВ=3,5 м, вынос консоли ВС=0,5 м. Определить
реакции опор.

15. Силы, действующие на балку

• сила Р, действующая на
конец балки,
• реакции опор А и В
• две равные по модулю и
противоположные по
направлению силы Р1 и Р2,
образующие пару с моментом М
Эти две силы прикладывают в точках А и В, причем направления их
выбирают так, чтобы оно соответствовало направлению момента.
Величина этих сил определяется из того условия, что их момент
должен равняться моменту, заданному в условии задачи
M P1 AB;
6 P1 3,5;
6
P1
кН
3,5

16.

Дальнейшее решение
происходит как в
предыдущей задаче.
Выбирается координатная
ось Х с началом в точке А и
составляются два равенства:
для равнодействующих,
направленных вверх и вниз,
и для их точек приложения.
Первое равенство RA P1 RB P P2
Второе равенство
0 RA 0 P1 AB RB AC P AB P2
Подстановка и решение
6
6
RA 3,5 RB 2 3,5
3,5 R 4 2 3,5 6
B
3, 5
RA RB 2
3,5 RB 14
RA 2 кН
RB 4 кН

17. Распределенная нагрузка.

Частным случаем параллельной
системы
сил
является
так
называемая
распределенная
нагрузка, когда действующая на
тело сила действует не в одной
точке,
а
распределена
по
некоторой площади или отрезку
Для такой нагрузки задается уже не
величина, а интенсивность
нагрузки – сила на единицу
длины (площади) q(x).
Чтобы рассчитать равнодействующую и координату точки ее
приложения, поступают следующим образом. Весь отрезок, на
который действует нагрузка, делят на маленькие участки dxi,
каждый из которых имеет координату xi. На каждый из них
действует сила fi=q(xi) dxi. Все эти силы направлены в одну
сторону

18.

Далее применяют уже известные формулы для
равнодействующей и координаты точки ее приложения.
При этом суммирование в них заменяется
интегрированием по отрезку АВ:
xB
xB
P q( x)dx;
xA
xc
x q( x)dx
xA
xB
q( x)dx
xA
При решении задач, в которых встречается
распределенная нагрузка, необходимо прежде всего
заменить все распределенные нагрузки
сосредоточенными силами со своими точками
приложения. Эти силы и точки приложения
определяются по вышеуказанным формулам.

19. Задача №3

Балка АВ длины l м несет распределенную нагрузку,
показанную на рис. 2.7. Интенсивность нагрузки равна
q Н/м на концах А и В балки и 2q Н/м в середине балки.
Пренебрегая весом балки, найти реакции опор В и D.

20.

Решение задачи начинается с
введения координатной
оси Ах.
Далее необходимо заменить
все распределенные
нагрузки
сосредоточенными со
своими точками
приложения:
xB
xB
F q( x)dx;
xF
xA
x q( x)dx
xA
xB
q( x)dx
xA
В рассматриваемой задаче равнодействующая распределенной
нагрузки равна площади, ограниченной границей нагрузки:
l 3ql
1
F 2 ( q 2q )
2
2
2

21.

• В силу симметрии
распределенной нагрузки
точка приложения
равнодействующей –
середина балки С
• Также необходимо
указать реакции опор
• После этого необходимо составить уравнения для
равнодействующих и точек их приложения вверх и вниз
RD RB F
l
l
RD l RB F
4
2
• Подстановка и
решение дают
3ql
RD RB 2
l R l R l 3ql
B
4 D
2 2
3ql
RD RB
2
RD 4 RB 3ql
ql
RB
2
RD ql

22. Задача №4 (определение положения твердого тела)

Два стержня АВ и ОС, вес единицы длины которых равен
2р, скреплены под прямым углом в точке С. Стержень
ОС может вращаться вокруг горизонтальной оси О;
АС=СВ=а; ОС=b. В точках А и В подвешены гири, веса
которых Р1 и Р2, причем Р2>Р1. Определить угол
наклона стержня АВ к горизонту .

23.

• На систему стержней
АВ и ОС действуют
следующие силы
• Так как вверх действует
только одна сила,
приложенная в точке О,
то равнодействующая
всех сил, действующих
вниз, приложена также в
точке О
• Согласно условию задачи,
РАВ= 2а 2р = 4ра; РСО= 2рb.
• Введем координатную ось Ох, направленную горизонтально.
• Тогда
P1 x A P2 x B 4 pax c 2 pbx K
0
P1 P2 4 pa 2 pb

24.

На рисунке хорошо видно:
• xC=-b sin ; xK=-0,5b sin ;
• xA=xC - a cos =-b sin - a cos ; xB=xC + a cos =-b sin + a cos .
После подстановки координат в исходное уравнение и
приравнивания нулю числителя дроби получается соотношение
для угла :
откуда
P1(-b sin - a cos )+P2(-b sin + a cos )+
+4pa(-b sin )+2pb(-0,5b sin ) = 0
a
P2 P1
tg
b P1 P2 p (4a b)