Система параллельных сил

1.

Новосибирский Государственный Архитектурно-Строительный
Университет (Сибстрин)
ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ.
СТАТИКА
ЛЕКЦИЯ 3.
СИСТЕМА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ
Кафедра теоретической механики

2. План лекции

Теория – это некоторым образом
квинтэссенция практики.
Л. Больцман
Введение
Определение системы параллельных сил
Теорема о равнодействующей двух сил, направленных в одну
сторону
Равнодействующая системы сил, направленных в одну
сторону
Равнодействующая двух сил, направленных в
противоположные стороны
Условия равновесия системы параллельных сил
Распределенная нагрузка
Заключение

3. На предыдущих лекциях

СТАТИКА
основны
е
понятия
аксиомы
система
сходящихся сил
ВВЕДЕНИЕ

4. Цель лекции

Научиться решать задачи о
приведении и равновесии для
системы параллельных сил.
ВВЕДЕНИЕ

5. Практические примеры

ВВЕДЕНИЕ

6.

система сил, линии действия которых
параллельны, а главный вектор
отличен от нуля, называется системой
параллельных сил
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИСТЕМЫ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ

7.

Пусть даны силы
F1и F2
Докажем, что такая система сил имеет
равнодействующую.
Q
Добавим уравновешенную систему сил
Q, Q ; Q Q
Q
Система cил F , Q
1
и система cил F , Q
2
B
A
F1
F2
удовлетворяют третьей аксиоме статики.
РАВНОДЕЙСТВУЮЩАЯ ДВУХ СИЛ, НАПРАВЛЕННЫХ В ОДНУ СТОРОНУ

8.

Значит, у каждой из этих систем сил есть
равнодействующая
F
,
Q
F1, Q R1; 2 R2;
R1 F1 Q ; R2 F2 Q ;
R1
Силы R1 и R2
можно перенести вдоль
линий действия.
Силы приложенные в
одной точке имеют
равнодействующую
:
R R1 R2 F1 F2
Q Q F1 F2
0
A
R1
C
R2
B
D
R
R
Что и требовалось доказать.
РАВНОДЕЙСТВУЮЩАЯ ДВУХ СИЛ, НАПРАВЛЕННЫХ В ОДНУ СТОРОНУ
R2

9.

Треугольники подобны: ACD ~ R 1 F1 Q
BCD ~ R 2 F2 Q
следует:
Из подобия
F1 Q
F1 AD Q CD (1)
CD AD
F2 Q
F2 BD Q CD (2)
CD BD
Линия действия равнодействующей
делит отрезок, концами
F1 F2 R
которого
являются точки
двух параллельных сил,
приложения
Докажем также:
BD пропорциональном
AD AB
в отношении, обратно
величинам сил.
R F1 F2 Q Q
AB Q
AD
BD
(1)+(2):
Q
CD CD CD
F AD FBD AD
R BD AD BD
CD Q AD F1 F1 F2
BD AD AB
AB AD BD AD BD BD AD
R
1
2
РАВНОДЕЙСТВУЮЩАЯ ДВУХ СИЛ, НАПРАВЛЕННЫХ В ОДНУ СТОРОНУ

10.

Замечания:
1. MD F1 MD F2 0
2. Пусть прямая AB является осью координат
F1
AD xR x1
BD x2 xR
F1
F2
BD AD
F2
x2 xR xR x1
F1 x1 F2 x2 F1 x1 F2 x2
xR
F1 F2
R
A
O
D
B
x
F2
F1
R
РАВНОДЕЙСТВУЮЩАЯ ДВУХ СИЛ, НАПРАВЛЕННЫХ В ОДНУ СТОРОНУ

11.

Пусть дана система параллельных сил,
направленных в одну сторону.
Находим равнодействующие
параллельных сил, взятых
по две:
F1 x1 F2 x2
x1, 2
;
R1, 2
R1, 2 F1 F2 ;
x1,2,3
x
x
2
x1 1,2
O
F1
F2
R1, 2
R1, 2 x1, 2 F3 x3 F1 x1 F2 x2 F3 x3
x1, 2, 3
;
R1, 2, 3
R1, 2, 3
R1, 2, 3 R1, 2 F3 F1 F2 F3 ;
РАВНОДЕЙСТВУЮЩАЯ ДВУХ СИЛ, НАПРАВЛЕННЫХ В ОДНУ СТОРОНУ
x3
F3
R1, 2, 3
x

12.

Точка приложения равнодействующей системы N сил
определяется по индукции:
R1, , N 1 x1, , N 1 FN x N
x1, ,N
R1, , N 1 FN
N 1
N
i 1 Fi xi FN xN i 1 Fi xi
;
N 1
R1, , N
i 1 Fi FN
O
N
i 1
Fi yi
y1, ,N
;
R1, , N
F1
F2
z
N
R1, , N i 1 Fi ;
x3
x2
x1
xi xN
F3
y1
Fi
x
FN
y2
y
x2
x1
x
F1
F2
F
Fi N
РАВНОДЕЙСТВУЮЩАЯ ДВУХ СИЛ, НАПРАВЛЕННЫХ В ОДНУ СТОРОНУ

13.

Равнодействующая двух параллельных сил,
направленных в противоположные стороны.
F1
R F1 F2 ;
F2
R
BD AD AB
Пусть даны силы
F2 F1 ;
F1 и F2
F1
A
D B
F1
Докажем, что они имеют
равнодействующую
R F2 F1 ;
F1
F2
R
BD AD AB
РАВНОДЕЙСТВУЮЩАЯ ДВУХ ПРОТИВОПОЛОЖНО НАПРАВЛЕННЫХ
R
D
R
F2

14.

Выберем точку D на прямой AB так, что
F1
F2
BD AD
Добавим уравновешенную
систему сил R и R1 :
F2
R1
R R1; R1 F2 F1
F
D
1
R
B
F
Силы 1 и 1 параллельны и
A
направлены в одну сторону.
Следовательно, имеют
F1 R1
R
равнодействующую,
BD AB
приложенную в точке B .
F2
F
R
F
F
F
R
F
1
1
2
Так как 2 2 1 1
BD AB AD
Силы F1 и F2 образуют уравновешенную систему сил.
Отбрасываем.
Что и требовалось доказать.
РАВНОДЕЙСТВУЮЩАЯ ДВУХ ПРОТИВОПОЛОЖНО НАПРАВЛЕННЫХ

15.

Равновесие произвольной системы параллельных сил
РАВНОВЕСИЕ ПРОИЗВОЛЬНОЙ СИСТЕМЫ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ

16.

Дана система параллельных сил
G1
G
1
G
z
G2 Gi GM
G2
Gi M
y
F1
F
Fi N
F2
x
F1
G1
G
Gi M
G2
F2 F FN
i
x
z
F1
y
F2 F F
i
N
РАВНОВЕСИЕ ПРОИЗВОЛЬНОЙ СИСТЕМЫ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ

17.

Каждую из этих систем сил заменим равнодействующей
z
xB
G
yB
yA
B
xA
A
F
x
N
Fi xi
i 1 Fi yi
N
xA
; F i 1 Fi ;
; yA
y
F
F
M
M
i 1Gi xi
i 1Gi yi
xB
; yB
;
G
G
N
i 1
1. G F ; 2.x. yB yA; 2.y. xA xB;
N
M
N
N M
1. Gi i 1 Fi i 1Gzi i 1Fzi i 1 Fzi 0;
M
N
2.x. yB G yA F i 1Gi yi i 1 Fi yi 0;
N
M
2.y. xA F xB G i 1 Fi xi i 1Gi xi 0;
M
i 1
РАВНОВЕСИЕ ПРОИЗВОЛЬНОЙ СИСТЕМЫ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ
Fzi 0;
M x Fzi 0;
M y Fzi 0;

18.

Распределенная нагрузка
q x
O
A
q x Н
м
x
q
x
O
A
B
Qi q xi x
B
L
Q qL
x
O
A L2
L2 B
qmax
x
x
O
Q q x dx
xB
x
O
A
L
B
Q qmax L 2
xA
xc xq x dx Q
xB
x
xA
O
A 2L 3
L 3B

19. Вопросы для самоконтроля

1. Какая система сил называется системой
параллельных сил?
2. Чему равна и где приложена равнодействующая двух
параллельных сил?
3. Как разложить силу на две ей параллельные?
4. Чему равна и где приложена равнодействующая двух
параллельных сил, направленных противоположно?
5. Как формулируются уравнения равновесия
произвольной системы параллельных сил?
6. Что такое распределенная нагрузка?
7. Как определяется равнодействующая
равномерной нагрузки? Треугольной нагрузки?
ЗАКЛЮЧЕНИЕ

20. Тема следующей лекции

Пара сил.
Основная теорема статики.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ

21. Спасибо за внимание!