ЦЕНТР СИСТЕМЫ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ
ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
ПРИМЕРЫ
ПРИМЕРЫ
ПРИМЕРЫ
ПРИМЕРЫ
ПРИМЕРЫ
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ТРЕНИЯ
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ТРЕНИЯ
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ТРЕНИЯ
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ТРЕНИЯ
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ТРЕНИЯ
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ТРЕНИЯ
767.50K
Category: physicsphysics

Центр системы параллельных сил

1. ЦЕНТР СИСТЕМЫ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ

. .
.
Теорема Вариньона
n
M O ( R ) M O ( Fk )
M1
.
.
F1
r1
F1
M2
F2
k 1
n
F2
rC R rk Fk
C
rC
r2
R
Fn
R
.
Fn
.
rn
z
k 1
Mn
Введем единичный вектор e ,
задающий направления сил.
Fk*e , если Fk e
Тогда Fk *
.
Fk e , если Fk e
n *
R Fk F e Fk e
k 1
k 1
k 1
n
n
*
k
O
x
.
y
n
n *
n *
n *
*
rC Fk e rk Fk e rC Fk e rk Fk e
k 1
k 1
k 1
k 1
Центром системы параллельных сил называют геометрическую точку,
через которую проходит линия действия равнодействующей системы
параллельных сил при любом повороте всех этих сил вокруг точек их
приложения в одну и ту же сторону и на один и тот же угол.
n
rC
*
r
F
k k
k 1
n
F
k 1
*
k
.
1

2. ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

z
r1
C
P1
rC
O
x
.
Центром тяжести твердого тела
называют геометрическую точку,
неизменно связанную с телом
и являющуюся центром системы
параллельных сил тяжести,
действующих на все частицы
этого тела.
Разобъём тело на элементарные
zc
P
rn
Pn
yc
y
xc
объёмы, тогда вес тела
n
P lim k Vk
n
k 1
( x, y, z )dxdydz.
(V )
Используя формулы, определяющие центр параллельных сил тяжести,
действующих на отдельные элементарные объёмы тела, получим:
n
rC lim
rk k Vk
k 1
n
n
k 1
k
Vk
n
Для
1
r ( x, y, z )dxdydz. однородного
P (V )
rC lim
r
k 1
n
n
тела удельный
вес ( x, y, z ) const.
k 1
k
Vk
Vk
1
V
rdxdydz.
(V )
2

3. ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Координаты центра тяжести однородного тела:
n
xC lim
x
k 1
n
n
k
k 1
n
Vk
Vk
1
xdxdydz; yC lim k 1n
n
V (V )
n
yk Vk
k 1
Vk
1
ydxdydz; zC lim k 1n
n
V (V )
zk Vk
k 1
Vk
1
zdxdydz.
V (V )
Если однородное твердое тело можно разбить на конечное число
частей простейшей геометрической формы, для каждой из которых
положение центра тяжести известно, то координаты центра тяжести
n
x V
k
k
n
k
k
k
k
xC
площади
Здесь Vk , Sk ,Lk - соответстk 1
k 1
k 1
венно объёмы, площади и
n
n
n
xk Sk
yk S k
zk S k
длины частей, на которые
xC k 1n
; yC k 1n
; zC k 1n
, разбито данное тело,
Sk
Sk
Sk
а xk , yk ,zk – координаты
k 1
k 1
k 1
центров тяжести этих
n
n
n
xk Lk
yk Lk
zk Lk частей.
V
k
линии
xC
k 1
n
L
k 1
k
k 1
n
V
; zC
z V
объёма
k 1
n
; yC
yV
n
k
; yC
k 1
n
L
k 1
k
k 1
n
,
V
k
; zC
k 1
n
L
k 1
k
.
3

4. ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Метод отрицательных весов.
Это разновидность метода разбиения на части т.к. условно считается,
что полости имеют отрицательные веса.
Введем обозначения:
Р П - вес тела с полостями,
2
rП - радиус-вектор центра тяжести
3
тела, содержащего полости
k
1
Р1 , Р 2 , , Р к - вес полостей,
заполненных веществом тела,
Радиус-вектор центра тяжести r , r , , r - радиусы-векторы центров
1 2
к
тела с полостями:
тяжести полостей.
Тогда вес сплошного тела
r Р - r1 Р1 - r2 Р 2 - - rк Р к

.
Р Р П Р1 Р 2 Р к , а радиус- вектор
Р - Р1 - Р 2 - - Р к
центра тяжести сплошного тела:
r Р r Р r Р rк Р к
r П П 1 1 2 2
.
Р П Р1 Р 2 Р к
4

5. ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Использование материальной симметрии.
Если однородное твердое тело имеет плоскость, ось или центр
материальной симметрии, то центр тяжести этого тела лежит
соответственно или в плоскости или на оси или в центре симметрии.
z
Пусть однородное твердое тело имеет
плоскость материальной симметрии.
Совместим эту плоскость с координатной
∆Vk
zk
O
y
xk
yk
zj
x
плоскостью xOy.
∆Vj
Разобьём тело на элементарные объёмы,
так что Vk Vj , при этом x j xk , y j yk , z j zk .
1 n
Тогда z C zi Vi 0.
V i 1
Таким образом доказано, что центр тяжести тела
лежит в плоскости материальной симметрии.
Замечание.
Ось материальной симметрии тела является линией пересечения двух
плоскостей симметрии, а центр материальной симметрии – точкой
пересечения трех плоскостей симметрии. Поэтому, в силу выше
доказанного центр тяжести тела должен лежать на оси материальной
симметрии или в центре материальной симметрии тела.
5

6. ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ
Метод подвешивания – экспериментальный метод, основанный
на том, что при подвешивании тела или фигуры за какую-либо
произвольную точку центр тяжести находится на одной вертикали с
точкой подвеса. Для определения положения центра тяжести
плоской фигуры достаточно ее подвесить поочередно за две любые
точки и прочертить соответствующие вертикали, например, с
помощью отвеса, и точка пересечений этих прямых соответствует
положению центра тяжести фигуры.
С
6

7. ПРИМЕРЫ

1) Центр тяжести треугольника
y
A2
A3
1
xC 3 ( x1 x2 x3 ) ,
y 1 ( y y y ).
3
C 3 1 2
C
A1
x
O
7

8. ПРИМЕРЫ

3) Сектор круга.
2) Дуга окружности.
B
B
R
dL
d
B1
R
a
x
O
С
x
O
C
a
2
R
3
A1
A
A
dL R d ; x R cos ;
xC
xdL
( L)
( L)
dL
R
2
cos d
R d
R
sin
.
2 sin
xC R
.
3
xC R
sin
.
8

9. ПРИМЕРЫ

4) Круговой конус
Z
1 2
1
zC zdV ; V R H
V (V )
3
dz
H
r
ПРИМЕРЫ
dV r dz;
z
C
2
Y
O
R
zdV
H
0
X
(V )
H z
r
R
H
H z
z
R dz
H
2
H
R H 2
R 2z
z
z
2
2H
2 ( H 2 Hz z )zdz 2 H
H
2
3 4 0
H 0
R2 H 2
3
H
R2 H 4
R2H 2
H
zC
2
; zC
2
4
12
R H 4
H 12
12
2
2
2
3
4
9

10. ПРИМЕРЫ

5) Полушар
1
2 3
zC zdV ; V R
V (V )
3
dV r dz;
2
r R2 z 2
R
z ( R z )dz
zdV
0
2
2
(V )
R
R z
z
R
( R z z )dz
0
4 0
4
2
4
R
3
r
zC
3
R
3
4 2 R 8
zC
R
2 2
2
4
4
3
8
10

11. ПРИМЕРЫ

4) Полушар.
Z
z
M
r
C
O
x
O
r
y
X
z
x
y
x r sin cos
y r sin sin
Y
z r cos
1
zC zdV
V (V )
3
2 r 3
3
2 r 3
3
2 r 3
2
2
r
0
0
3
sin
cos
d
d
d
0
4 r
1
2
( cos 2 ) 0 2
4
4 0
3
1
r4 3
2 2 r zC r
8
4
4 8
11

12. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ТРЕНИЯ

Трение - механическое взаимодействие между поверхностями твердых
тел, возникающее в местах их соприкосновения и препятствующее
относительному перемещению тел в направлении, лежащем в плоскости
их соприкосновения.
Трение между взаимно неподвижными поверхностями называется
трением покоя.
Трение между движущимися поверхностями называется
кинематическим.
M
В зависимости от вида движения
одного тела по поверхности другого
тела различают кинематические
трение скольжения,
трение качения и
трение верчения.
При отсутствии смазки между трущимися
поверхностями трение называют сухим.
При наличии смазки между трущимися
поверхностями трение называют вязким или
жидкостным.
СB
В
FТР
M СK
V
К
12

13. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ТРЕНИЯ

Сила трения скольжения подчиняется законам трения,
установленным экспериментально Кулоном и Амонтоном:
0 FTP F
MAX
FTP f N .
MAX
TP
R
φ
N
,
F
FTP
Здесь f - безразмерный коэффициент трения
скольжения, определяемый экспериментально
и зависящий от многих факторов: материала
соприкасающихся тел, степени чистоты
R MAX
обработки их поверхности, влажности и
температуры окружающей среды и др.
Коэффициент трения скольжения не зависит
от силы нормального давления и площади
контакта трущихся поверхностей.
Углом трения называют угол φ 0 между
направлениями нормальной реакции N
и полной реакции R MAX , соответствующей
максимальному значению силы трения
MAX
MAX
скольжения F TP
.
F TP
При этом имеет место соотношение tg φ0 =
=f.
N
P
φ0
N
F
MAX
FTP
P
13

14. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ТРЕНИЯ

Конус трения – геометрическое место
всех возможных направлений предельной реакции шероховатой поверхности
Q
в пространстве. Образующая конуса
N
трения составляет угол трения φ0
α
φ0
с нормалью к поверхности трущихся
R MAX
тел. Если коэффициент трения одинаков
по всем направлениям, то конус трения
MAX
F TP
будет круговым.
Если линия действия равнодействующей активных сил, приложенных к
телу - Q ,проходит внутри конуса трения, то тело останется в равновесии
при сколь угодно большом модуле этой силы.
V1 V
V
Некоторые примеры
3)
2)
N
FTP
1)
V2
FСК
φ0
φ
φ
P
P1
14

15. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ТРЕНИЯ

ТРЕНИЕ КАЧЕНИЯ. МОМЕНТ СОПРОТИВЛЕНИЯ КАЧЕНИЮ
КОЭФФИЦИЕНТ ТРЕНИЯ КАЧЕНИЯ
h
F
r
P
r
N
P
N
FTP
hMAX коэффициент трения качения;
м;
определяется экспериментально;
M CK N момент сопротивления качению.
Условие отсутствия качения тела по поверхности
F r N .
15

16. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ТРЕНИЯ

При равновесии катка выполняются условия:
y
F
F
M
F
r
P
N
FTP
O
A
Пусть
r
x
F FTP 0 (1) ,
KY
N P 0 (2) ,
( FK ) F r M CK 0 (3).
При отсутствии скольжения F FTP f N f P F f P ;
A
при отсутствии качения F r M CK N P F
M CK
f , тогда: а) при 0 F
KX
r
r
P.
P каток останется в равновесии;
P F f P каток катится без проскальзывания;
r
в) при f P F каток катится со скольжением.
Пусть f , тогда: а) при 0 F f P каток останется в равновесии;
r
б) при f P F P каток скользит без вращения (поступательное движение);
r
в) при f P F каток катится со скольжением.
r
б) при
На практике
f поэтому, при возрастании силы F, каток начнет качение без скольжения, а затем будет
r
происходить качение со скольжением. По затратам энергии качение значительно выгоднее скольжения . 16

17. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ТРЕНИЯ

M СB
ТРЕНИЕ ВЕРЧЕНИЯ
N
В
M CB N , м ; (10 1 0,5 10 1 ) .
Коэффициенты трения некоторых тел.
(м)

Материал тел,
находящихся в
соприкосновении
1
Дерево-дерево
0,4 0,7
5 10-4 8 10-4
2
Металл-металл
0,15 0,25
3
Сталь мягкая
0,16
5 10-5
4
Сталь закаленная
0,18
5 10-6 10-5
5
Сталь-кожа
0,56
6
Сталь-лед
0,02 0,03
7
Резина (шины) асфальт
0,4 0,6
2,4 10-3
f
17
English     Русский Rules