Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций

1. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ И ПАРАМЕТРИЧЕСКИ ЗАДАННЫХ ФУНКЦИЙ

1. Логарифмическое дифференцирование.
2. Дифференцирование функций, заданных
неявно.
3. Дифференцирование функций, заданных
параметрически.
4. Производные высших порядков.

2. Вопрос 1. Логарифмическое дифференцирование

Пусть у = lnu, где u = φ(х) - дифференцируемая
функция.
Применяя правило дифференцирования
сложной функции, получим
/
u
1
y /x (ln u ) /x u /x или y /x x .
u
u

3.

Таким образом, имеем
(ln
u ) /x
u
u
или
(ln
( x )) /x
( x )
( x )
Производная (ln ( x )) /x называется
логарифмической производной функции
u = φ(х).
(1)

4.

О.1.1. Операция, состоящая в
последовательном применении к функции
сначала логарифмирования (по основанию е), а
затем дифференцирования, называется
логарифмическим дифференцированием, а
ее результат - логарифмической производной
данной функции.
О.1.2. Степенно-показательной функцией
(показательно-степенной или сложной
показательной) называется функция вида
у = uv, где u = u(х) и v = v(х) - заданные
дифференцируемые функции от х.

5.

Найдем производную данной функции
логарифмическим дифференцированием:
lny = vlnu.
Отсюда по формуле (1) получим
y
u
(ln y) ( v ln u ) v ln u v ,
y
u
откуда
u
y y( v ln u v ).
u

6.

Подставив у = uv, получим
u
y u ( v ln u v ) u v ( v ln u vu 1u )
u
v
или
(u v ) u v ( v ln u vu 1u )
Замечание
Производная степенно-показательной функции
состоит из двух слагаемых. Первое слагаемое
получается, если функцию дифференцировать как
степенную функцию, считая v = const, а u переменной; а второе слагаемое – если функцию
дифференцировать как показательную функцию,
считая u = const, а v - переменной от x.

7.

Логарифмическое дифференцирование может
быть применено для отыскания производных
не только степенно-показательных функций, но
и таких, непосредственное
дифференцирование которых громоздко
(произведение большого числа сомножителей,
радикалы, дроби и т.д.).

8.

Пример 1. Найти у′, если y x
sin x
.
Решение
Прологарифмируем данную функцию:
ln y sin x ln x,
y
1
(ln y) (sin x ln x ) cos x ln x sin x .
y
x
Отсюда
1
1
sin x
y y(cos x ln x sin x ) x (cos x ln x sin x )
x
x
x
sin x
cos x ln x x
sin x 1
sin x.
Если воспользоваться выражением (1), то
получится такой же результат.

9.

2
x 1 x 1
.
Пример 2. Найти у′, если y
3 x
x 4 e
Решение
Прологарифмируем данную функцию:
1
ln y 2 ln x 1 ln x 1 3 ln x 4 x;
2
y
2
1
3
1.
y x 1 2 x 1 x 4
Умножая на у и подставляя его значение,
получим:
x 1 2 x 1 2
1
3
y
1 .
3 x
x 4 e x 1 2 x 1 x 4

10. Вопрос 2. Дифференцирование функций, заданных неявно

2.1. Неявное задание функции
О.2.1.Если функция задана уравнением у = f(х),
разрешенным относительно у, то говорят, что
функция задана в явном виде (явная функция).
О.2.2.Под неявным заданием функции
понимают задание функции у в виде уравнения
F(x,y) = 0,
(2)
не разрешенного относительно у.

11.

Всякую явно заданную функцию у = f(х) можно
записать как неявно заданную уравнением
у ‒ f(х) = 0,
но не наоборот.
Чтобы выразить функцию у из уравнения (2),
необходимо разрешить данное уравнение
относительно у. В общем случае, при заданном
х, уравнение (2) может иметь несколько корней
у, т.е. неявная функция может быть
многозначной.

12.

Пример 3. х2 + у2 = 1 - неявная функция
y 1 x .
2
Не всегда легко, а иногда и невозможно,
разрешить уравнение (2) относительно у.
Пример 4. у + 2ух = 0 - нельзя явно выразить у
через х.

13. 2.2. Дифференцирование неявных функций

Пусть неявная функция у задана уравнением (2)
F(x,y) = 0, не разрешенным относительно у.
Правило дифференцирования неявной функции
Для того чтобы найти производную неявной функции,
заданной уравнением (2), нужно
продифференцировать уравнение (2), помня, что у
является функцией от х и его производная равна у′.
Затем разрешить полученное уравнение относительно
у′.
Производная неявной функции выражается через
аргумент х и функцию у, т.е. сама является функцией
неявной.

14.

Пример 5. Найти производную функции у,
заданной уравнением х3 + у3 ‒ 3ху = 0.
Решение
Дифференцируем данное уравнение по х, помня,
что у есть функция от х, т.е. у = f(х). В результате
получим:
3х 3у у 3(1 у х у ) 0,
2
2
3х 3у у 3у 3ху 0,
2
2
2
3х 3у у (3у 3х ) 0.
2
у х
.
Откуда y 2
y х
2

15. Вопрос 3. Дифференцирование функций, заданных параметрически

3.1. Параметрическое задание функции
О.3.1.Параметрическим заданием функции у = f(х)
называется определение данной функции в виде
системы двух уравнений относительно новой
промежуточной переменной t, называемой
параметром:
x х ( t )
(3)
y
у
(
t
)
Выражение непосредственной зависимости у от х
(у = f(х)) может быть получено путем исключения
параметра t из уравнений (3).

16.

Пример 6.
x a cos t
1)
окружность x 2 y 2 a 2 ;
y а sin t
2
2
x a cos t
x
y
2)
эллипс 2 2 1.
a
b
y b sin t
Здесь 0 t 2 .

17. 3.2. Дифференцирование функций, заданных параметрически

Пусть зависимость между аргументом х и
функцией у задана параметрически в виде
системы двух уравнений (3), где t - параметр.
Т.3.1. (дифференцирование функции, заданной
параметрически)
Если функция у от аргумента х задана
параметрически системой (3), где функции х(t) и
у(t) дифференцируемы, причем х′(t) 0, то
производная этой функции выражается формулой
/
y
y /x t/
xt
или
y /x
у ( t )
х ( t )

18.

x t 3
Пример 7. Пусть
. Найти у′х.
y t 2
Решение
y /t
2t,
x /t
3t
2
y t
2t
2
y x
y x 2 .
x t
3t
3t

19. Вопрос 4. Производные высших порядков

Производная у′ = f′(х) функции у = f(х) есть так же
функция от х и называется производной первого
порядка или первой производной. Возможно, что
эта функция сама имеет производную.
О.4.1. Производная от первой производной
функции у = f(х) называется производной второго
порядка или второй производной данной
функции и обозначается одним из символов
d 2 y d 2f x
y , f x , 2 ,
.
2
dx
dx

20.

Таким образом
/
y y f x f x .
О.4.2. Производная от второй производной
функции у = f(х) называется производной третьего
порядка или третьей производной данной
функции и обозначается одним из символов
d 3 y d 3f x
y , f x , 3 ,
.
3
dx
dx
Таким образом
/
y y f x f x .

21.

Производные, начиная со второй, называются
производными высших порядков.
О.4.3. Производная от (n‒1)-й производной
функции у = f(х) называется производной n-го
порядка или n-й производной данной функции
и обозначается одним из символов
n
n
d
y
d
f x
(n)
(n)
y , f x , n ,
.
n
dx
dx
Таким образом
y
(n)
y
f
( n 1) /
( n 1)
x f (n ) x .

22.

Начиная с производной 4-го порядка,
производные обозначают римскими цифрами
или числами в скобках.
Пример 8. уV или у(5) - производная 5-го порядка.
Для некоторых элементарных функций можно
вывести формулы нахождения производных
любого порядка.

23.

Пример 9. Найти производную n-го порядка
функции у = ах.
Решение
y а x ln а ,
y а x ln 2 а ,
y а x ln 3 а ,
........................
y n а x ln n а.

24.

Механический (физический) смысл
второй производной
Пусть материальная точка движется
прямолинейно по закону S = S(t). Известно, что
ʋ = S′(t) - скорость точки в данный момент
времени t.
Можно показать, что вторая производная от
пути по времени есть величина ускорения
прямолинейного движения точки, т.е.
d2S
a S ( t ) 2
dt

25. 4.2. Производные высших порядков неявных функций

Пусть неявная функция у задана уравнением (2), т.е.
F(x,y) = 0.
Продифференцировав уравнение (2) по х и разрешив
полученное уравнение относительно у′, найдем
первую производную. Продифференцировав по х
первую производную, получим вторую производную у″
от неявной функции. В нее войдут х, у и у′. Подставляя
уже найденное значение у′ в выражение второй
производной, выразим у″ через х и у.
Аналогично поступаем для нахождения третьей
производной и т.д.

26.

Пример 10. Найти у‴, если х2 + у2 = 1.
Решение
F(x,y) = 0 х2 + у2 ‒ 1= 0.
у : 2х 2 уу 0
х
у .
у
х
у х
у
1 у ху
у2 х 2
1
у : у
у2
у2
у3
у3
х
3
у
3у
3х
4
у : у ( 3у ) у 4
у
у4
у5
у
у
3х
.
5
у
1
.
3
у

27. 4.3. Производные высших порядков от функций, заданных параметрически

Пусть функция у = f(х) задана параметрически в
виде системы уравнений (3):
x х ( t )
y у( t )
Первая производная у′х находится по формуле
y t
y x .
x t
(4)

28.

Найдем вторую производную у //хх от функции,
заданной параметрически.
Из определения второй производной и
равенства (4) следует, что
/ /
(
у
//
/ /
х )t
у хх ( у х ) х
.
/
xt
Таким образом,
у //хх
( у /х ) /t
x /t
Аналогично получаются формулы:
// /
(
у
///
хx ) t
у ххx
,......
/
xt

29.

Пример 11. Найти вторую производную функции
x cos t ,
y sin t.
Решение
y t (sin t )
cos t
y x
ctgt ,
x t (cos t ) sin t
у //хх
1
/ /
2
( у х ) t ctgt
1
sin
t
3 .
/
sin t
sin t
xt
sin t