Производные функции одной и нескольких переменных
Производная функции одной переменной
Производная функции нескольких переменных
Геометрический смысл
Геометрический смысл
Геометрический смысл
Геометрический смысл
Правила дифференцирования
Таблица производных
Логарифмическое дифференцирование
Производные высших порядков функции одной переменной
Производная функции, заданной параметрически
Производная функции, заданной неявно
Производные высших порядков функции нескольких переменных
694.50K
Category: mathematicsmathematics

Производные функции одной и нескольких переменных

1. Производные функции одной и нескольких переменных

1

2. Производная функции одной переменной

y
y=f(x)
y y
y
y
0
а
х
х
х x b
х
y
f ( x x ) f ( x )
y ' lim
lim
x
x 0 x
x 0
2

3. Производная функции нескольких переменных

z f x; y
x
x
x x
y - const
z x f x x; y - f x; y
'
zx
z x
z
lim
x x 0 x
y y
x - const
y y
z y f x; y y f x; y
z 'y
z y
z
lim
y y 0 y

4. Геометрический смысл

y
Се
ку
ща
я
y f (x)
y
ная
ь
л
е
т
Каса
y
y
tg k
x
k – угловой
коэффициент
прямой(секущей)
y kx b
х0
х
х
х

ПриСекущая
х стремится
0 угловойзанять
коэффициен
ткасательной.
секущей Токесть,
угловому
положение
касательная есть предельное положение секущей.
коэффициен
ту касательно й.
0
4

5. Геометрический смысл

y = tg α = y (x0)
y
y = f (x)
• Уравнение
М
касательной
y y0 f ' ( x0 ) ( x x0 )
• Уравнение
нормали
1
y y0
( x x0 )
f ' ( x0 )
0
x
5

6.

Физический смысл
S
Vср.
t
или
S
V lim
t 0 t
Если s перемещение тела, а t промежуток времени ,
в течении которого выполнялось движение, то
s
средняя скорость движения.
t
При t 0 Vcр. к мгновенной скорости V (t ),
следовательно, V (t ) S (t ).
Замечание. С физической точки зрения производная функции
y = f (x) определяет в конкретной точке скорость изменения .
функции относительного независимого аргумента
6

7. Геометрический смысл

z
l1
l2
M 0 x0 ; y 0 ; z 0
точка касания
z=f(x0;y)
M0
0
x0
α
x
z=f(x;y0)
y
y0
β
f x x0 ; y0 tg
f y x0 ; y0 tgb

8. Геометрический смысл

Уравнение касательной плоскости:
P : z z 0 f x x0 ; y0 x x0 f y x0 ; y0 y y0
.
Уравнение нормали к поверхности
L:
.
x x0
y y0
z z0
f x x0 ; y0 f y x0 ; y0
1

9. Правила дифференцирования

1. с' = 0;
2. (си)' = с·и'
3. (и + v) ' = и' + v'
4. (и·v) ' = и ' v + и v '
u u ' v u v'
5. v
2
v
6. y = f (и); и = и (х) y x
'
fu u x .
9
7

10. Таблица производных


функция
производная
1
y = c (const)
y = 0
2
y=un
y = n u n-1 u
3
4
1
y
u
y
y'
u
1
2
u'
u
1
y'
u
2 u
5
y=au
y = au lna u
6
y=eu
y = eu u
7
y = log a u
8
y = ln u
1
y'
u'
u ln a
1
y'
u'
u
10

11.


функция
производная
9
y = sin u
y = cos u u
10
y = cos u
11
y = tg u
y = - sin u u
1
y =
2
cos u
12
y = ctg u
y =
1
sin
13
y = arcsin u
y =
14
y = arccos u
y =
15
y = arctg u
y =
16
y = arcctg u
u'
2
u
1
1 u2
1
1 u2
u'
u'
1
2
y =
1 u
1
1 u
u'
2
u'
u'
11

12. Логарифмическое дифференцирование

Степенно-показательная функция:
y u ( x)
V ( x)
Рекомендации. Дифференцируя функцию
(считая y – функцией, а x – переменной),
логарифмировать и применить свойства:
ln(a b) ln a ln b;
a
ln ln a ln b;
bb
ln(a ) b ln a.
12

13. Производные высших порядков функции одной переменной

Определение.
Производной второго
порядка функции
y = f (x) называется
производная от
производной первого
порядка этой же
функции:
2
d y
''
''
' '
y f ( x) 2 y
dx
3
d y
'
y 3 y ' ' ;
dx
....................
n
d y
(n)
( n 1) '
y n y
dx
'''
13

14. Производная функции, заданной параметрически

Общий вид записи функции:
x x(t ),
y y (t ).
Производная функции
если у – функция, x – переменная, то
'
t
'
t
dy y
y ,
dx x
'
x
d y y
y 2
;
dx
x
2
''
xx
' '
x t
'
t
14

15. Производная функции, заданной неявно

Общий вид: F(x, y) = 0.
1) Чтобы найти производную первого порядка необходимо:
а) продифференцировать обе части F(x, y) = 0 равенства,
считая y – функцией (y' ≠ 1),
x – переменной (x' = 1);
б) выразить y .
2) Чтобы найти производную второго порядка необходимо
найти следующую производную от производной первого
порядка,
считая y – функцией (y' ≠ 1),
y – функцией (y ) = y ,
x – переменной (x' = 1).
15

16. Производные высших порядков функции нескольких переменных

z f x; y
z
z x
x
2
z z
z 2 z
z xy
,
2 z xx
y x x y
x x x
z
z y
y
z
z 2 z
z
yx
x y y x
y y
z xy z yx
2 z
z yy .
2
y

17.

Спасибо за внимание!!!
English     Русский Rules