Функции нескольких переменных

1. Функции нескольких переменных

2.

• Функцией двух переменных называется правило,
по которому каждой паре чисел x; y некоторого
М соответствует единственное
число z другого множества N.
множества
z f x; y
y - независимые переменные (аргументы);
x
и
z
- зависимая переменная;
М - область определения функции;
N - множество значений функции.

3.

z 0 z xy xy
0
0
z 0 f x0 ; y 0

4. Способы задания функции двух переменных

• Аналитический
• Табличный
• Графический

5.

z
z
N
Q
y
Y
x
X
M
P

6. Частные производные

7.

Рассмотрим функцию z f x; y .
Зафиксируем y y 0 ,тогда функция
примет вид
z f x; y0 .
Пусть аргумент x в точке
приращение x , тогда
x0
получил
x z f ( x0 x; y0 ) f ( x0 ; y0 )

8.

f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )
xz
lim
Предел lim
,
x 0
x 0 x
x
если он существует, называется частной
производной (первого порядка) функции
z f x; y по x в точке ( x0 , y0 ) и обозначается:
z
( x0 , y 0 ) ;
x
f
( x0 , y0 ) ; z x x0 ; y0
f x x0 ; y0 ;
x

9.

Рассмотрим функцию z f x; y .
Зафиксируем x x0 ,тогда функция
примет вид
z f x0 ; y
Пусть аргумент y в точке
приращение y , тогда
y0
получил
y z f ( x0 ; y0 y) f ( x0 ; y0 )

10.

yz
f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 )
lim
lim
y 0
y 0 y
y
называется частной производной
(первого порядка) функции z f x; y по y
в точке ( x0 , y0 ) и обозначается:
z
( x0 , y0 ) ; f y x0 ; y0 ; f ( x , y ) ; z y x0 ; y0
0
0
y
y

11. Частные производные высших порядков.

z
2
x z
2
x
x
z
2
x z
y
x y

12.

Пример.
Вычислить частные производные
второго порядка функции
z x y
2
3

13.

z
3
2x y
x
z
3x 2 y 2
y
2 z
3
2y
2
x
z
2
6x y
2
y
2

14.

z
2
6xy
x y
2
z
2
6xy
y x
2
z
z
x y y x
2
2

15. Полный дифференциал.

z
z
dz dx dy
x
y

16.

Пример.
Найти полный дифференциал функции
2
z x y в произвольной точке.
z
2
y,
x
z
2 xy
y
dz y dx 2 xydy
2

17. Скалярное поле

18.

• Часть пространства (или всё
пространство), каждой точке P x; y; z
которого соответствует численное значение
некоторой скалярной величины
u u x; y; z
называется скалярным полем.

19. Производная по направлению.

y
M
0
M1
y
x
P
l0
l
x
z z
z
cos cos
y
l x

20. Градиент

u
u
u
grad u i j k
x
y
z

21. Экстремум функции двух переменных

22. Необходимое условие существования экстремума.

Пусть функция z f x; y в точке P0 ( x0 , y 0 )
имеет экстремум и пусть существует
f ' x ( x0 , y0 ) и f ' y ( x0 , y0 ) .
Тогда f ' x ( x0 , y0 ) 0 , f ' y ( x0 , y0 ) 0.

23. Достаточное условие существования экстремума

24.

Пусть для функции z f x; y в
критической точке P0 ( x0 , y0 ) существуют
производные f xx " ( P0 ) , f yy " ( P0 ), f xy " ( P0 ) .
Составим определитель
z xx
z xy
z xy
z xx z yy z xy z xy
z yy

25.

A B C
A z xx
B z yy
C z xy
2

26.

Возможны три случая:
1) ( P0 ) >0 , тогда точка P0 – точка
экстремума:
при A >0 – P0 точка минимума;
при
A <0 – P0
2) ( P0 ) <0, тогда
экстремума.
точка максимума.
P0
не является точкой

27.

3) ( P0 ) =0 , тогда необходимы
дополнительные исследования.

28.

z x 3 xy 15 x 12 y
3
2
1. z x 3 x 3 y 15
z y 6 xy 12
2
2
3 x 3 y 15 0
6 xy 12 0
2
2

29.

Решая систему ,получим четыре
стационарные точки
P1 (1,2);
P2 (2,1);
P3 ( 1, 2);
P4 ( 2, 1).

30.

Проверим достаточное условие экстремума
в каждой из точек.
"
"
"
;
;
.
z
6
y
z
6
x
z 6x
xx
xy
yy
A В С
2
1) Для точки P1 (1,2) :
A 6;
B 6;
C 12
6 6 12 0
2
Значит, в точке
P1
экстремума нет.

31.

2) Для точки P2 (2,1) : 0 , A 0 .
В точке
P2 функция имеет минимум.
f min f ( P2 ) 28
Аналогично, проверяют точки P3 и P4 .