Функции нескольких переменных
Способы задания функции двух переменных
Частные производные
Частные производные высших порядков.
Полный дифференциал.
Скалярное поле
Производная по направлению.
Градиент
Экстремум функции двух переменных
Необходимое условие существования экстремума.
Достаточное условие существования экстремума
335.50K
Category: mathematicsmathematics

Функции нескольких переменных

1. Функции нескольких переменных

2.

• Функцией двух переменных называется правило,
по которому каждой паре чисел x; y некоторого
М соответствует единственное
число z другого множества N.
множества
z f x; y
y - независимые переменные (аргументы);
x
и
z
- зависимая переменная;
М - область определения функции;
N - множество значений функции.

3.

z 0 z xy xy
0
0
z 0 f x0 ; y 0

4. Способы задания функции двух переменных

• Аналитический
• Табличный
• Графический

5.

z
z
N
Q
y
Y
x
X
M
P

6. Частные производные

7.

Рассмотрим функцию z f x; y .
Зафиксируем y y 0 ,тогда функция
примет вид
z f x; y0 .
Пусть аргумент x в точке
приращение x , тогда
x0
получил
x z f ( x0 x; y0 ) f ( x0 ; y0 )

8.

f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )
xz
lim
Предел lim
,
x 0
x 0 x
x
если он существует, называется частной
производной (первого порядка) функции
z f x; y по x в точке ( x0 , y0 ) и обозначается:
z
( x0 , y 0 ) ;
x
f
( x0 , y0 ) ; z x x0 ; y0
f x x0 ; y0 ;
x

9.

Рассмотрим функцию z f x; y .
Зафиксируем x x0 ,тогда функция
примет вид
z f x0 ; y
Пусть аргумент y в точке
приращение y , тогда
y0
получил
y z f ( x0 ; y0 y) f ( x0 ; y0 )

10.

yz
f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 )
lim
lim
y 0
y 0 y
y
называется частной производной
(первого порядка) функции z f x; y по y
в точке ( x0 , y0 ) и обозначается:
z
( x0 , y0 ) ; f y x0 ; y0 ; f ( x , y ) ; z y x0 ; y0
0
0
y
y

11. Частные производные высших порядков.

z
2
x z
2
x
x
z
2
x z
y
x y

12.

Пример.
Вычислить частные производные
второго порядка функции
z x y
2
3

13.

z
3
2x y
x
z
3x 2 y 2
y
2 z
3
2y
2
x
z
2
6x y
2
y
2

14.

z
2
6xy
x y
2
z
2
6xy
y x
2
z
z
x y y x
2
2

15. Полный дифференциал.

z
z
dz dx dy
x
y

16.

Пример.
Найти полный дифференциал функции
2
z x y в произвольной точке.
z
2
y,
x
z
2 xy
y
dz y dx 2 xydy
2

17. Скалярное поле

18.

• Часть пространства (или всё
пространство), каждой точке P x; y; z
которого соответствует численное значение
некоторой скалярной величины
u u x; y; z
называется скалярным полем.

19. Производная по направлению.

y
M
0
M1
y
x
P
l0
l
x
z z
z
cos cos
y
l x

20. Градиент

u
u
u
grad u i j k
x
y
z

21. Экстремум функции двух переменных

22. Необходимое условие существования экстремума.

Пусть функция z f x; y в точке P0 ( x0 , y 0 )
имеет экстремум и пусть существует
f ' x ( x0 , y0 ) и f ' y ( x0 , y0 ) .
Тогда f ' x ( x0 , y0 ) 0 , f ' y ( x0 , y0 ) 0.

23. Достаточное условие существования экстремума

24.

Пусть для функции z f x; y в
критической точке P0 ( x0 , y0 ) существуют
производные f xx " ( P0 ) , f yy " ( P0 ), f xy " ( P0 ) .
Составим определитель
z xx
z xy
z xy
z xx z yy z xy z xy
z yy

25.

A B C
A z xx
B z yy
C z xy
2

26.

Возможны три случая:
1) ( P0 ) >0 , тогда точка P0 – точка
экстремума:
при A >0 – P0 точка минимума;
при
A <0 – P0
2) ( P0 ) <0, тогда
экстремума.
точка максимума.
P0
не является точкой

27.

3) ( P0 ) =0 , тогда необходимы
дополнительные исследования.

28.

z x 3 xy 15 x 12 y
3
2
1. z x 3 x 3 y 15
z y 6 xy 12
2
2
3 x 3 y 15 0
6 xy 12 0
2
2

29.

Решая систему ,получим четыре
стационарные точки
P1 (1,2);
P2 (2,1);
P3 ( 1, 2);
P4 ( 2, 1).

30.

Проверим достаточное условие экстремума
в каждой из точек.
"
"
"
;
;
.
z
6
y
z
6
x
z 6x
xx
xy
yy
A В С
2
1) Для точки P1 (1,2) :
A 6;
B 6;
C 12
6 6 12 0
2
Значит, в точке
P1
экстремума нет.

31.

2) Для точки P2 (2,1) : 0 , A 0 .
В точке
P2 функция имеет минимум.
f min f ( P2 ) 28
Аналогично, проверяют точки P3 и P4 .
English     Русский Rules