Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных

1. ТЕМА 9. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

2.

Случаи функций двух переменных z = f(x, y)
и трех переменных (например,
распределение
Следовательно, случаи функций двух и трёх переменных –
это частные случаи функции многих переменных

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

11.

12. Частные производные функции нескольких переменных

13. Частные производные

Для наглядности, здесь и далее все определения и
утверждения будем формулировать для функции 2-х
(или 3-х) переменных. На случай большего числа
неизвестных они обобщаются естественным образом.
Пусть z = f(x,y) , D(z) = D xOy ,
Пусть M0(x0,y0) D .
Придадим x0 приращение x, оставляя значение
неизмененным (так, чтобы точка M(x0 + x,y0) D).
При этом z = f(x,y) получит приращение
xz(M0) = f(M) – f(M0) = f(x0 + x,y0) – f(x0,y0).
xz(M0) называется частным приращением функции
z = f(x,y) по x в точке M0(x0,y0).
y0

14.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Предел при x 0 отношения
x z (M 0 ) f ( x 0 x , y 0 ) f ( x 0 , y 0 )
x
x
(если он существует и конечен) называется
частной производной функции z = f(x,y) по
переменной x в точке M0(x0,y0).
Обозначают:
или
f ( x0 , y0 )
z ( x0 , y0 )
,
, z x ( x0 , y0 ),
x
x
z ( M 0 )
, z x ( M 0 ) ,
x
f ( M 0 )
,
x
f x ( x0 , y0 )
f x ( M 0 )

15.

Замечания.
1) Обозначения
f ( x0 , y 0 )
z ( x0 , y0 )
и
x
x
надо понимать как целые символы, а не как
частное двух величин.
Отдельно взятые
выражения z(x0,y0) и x смысла не имеют.
2) z x ( M 0 )
характеризует скорость изменения
функции
z
=
f(x,y)
по x в точке M0(x0,y0) (физический смысл
частной производной по x).
Аналогично определяется частная производная
функции z = f(x,y) по переменной y в точке
M0(x0,y0):
y z (M 0 )
f ( x 0 , y 0 y ) f ( x 0 , y 0 )
lim
lim
y 0
y 0
y
y
z ( x0 , y0 )
f ( x0 , y0 )
Обозначают:
, z y ( M 0 ),
, f y ( M 0 )
y
y

16.

Соответствие
( x0 ; y0 ) f x ( x0 ; y0 )
и
( x0 ; y0 ) f y ( x0 ; y0 )
является функцией, определенной на D1(D2)
D(f).
Ее называют частной производной функции
z = f(x,y) по переменной x (y) и обозначают
z
f ( x, y )
f ( M )
, zx ,
, f x ( x, y ) ,
, f x ( M )
x
x
x
z
f ( x, y)
f ( M )
, z y ,
, f y ( x, y) ,
, f y ( M ) .
y
y
y
Операция нахождения для функции z = f(x,y) ее
частных производных f ( x, y ) и f ( x, y )
x
y
называется дифференцированием
z = f(x,y) по переменной
x
соответственно.
функции
и
y

17.

18.

Фактически, – это обыкновенная производная
функции z = f(x,y), рассматриваемой как
функция одной переменной x (соответственно
y) f x ( x, y) f y ( x, y) при постоянном значении
другой переменной.
Поэтому, вычисление частных производных
производится по тем же самым правилам, что
и для функции одной переменой. При этом,
одна из переменных считается константой.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

частных
функции двух переменных.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ
СМЫСЛ
производных
Пусть функция z = f(x,y) имеет в M0(x0,y0) частную
производную по x (y).
Пусть поверхность S – график функции z = f(x,y).
z
z
P0
S
P0
y0
M0
S
y
x0
T
x
A
y
M0
K
B
x
( f ( M ) tg ) ,
y
0
Тогда f x ( M 0 ) tg
где ( ) – угол наклона к оси Ox(Oy) касательной,
проведенной в точке P0(x0,y0, f(x0,y0)) к линии
пересечения поверхности S и плоскости y = y0 (x = x0).

25. Градиент

z z
grad z ;
x y
z f (M )
M ( x, y)
u f ( x, y, z )
u u u
grad u ; ;
x y z
u x arctg ( y z )
2
M (2,1,1)

26. Частные производные 2-го порядка

z
f xx ( x, y) 2
x
z
f yy ( x, y) 2
y
z
f xy ( x, y )
x y
z
f yx ( x, y )
y x
2
2
2
2
f xy f yx

27. Дифференциал 2-го порядка

z 2
z
z 2
d z 2 dx 2
dxdy 2 dy
x y
x
y
2
2
2
2
z x y x y
3
3
2
2

28. Экстремум функции двух переменных

f ( x, y )
M 0 ( x0 , y0 )
f x ( x0 , y0 ) 0,
f xx ( x0 , y0 )
f xy ( x0 , y0 )
f y ( x0 , y0 ) 0
f xy ( x0 , y0 )
f yy ( x0 , y0 )
z y 4 2 xy 2 x 2 2 y y 2