Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных. Основные понятия функции нескольких переменных

1. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных

Основные понятия функции
нескольких переменных

2. Основные понятия функции нескольких переменных

• Пусть каждой упорядоченной паре действительных
чисел (x, y) из некоторой области D R2
соответствует определенное число z из области
E R, тогда функцию z = f (x, y) называют функцией
двух переменных, где x и y – независимые аргументы
(переменные), D – область определения функции,
z
• E – множество значений функции.
z = f (x, y)
y
0
D
x

3.

• Число A называется пределом функции z = f (x, y) в
точке M0 (x0, y0), если для любого > 0 существует
> 0, что из выполнения условий:
0 < x – x0 <
и
0 < y – y0 < ,
следует, что A – f (x, y) < .
Предел функции двух переменных обозначается:
lim f ( x, y) A
x x0
y y0

4.

• Функция z = f (x, y) называется непрерывной в точке
M0 (x0, y0) D, если выполняется условие
f ( x, y ) f ( x0 , y0 ) f ( M 0 ).
lim
x x
0
y y0
• Функция, непрерывная во всех точках некоторой
области называется непрерывной в этой области.
• Замечание. Все понятия, которые приведены в этом
параграфе для функции двух переменных вводятся
аналогично для функции многих переменных.

5. Частные приращения функции двух переменных z = f (x, y)

• Частное приращение по
оси OX
zx f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )
• Частное приращение по
оси OY
z y f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 )

6. Частные производные первого порядка функции двух переменных

• Определение. Предел отношения соответствующего
частного приращения функции
z = f (x, y) к приращению соответствующего аргумента
при стремлении этого приращения аргумента к нулю
называют частной производной данной функции и
обозначают:
zx
z
'
a) lim
zx ;
x 0 x
x
á ) lim
y 0
zy
y
z 'y
z
.
y

7. Способ нахождения частных производных функции z = f (x, y)

• Частная производная по
переменной x находится
в предположении, что:
x – переменная;
y – константа
(действительное число).
• Частная производная по
переменной y находится
в предположении, что:
x – константа
(действительное число);
y – переменная.

8.

Геометрический смысл
частных производных
• Геометрический смысл
частных производных
функции z = f (x, y)
формулируется
аналогично функции
одной переменной, но
тангенс угла наклона
касательной берется по
отношению к
соответствующей оси
ОX или OY.
Физический смысл
частных производных
• Частная производная
функции z = f (x, y)
по соответствующей
переменной (x или y) в
точке M0 xарактеризует
скорость изменения этой
функции в данной точке
в направлении
соответствующей оси.

9. Полный дифференциал первого порядка функций двух и трех переменных

• Для функции двух
переменных z = f (x, y):
dz
'
'
z x dx z y dy
Где dx и dy – это
дифференциалы
переменных;
dz – полный
дифференциал функции.
• Для функции трех
переменных u = f (x, y, z):
'
'
'
du u x dx u y dy u z dz
Где dx , dy , dz – это
дифференциалы
переменных;
du – полный дифференциал
функции.

10. Частные производные и полные дифференциалы второго порядка функций двух и трех переменных

Для функции двух
переменных z = f (x, y)
''
z xx
z ''yy
z
2
x
2
''
u xx
( z x' )'x ;
2 z
y
Для функции трех
переменных u = f (x, y, z):
' '
(
z
y )y ;
2
2
z
''
''
z xy z yx
( z x' )'y
x y
''
''
d 2 z z xx
d x 2 2 z xy
d xd y z ''yy d y 2
2u
x 2
u zz''
(u x' )'x ;
2u
z 2
u ''yy
2u
y 2
(u 'y )'y ;
(u z' )'z ;
2
u
''
u xy
u ''yx
(u x' )'y ;
x y
''
u xz
''
u zx
2u
(u x' )'z ;
x z
u ''yz
''
u zy
2u
(u 'y )'z
y z
''
d 2u u xx
d x 2 u ''yy d y 2 u zz'' d z 2
''
2u xy
d xd y 2u ''yz d yd z 2u xz'' d xd z

11. Производные функции нескольких переменных, заданных неявно

F ( x, y , z ) 0
F ( x, y ) 0
dy
y
dx
'
'
Fx
'
Fy
'
zx
z
x
'
Fx
'
Fz
;
'
zy
z
y
• Замечание. Производные второго порядка
'
Fy
'
Fz
функции, заданной неявно находятся с помощью
последующего дифференцирования равенства,
полученных для первой производной по
соответствующей переменной.

12. Спасибо за внимание