Производные основных элементарных функций, сложных, обратных функций заданных неявно, параметрически (Лекция 9)

1. Лекция 9. Производные основных элементарных функций, сложных, обратных, функций, заданных неявно, параметрически.

1

2.

2

3.

3

4.

4

5.

5

6.

6

7.

7

8.

8

9.

9

10.

10

11.

11

12.

12

13.

13

14.

14

15.

15

16.

16

17.

17

18.

18

19.

19

20.

20

21.

21

22.

22

23.

23

24.

Понятие функции, заданной
параметрически.
Определение. Пусть заданы уравнения:
x=Φ(t)
(2) ,
y=Ψ(t)
где t T– промежутки, причём функция
x = Φ ( t ) имеет обратную функцию x = Φ -1 ( x),
тогда определена функция y = Ψ (Φ -1 ( x ) ) =
=ɸ ( x ) – эта функция называется функцией ,
заданной параметрически уравнениями (2).
24

25.

x = sin t
Пример. Пусть
, t [ ; ] ,
y = cos t
2 2
t= arcsin x , т.к. на [ ; ] sin имеет обрыв
2 2
y= cos(arcsin x) 1 x 2
( …), т.к.
y > cos(arcsin x) > 0 на [ ; ] .
2 2
25

26.

Теорема (о производной функции, заданной
параметрически). Пусть функция y = Ψ (Φ -1 ( x ) )
задана параметрически уравнениями
x=Φ(t)
, t T , причём функции Φ ( t )
y=Ψ(t)
и Ψ ( t ) дифференцируемы в некоторой точке t0 и
Φ (t0) ≠ 0. Тогда функция y = Ψ (Φ -1 ( x ) )
дифференцируема в точке x0 и её производная
dy
может быть найдена по формуле:
dy dt
(t 0)
dx
y x (x0)=
,т.е.
dx
Ф(t 0)
26
dt

27.

Доказательство
Рассмотрим функцию y = Ψ (Φ -1 ( x ) ). Она
является композицией двух функций. Её
производная в точке x0 :
t' (t 0) ' (t 0)
=
y x (x0)= Ψt (t0) t x (x0) =
(*)
Фt' (t 0) Ф' (t 0)
Равенство (*) справедливо в силу теоремы
о производной обратной функции.
27