Производная функции. Тема 9

1.

§9. Производная функции
п.1. Определение производной, ее
геометрический и физический смысл.
y f (x )
M 0 ( x0 ; f ( x0 ))
y f (x )
y
M1
M 1 ( x0 x; f ( x0 x ))
M 0 M 1 ─ секущая
x 0
M1 M 0
M0
O
x0
x0 x x

2.

y f (x )
y
M1
M0
O
x0
x0 x x
Касательной к кривой в точке M0 называется
предельное положение секущей M 0 M 1 ,
когда точка M1 неограниченно приближается
к точке M 0 .

3.

y f (x )
y
M1
y
M0
O
x0
x0 x x
y f ( x0 x ) f ( x0 )
k сек tg
x
x

4.

y f (x )
y
M1
y
M0
O
x0
?
x 0 y 0; lim
x 0
x0 x x
lim tg tg
x 0
f ( x0 x ) f ( x 0 )
yy
kkкас
tg
tg lim
lim tg
tg lim
lim
lim
кас
xx
00
xx
00
xx x 0
x

5.

Производной функции y f (x ) в точке x0
называется предел отношения приращения
функции к приращению аргумента, когда
приращение аргумента стремится к нулю.
f ( x0 x ) f ( x 0 )
f ' ( x0 ) lim
x 0
x
f ( x ) f ( x0 )
f ' ( x0 ) lim
x x0
x x0

6.

Физический смысл
Если функция y f (x ) описывает какой-либо
физический процесс, то производная y есть
скорость протекания этого процесса.
s s (t )
s ' (t ) v (t )

7.

Геометрический смысл
y
k кас lim
f ' ( x0 )
x 0 x
Производная f ' ( x0 ) в точке x0 равна
угловому коэффициенту касательной к
графику функции в точке с абсциссой x0 .
Уравнение касательной
y f ' ( x0 )( x x0 ) f ( x0 )

8.

Нормалью называется прямая,
перпендикулярная касательной в точке
касания.
1
1
k норм
k кас
f ' ( x0 )
y
Уравнение нормали
O
x0
x
1
y
( x x0 ) f ( x0 )
f ' ( x0 )
f ' ( x0 ) 0

9.

п.2. Связь между существованием
производной и непрерывностью.
Теорема 1. Если функция y f (x ) в точке x0
имеет производную, то она
непрерывна в этой точке.

10.

Доказательство.
Теорема 2 из §6
y
f ' ( x0 ) lim
x 0 x
y
f ' ( x0 ) ( x )
x
(x ) ─ БМФ при x 0
y f ' ( x0 ) x ( x ) x
lim y lim f ' ( x0 ) x ( x ) x
x 0
x 0
f ' ( x0 ) lim x lim ( x ) x 0
x 0
x 0
y f (x ) непрерывна в точке x0 .

11.

Замечание. Обратное утверждение неверно.
Пример.
y | x |
x0 0
y
O
y | x |
x
y f (0 x ) f (0) f ( x ) | x | 1, x 0;
x
x
x
x 1, x 0.

12.

y
Вывод: предел отношения
в точке x0 0
x
не существует.
Значит, функция y | x | непрерывна в точке
, но неxимеет
0 0 в этой точке производной.
График этой функции не имеет касательной в
точке O ( 0;0).

13.

п.3. Правила дифференцирования
(нахождения производной).
Теорема 2. Если функции u u (x ) и v v (x )
в точке x имеют производную, то их сумма,
разность, произведение и частное также
имеют производную в этой точке (частное при
условии v ( x ) 0 ), причем справедливы
формулы:
(u v ) u v
(u v ) u v u v
u u v u v
2
v
v

14.

Доказательство.
u ( x x ) v ( x x ) u ( x ) v ( x )
(u ( x ) v ( x )) lim
x 0
x
u ( x x ) u ( x ) v ( x x ) v ( x )
lim
x 0
x
u ( x x ) u ( x ) v ( x x ) v ( x )
lim
x 0
x
x
u ( x x ) u ( x )
v ( x x ) v ( x )
lim
lim
x 0
x 0
x
x
u ( x ) v ( x )

15.

u ( x x ) v ( x x ) u ( x ) v ( x )
(u ( x ) v ( x )) lim
x 0
x
u ( x x ) v ( x x ) u ( x ) v ( x x ) u ( x ) v ( x x ) u ( x ) v ( x )
lim
x 0
x
u ( x x ) u ( x ) v ( x x ) u ( x ) v ( x x ) v ( x )
lim
x 0
x
v ( x x ) v ( x )
u ( x x ) u ( x )
lim
v ( x x ) u ( x )
x 0
x
x
u ( x x ) u ( x )
v ( x x ) v ( x )
lim
lim v ( x x ) lim u ( x ) lim
x 0
x 0
x 0
x 0
x
x
u ( x ) v ( x ) u ( x ) v ( x )

16.

Самостоятельно: доказать формулы для
производной разности и частного двух
функций.

17.

п.4. Вывод таблицы производных.
Производная обратной и сложной
функции.
1.
f ( x) C
f ( x x ) f ( x )
C C
f ' ( x ) lim
lim
0
x 0
x 0 x
x
(C ) 0

18.

2.
f ( x ) sin x
sin( x x ) sin x
f ' ( x ) lim
x 0
x
x
x
2 sin
cos x
2
2
lim
x 0
x
x
2 sin
x
2
lim
lim cos x 1 cos x cos x
x 0
x 0
x
2
(sin x ) cos x

19.

3.
f ( x ) cos x
(cos x ) sin x
Доказать самостоятельно.

20.

4.
f ( x ) tg x
sin x (sin x )' cos x (cos x )' sin x
(tg x )
2
cos
x
cos x
cos x sin x
2
2
2
cos x
( tg x)
1
2
cos x
1
2
cos x

21.

5.
f ( x ) ctg x
(ctg x)
1
2
sin x
Доказать самостоятельно.

22.

6. f ( x ) a
( a ) lim
x
x
a
x x
x 0
lim a lim
x
x 0
x
a
a a 1
lim
x 0
x
x
x 0
x
a
x
x
1
x
a ln a
x
( a ) a ln a
x
x

23.

7. f ( x ) e
x
(e ) e
x
x
Доказать самостоятельно.

24.

Теорема 3. Если функция y f (x ) строго
монотонна и непрерывна в
некоторой окрестности точки x0 ,
имеет производную в точке x0
и f ' ( x0 ) 0, то обратная функция
1
имеет производную
x f ( y) в
соответствующей точке
,
, причем
y0 y 0 f ( x 0 )
(f
1
1
( y 0 ))
f ' ( x0 )

25.

Доказательство.
x f
1
монотонна
и
непрерывна
( y)
в некоторой окрестности точки y0
y 0 x 0
f
1
y 0 x 0
x
1
1
( y0 ) lim
lim
y
y 0 y y 0 y
lim
x x 0 x
1
f ' ( x0 )
'

26.

8. f ( x ) log a x
a 0, a 1
y
x a
1
log a x ' y
y
x
ln
a
a
ln
a
a
'
1
1
Теорема 3
1
log a x
x ln a
'

27.

9.
f ( x ) ln x
1
ln x
x
'
Доказать самостоятельно.

28.

10. f ( x ) arcsin x
x sin y
x [ 1;1] y ;
2 2
1
1
arcsin x
'
sin y cos y 1 sin 2 y
1
2
1 x
1
'
arcsin x
2
1 x
'
1

29.

11. f ( x ) arccos x
arccos x
'
Доказать самостоятельно.
1
1 x
2

30.

12.
f ( x ) arctg x
arctg x
1
'
1 x
Доказать самостоятельно.
2

31.

13. f ( x ) arcctg x
arcctg x
1
'
1 x
Доказать самостоятельно.
2

32.

Теорема 4. Если функция u (x ) имеет в
точке x0 производную ' ( x0 ),
а функция y f (u ) имеет
в точке u0 , u 0 ( x0 ),
производную f ' (u 0 ) ,
то сложная функция y f ( ( x ))
имеет производную в точке x0
и справедлива формула:
y ' ( x0 ) f ' (u 0 ) ' ( x0 ).

33.

Доказательство.
Теорема 2 из §6
f (u 0 )
f ' (u0 ) lim
u 0 u
f
(
u
)
0
f ' (u 0 ) ( u )
u
( u ) ─ БМФ при u 0
f (u 0 ) f ' (u 0 ) u ( u ) u : x
f (u 0 )
u
u
f ' (u 0 )
( u )
x
x
x

34.

f (u 0 )
u
u
f ' (u 0 )
( u )
x
x
x
f ( ( x0 ))
f (u 0 )
'
f ( ( x0 )) lim
lim
x 0
x 0 x
x
u
u
lim f ' (u0 )
( u )
x 0
x
x
u
u
f ' (u0 ) lim
lim ( u ) lim
x 0 x x 0
x 0 x
f ' (u 0 ) ' ( x0 ) 0 ' ( x 0 ) f ' (u 0 ) ' ( x0 )

35.

14. f ( x ) x
x e
ln x
e
x e e
'
ln x '
ln x
ln x
ln x
1
1
1
x x
x
x
ln x
e
'
x x
'
1