Производная функции
Производная функции (1)
Производная функции (2)
Производная функции (3)
Производная функции (4)
Производная функции (5)
Вывод формулы производной произведения
Рассмотрим последнее слагаемое:
Производная функции (6)
Производная функции (7)
Производная функции
Производная функции (8)
Таблица производных сложной функции
примеры
примеры
Производная функции (9)
Примеры производной сложной функции.
Примеры производной сложной функции.
Производная функции (10)
Производная функции (11)
Производная функции (12)
Производная обратной функции
Доказательство теоремы о производной обратной функции
Следовательно, или
Пример
Производная функции
Производная функции (15)
Производная функции, заданной параметрически
Циклоида
Астроида
Производные высших порядков.
Правило Лопиталя.
Правило Лопиталя
1.28M
Category: mathematicsmathematics

Производная функции

1. Производная функции

2. Производная функции (1)


Пусть функция
f (x)
окрестности точки
x
определена в некоторой
(включая точку
x
).
Определение 1.
f ( x)
f ( x) lim
x 0 x
Определение 2.
Касательной прямой
в точке
положение секущей
y f (x)
Производной функции f (x) называется
предел отношения приращения функции
к приращению аргумента, когда
приращение аргумента стремится к нулю.
y
l
l к графику функции
xo называется предельное
M o M, когда M M o
M
M
y f (x)
yo
0
Mo
xo
х

3. Производная функции (2)


Геометрический смысл производной.
y f ( xo x)
l
M
M
y f (x)
y
Mo
tg tg
yo
x
0
xo x
x xo x
Значение производной функции f (x) в точке xo
равно угловому коэффициенту касательной
к графику этой функции в точке
где
M M o x 0
yo f ( xo )
M o ( xo , yo )
kсек.
y
kкас.
x
y
kкас.
x 0 x
f ( x0 ). lim

4.


Производная – одно из фундаментальных понятий математики. Оно возникло
в XVII веке в связи с необходимостью решения ряда задач из физики,
механики и математики, но в первую очередь следующих двух: определение
скорости прямолинейного движения и построения касательной к прямой.
Независимо друг от друга И.Ньютон и Г.Лейбниц разработали аппарат,
которым мы и пользуемся в настоящее время.
И.Ньютон в основном опирался на физическое представление о мгновенной
скорости движения, считая его очевидным и сводя к нему другие случаи
производной, а Г.Лейбниц использовал понятие бесконечно малой.
Исчисление, созданное Ньютоном и Лейбницем, получило название
дифференциального исчисления. С его помощью был решен целый ряд задач
теоретической механики, физики и астрономии. В частности, используя
методы дифференциального исчисления, ученые предсказали возвращение
кометы Галлея, что было большим триумфом науки XVIII в. С помощью тех же
методов математики изучали в XVII и XVIII вв. различные кривые, нашли
кривую, по которой быстрее всего падает материальная точка, научились
находить кривизну линий. Большую роль в развитии дифференциального
исчисления сыграл Л.Эйлер, написавший учебник “Дифференциальное
исчисление”.
Основные понятия дифференциального исчисления долгое время не были
должным образом обоснованы. Однако в начале XIX в. французский
математик О.Коши дал строгое построение дифференциального исчисления
на основе понятия предела.
Применяемая сейчас система обозначения для производной восходит к
Лейбницу и Лагранжу.
В настоящее время понятия производной находит большое применение в
различных областях науки и техники.

5.

6. Производная функции (3)

l
y
Уравнение касательной
к графику функции.
kl f ( xo )
N
yo
M o ( xo , yo )
y yo f ( xo ) ( x x0 )
0
y f ( xo ) f ( xo ) ( x x0 )
Определение 3.
Нормалью к графику функции y f (x) в точке xo
называется прямая N, проходящая через точку M o ( xo , yo )
перпендикулярно касательной прямой l
Уравнение нормали к графику функции.
y f ( xo )
xo
y yo k ( x xo )
1
1
kN kN
kl
f ( xo )
y f (x)
1
( x x0 )
f ( xo )
x

7. Производная функции (4)


Связь между существованием производной
– и непрерывностью функции.

Теорема.
f ( x) f ( x) непрерывнав т. x

Доказательство.
f ( x)
x 0 x
f ( x) lim
f ( x )
f ( x) ( x)
x
где 0 при х 0
f ( x) f ( x) x ( x) x
f ( x) 0 при x 0
f ( x) непрерывна в т. х

8. Производная функции (5)


Правила дифференцирования.
Пусть
Тогда
1.
2.
3.
4.
f ( x) и g ( x)
( f ( x) g ( x)) f ( x) g ( x)
( f ( x) g ( x)) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
(C f ( x)) C f ( x)
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
, если g ( x) 0
2
g ( x)
(
g
(
x
))
Доказательство 1 правила (для суммы).
1 шаг.
2 шаг.
3 шаг.
( f g ) f g
( f g ) f g
x
x x
( f g )
f
g
lim
lim
x 0
x 0 x
x 0 x
x
т о ест ь
( f ( x) g ( x)) f ( x) g ( x)
lim

9. Вывод формулы производной произведения

Пусть существуют производные u и v.
y u v ,y y (u u) (v v)
y (u u) (v v) - uv v u u v u v
y
u
v
v
v
u u
x
x
x
x
y
u
v
v
lim
v lim
u lim u
x 0 x
x 0 x
x 0 x
x 0
x
y lim
u
v
v
lim
v
u
lim
lim
u
lim
x
0
x 0 x
x 0
x 0 x
x
Т.к. u и v не зависят от x

10. Рассмотрим последнее слагаемое:

Так как функция u – имеет производную по условию, то она
непрерывна, следовательно, по 2-му определению
непрерывности:
lim u 0
x 0
v
v
x 0 x
Также по условию существует производная lim
Значит
v
0
x 0 x
lim u lim
x 0
В итоге имеем
y u v u v

11. Производная функции (6)


Таблица производных основных
элементарных функций.

1.
(C ) 0

2.
( x ) n x

3.

4.

5.

6.

7.



n
n 1
(a x ) a x ln a
(e x ) e x
( x) 1
( x 2 ) 2 x
x 2 1 x
1
(loga x)
1 x ln a
(ln x)
x
(sin x) cos x
8. (cosx) sin x
1
9. (tg x)
cos2 x
1
(
ctg
x
)
10.
sin 2 x
11.
12.
13.
14.
(arcsin x)
(arccosx)
1
1 x2
1
1 x2
1
1 x2
1
(arcctgx)
1 x2
(arctgx)

12. Производная функции (7)


Вывод формулы 7:
1.
(sin x) cos x
sin x sin(x x) sin x
x
2 x x
2 cos
sin
2
2
2.
3.
x
sin x
x
2
cos x
x
x
2
2
x
sin
sin x
x
2
lim
lim cos x
lim
x 0
x 0
x
2 x 0 x
2
(sin x) cos x
sin
1

13.

y ln x
y ln( x x ) ln x
y
ln( x x ) ln x
lim
x 0 x
x 0
x
x x
x x
ln
ln
x
x
x
lim
lim
x 0
x 0
x
x
x
x
ln 1
x
1
x
lim
lim x lim
x 0
x 0 x
x 0 x x
x
x
y ' lim
При вычислении предела использована формула таблицы эквивалентных
бесконечно малых:
x
x x
ln 1
при
0
~
x x
x
1
(ln x)'
x

14. Производная функции

y e x
y ex
y e x x e x
y
e x x e x
y ' lim
lim
x 0 x
x 0
x
e x e x e x
e x (e x 1)
lim
lim
x 0
x 0
x
x
e x x
lim
ex
x 0 x
При вычислении предела использована формула таблицы
эквивалентных бесконечно малых:
e x 1 ~ x
при
x 0
(e )' e
x
x

15. Производная функции (8)


Производная сложной функции.
Теорема.
1. y(x) – сложная функция, то есть
y f (u ) , u ( x)
y( x) f ( ((x))
y ( x) f (u ) ( x)
где u ( x)
2. ( x) в т. х
3. f (u ) в т. u , причем
y yu u x
значение u ( x)
Доказательство.
1..Возьмем x 0 u y
(предполагаем, что u 0 )
y u
2. y
u x
y
y
u
lim
lim
lim
x 0 x
x 0 u x 0 x
y
u
lim
lim
u 0 u x 0 x
x
3.
(ч.т.д.)

16. Таблица производных сложной функции

u = u(x) является функцией от x.
( u n ) nu n 1 u
( a u ) a u ln a u
( eu ) eu u
1
(log a u )
u
u ln a
1
(lnu ) u
u
(sinu ) cos u u
(cos u ) sinu u
1
u
2
cos u
1
( ctg u ) 2 u
sin u
1
( arc sinu )
u
2
1 u
1
(arccos u )
u
1 u2
1
( arctg u )
u
2
1 u
1
( arcctg u )
u
2
1 u
( tg u )

17. примеры

По формуле: ( u5 ) 5u 4 u
(( 1 2 x )5 ) 5( 1 2 x )4 ( 1 2x ) 5( 1 2x )4 2 10( 1 2x )4
По формуле: (sinu ) cos u u
(sin 7 x ) cos 7 x ( 7 x ) 7 cos 7 x
По формуле: ( u 2 ) 2u u
(sin2 x ) 2 sin x (sin x ) 2 sin x cos x sin 2x

18. примеры

1
По формуле: (lnu ) u
u
(lncos x )
1
1
(cos x )
sin x tg x
cos x
cos x
По формуле: ( arc sinu )
( arc sin 4 x )
1
1 ( 4 x )2
1
1 u
( 4 x )
2
u
4
1 ( 4 x )2

19. Производная функции (9)


Примеры.
1.
y ln sin x
y ln u , u sin x
y
2.
1
1
cos x
cos x ctgx
u
sin x
y ln 2 sin x
y u 2 , u ln t , t sin x
1
1
y 2u cos x 2 ln sin x
cos x
t
sin x
2ctgx ln sin x

20. Примеры производной сложной функции.

Производная произведения и частного.
(u v)' u' v u v'
y 2 x tg 4x ;
y' 2 x ln 2 ( 1) tg 4x 2 x
1
1
4;
2
2 tg 4x cos 4x
'
u u ' v v' u
v
v2
y
e 2 x sin 5x
(1 4x ) 2
;
(2e 2 x 5 cos 5x )(1 4x ) 2 (e 2 x sin 5x ) 2(1 4x ) 4
y
;
(1 4x ) 4
'

21. Примеры производной сложной функции.

Примеры производной сложной функции.
y x ln 5 (1 8x 2 );
1
80x ln 4 (1 8x 2 )
y' 1 5 ln (1 8x )
( 16x ) 1
;
2
2
1 8x
1 8x
4
2
2
2x 3
2x 3
y 3 cos arctg
cos 3 arctg
;
5
5
2
1
2
2x 3
2x 3
y' cos 3 arctg
sin arctg
3
5
5
1
2x 3
1
5
2
2
;
5

22. Производная функции (10)


Обратная функция.
Определение.
y f ( x) : X Y
y
x ( y) : Y X
Функции y f ( x) и x ( y)
y
Пусть
называются взаимно обратными,
если
или
f ( ( y)) y всюду в Y
( f ( x)) x всюду в X
Y
y f (x)
0
x
х
X
x ( y)
y
y
0
Графиками
взаимно обратных
функций является
одна и та же линия.
y f (x)
x ( y)
x
х
Функция
x ( y) называется
обратной к
Функция
y f (x)
y f (x)
обратной к
называется
x (y)

23. Производная функции (11)


Примеры.
1. Показательная функция
y ax
и логарифмическая функция
a 1
y
0 a 1
x loga y.
y
y
1
y ax
1
0
0
x
x loga y
x
y
x
x loga y
a 1
Обычно
x – аргумент
y - функция
x loga y
Д.з. Построить график
логарифмической
функции при 0 a 1
y loga x
y loga x
0
x

24. Производная функции (12)


2. Тригонометрические и обратные
тригонометрические функции
y
y sin x x arcsin y
y cos x x arccosy
y tgx x arctg y
y ctgx x arcctg y
2
x arcsin y
1
2
y arcsin x
y sin x
1
0
1
1
2
x
2
Д.З. Построить графики других
обратных тригонометрических
функций.

25. Производная обратной функции

• Пусть для функции y = f(x) существует обратная функция
x = φ(y), f(x) в точке x0 имеет конечную производную f ' ( x0 ) .
Тогда обратная функция x = φ(y) в соответствующей точке
1
.
y0 f ( x0 ) имеет производную, равную ' ( y0 )
f ' ( x0 )

26. Доказательство теоремы о производной обратной функции

• Придадим значению y y0 произвольное приращение y , тогда
соответствующее приращение x получит функция x = φ(y).
При y 0 ввиду однозначности функции y = f(x) и x 0 . Тогда
x
1
y
y
x
Если y 0 , то, в силу непрерывности функции x = φ(y) и x 0.
x
1
1
1
lim
.
y
y 0 y
y 0 y
f
'
(
x
)
0
lim
x y 0 x
' ( y0 ) lim

27. Следовательно, или

1
. или
Следовательно, ' ( y0 )
f ' ( x0 )
1
x' y
y'x

28. Пример

1) arcsin x
1
1 x2
y arcsin x x sin y
x cos y y
1
1
x cos y
cos y 1 sin 2 y 1 x 2
2
y
2
cos y 0
y
1
1 x2

29. Производная функции

y arctg x
• Пусть
y arctg x
x
Эта функция является обратной для
y'x
1
x' y
1
1
x tg .y
1
1 tg y
2
1
1 x
cos 2 y
1
2
1
tg
y.
так как
2
cos y
В результате
1
(arctg x)'
1 x2
2
,

30. Производная функции (15)


Определение 2.
Говорят, линия L на плоскости XOY
задана параметрически, если
координаты точек М на линии являются
функциями переменной t :
y
x x(t ),
y y (t ), t t1 , t 2 .
Пример 2. Циклоида
(Галилей,1690. Торричелли, Вивиани)
Пример 1. Окружность
x R cost ,
y R sin t , t 0,2
R
0
M(x,y)
t
x
Пример 3. Астроида
(Мухаммед Насирэддин, 13 в.,
Николай Коперник,16 в., Альбрехт Дюрер, 16 в.)
3
x R cos t ,
3
y R sin t , t 0,2
x R(t sin t ),
y R(1 cost ), t ,
y
R
y
M(x,y)
t
0
(t=0)
0
Первая арка
x 2 R
(t 2 )
x
x

31. Производная функции, заданной параметрически

Пусть функция y от x задана параметрически:
x x(t )
,
y y (t )
t1 t t2
t – параметр (вспомогательная переменная) .
Пусть x(t) и y(t) имеют производные для всех t из интервала
[t1 , t2 ] и пусть x(t) имеет обратную функцию t = Ф(x),
также имеющую производную.

32.

• Тогда функцию y можно рассматривать как сложную
функцию y = y(t), а t = Ф(x), т.е. Y=y(Ф(x)).
( t – промежуточный аргумент).
По правилу нахождения производной сложной функции:
y ' x y 't t ' x .
По теореме об обратной функции
y 't
y'x
x't
t 'x
1
x't
, тогда

33. Циклоида

34. Астроида

35. Производные высших порядков.


Определение 1.
Производная y f (x)
называется производной
первого порядка функции
Определение 2.
Производная от производной первого порядка
называется производной второго порядка
функции
y f (x)
y f ( x) : y ( f ( x))
Пример.
y ax
y a x ln a ;
y a x (ln a) 2 ;
Определение 3.
Производная от производной (n-1) -порядка
называется производной
y ( n ) a x (ln a) n
функции
n – порядка
y f ( x) : y(n) ( f (n 1) ( x))

36. Правило Лопиталя.


Теорема 1.

Теорема 2.

Пусть выполнены условия:

Пусть выполнены условия:

1) функции f ( x) и g ( x)
являются бесконечно малыми

1) функции f ( x) и g ( x)


при x x ( или при
o

2)

3) lim

x ) ;
f ( x) и g ( x)
f ( x)
или lim
A
x xo
x g ( x)
Тогда lim f ( x ) lim f ( x ) A
x xo g ( x )
x xo g ( x )
( или при x )
f ( x)
A
g ( x)
( правило раскрытия неопределенности 0 )
0

являются бесконечно большими

при x xo
( или при
x );
f ( x) и g ( x)

2)

3) lim

Тогда
x xo
lim
x xo
f ( x)
A
g ( x)
f ( x)
или lim
A
x g ( x)
f ( x)
f ( x)
lim
A
x xo g ( x )
g ( x)
( или при x )
( правило раскрытия неопределенности
)

37. Правило Лопиталя

• Примеры.
• 1.
• 2.
lim
x 1
a
x 1
0 lim cos x 0 lim sin x 1
lim
0 x 2
2
x
2
0
x
2
2
(
x
)
2
)
2 (x
2
2
1 sin x
x 1
2x 1
lim
2
lim
x
2 x 1 x 4 x 2
2
• 3.
x 1
1 0
a ln a
lim
ln a
x 1
x 1
0
1
English     Русский Rules