Производная функции
Производная функции (1)
Производная функции (2)
Производная функции (3)
Производная функции (4)
Производная функции (5)
Производная функции (6)
Производная функции (7)
Производная функции (8)
Производная функции (9)
Производная функции (10)
Производная функции (11)
Производная функции (12)
Производная функции (13)
Производная функции (14)
Производная функции (15)
Циклоида
Астроида
Производная функции (16)
Производная функции (17)
Производная функции (18)
Правило Лопиталя
1.07M
Category: mathematicsmathematics

Производная функции

1. Производная функции

2. Производная функции (1)


Пусть функция
f (x) определена в некоторой
окрестности точки
x (включая точку x ).
Определение 1.
f ( x)
f ( x) lim
x 0 x
Определение 2.
Производной функции f (x) называется
предел отношения приращения функции
к приращению аргумента, когда
приращение аргумента стремится к нулю.
y
l
Касательной прямой l к графику функции
M o M, когда M M o
M
y f (x)
y f (x) в точке xo называется предельное
положение секущей
M
yo
0
Mo
xo
х

3. Производная функции (2)


Геометрический смысл производной.
y f ( xo x)
l
M
M
y f (x)
y
Mo
tg tg
yo
x
0
xo x
x xo x
Значение производной функции f (x) в точке xo
равно угловому коэффициенту касательной
к графику этой функции в точке M ( x , y )
где
M M o x 0
yo f ( xo )
o
o
o
kсек.
y
kкас.
x
y
kкас.
x 0 x
f ( x0 ). lim

4. Производная функции (3)

l
y
Уравнение касательной
к графику функции.
kl f ( xo )
N
yo
M o ( xo , yo )
y yo f ( xo ) ( x x0 )
0
y f ( xo ) f ( xo ) ( x x0 )
Определение 3.
Нормалью к графику функции y f (x) в точке xo
называется прямая N, проходящая через точку M o ( xo , yo )
перпендикулярно касательной прямой l
Уравнение нормали к графику функции.
y f ( xo )
xo
y yo k ( x xo )
1
1
kN kN
kl
f ( xo )
y f (x)
1
( x x0 )
f ( xo )
x

5. Производная функции (4)


Связь между существованием производной
– и непрерывностью функции.

Теорема.
f ( x) f ( x) непрерывнав т. x

Доказательство.
f ( x)
x 0 x
f ( x) lim
f ( x )
f ( x) ( x)
x
где 0 при х 0
f ( x) f ( x) x ( x) x
f ( x) 0 при x 0
f ( x) непрерывна в т. х

6. Производная функции (5)


Правила дифференцирования.
Пусть
Тогда
1. ( f ( x) g ( x)) f ( x) g ( x)
f ( x) и g ( x)
2. ( f ( x) g ( x)) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
3.
4. f ( x )
(C f ( x)) C f ( x)
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
, если g ( x) 0
2
g ( x)
(
g
(
x
))
Доказательство 1 правила (для суммы).
1 шаг.
2 шаг.
3 шаг.
( f g ) f g
( f g ) f g
x
x x
( f g )
f
g
lim
lim
x 0
x 0 x
x 0 x
x
т о ест ь
( f ( x) g ( x)) f ( x) g ( x)
lim

7. Производная функции (6)


Таблица производных основных
элементарных функций.

1. (C ) 0

2. ( x ) n x

n
3. (a ) a
x
x
n 1
ln a

4. (e ) e

5.

6.

7. (sin x) cos x
x
x
( x 2 ) 2 x
x 2 1 x
1
(loga x)
1 x ln a
(ln x)
x

8. (cos x) sin x

9.

( x) 1
1
cos2 x
1
(
ctg
x
)
10.
sin 2 x
(tg x)
11.
12.
(arcsin x)
(arccosx)
1
1 x2
1
1 x2
1
1 x2
1
14. (arcctgx)
1 x2
13.
(arctgx)

8. Производная функции (7)


Вывод формулы 7: (sin x) cos x
1. sin x sin(x x) sin x
x
2 x x
2 cos
sin
2
2
x
x
2. sin x
2
cos x
x
x
2
2
x
sin
sin x
x
2
3. lim
lim cos x
lim
x 0
x 0
x
2 x 0 x
2
(sin x) cos x
sin
1

9. Производная функции (8)


Производная сложной функции.
Теорема.
1. y(x) – сложная функция, то есть
y f (u ) , u ( x)
y ( x) f ( ((x))
2. ( x) в т. х
3. f (u ) в т. u , причем
значение u ( x)
Доказательство.
1..Возьмем x 0 u y
(предполагаем, что u 0 )
y u
2. y
u x
y
y
u
lim
lim
3. lim
x 0 x
x 0 u x 0 x
y
u
lim
lim
u 0 u x 0 x
x
y ( x) f (u ) ( x)
где u ( x)
(ч.т.д.)

10. Производная функции (9)


Примеры.
1. y ln sin x
y ln u , u sin x
1
1
y cos x
cos x ctgx
u
sin x
2. y ln
2
sin x
y u 2 , u ln t , t sin x
1
1
y 2u cos x 2 ln sin x
cos x
t
sin x
2ctgx ln sin x

11. Производная функции (10)


Обратная функция.
Определение.
Пусть y f ( x) : X Y
y
x ( y) : Y X
Функции y f ( x) и x ( y)
y
называются взаимно обратными,
если
f ( ( y)) y всюду в Y
или
( f ( x)) x всюду в X
Y
y f (x)
0
x
х
X
x ( y)
y
y
0
Графиками
взаимно обратных
функций является
одна и та же линия.
y f (x)
x ( y)
x
х
Функция x ( y ) называется
обратной к
y f (x )
Функция y f (x ) называется
обратной к x (y )

12. Производная функции (11)


Примеры.
1. Показательная функция
y a x и логарифмическая функция x loga y.
a 1
y
0 a 1
y
y
1
y ax
1
0
0
x
x loga y
x
y
x
x loga y
a 1
Обычно
x – аргумент
y - функция
x loga y
Д.з. Построить график
логарифмической
функции при 0 a 1
y loga x
y loga x
0
x

13. Производная функции (12)


2. Тригонометрические и обратные
тригонометрические функции
y
y sin x x arcsin y
y cos x x arccosy
y tgx x arctg y
y ctgx x arcctg y
2
1
2
y arcsin x
x arcsin y
y sin x
2
1
0 1
1
x
2
Д.З. Построить графики других
обратных тригонометрических
функций.

14. Производная функции (13)


Производная обратной функции.
Теорема.
1. y f ( x) непрерывна я на a, b ;
2. y f ( x) монотонная на a, b ;
3. f ( x) при x a, b и f ( x) 0
Пример.
Вывод формулы 11 :
arcsin x
1. x ( y ) обрат ная
к y f ( x) ;
2. x ( y ) непрерывная
и монот онная;
1
3. ( y )
f ( x)
1
1 x2
1. y arcsin x x sin y
2. x cos y y
3.
1
1
x cos y
cos y 1 sin y 1 x
2
2
y
1
1 x2
( y )
2
1
1
f ( x)
f ( x)
( y )
y
2
cos y 0

15. Производная функции (14)


Функции, заданные параметрически.
Определение 1.
Говорят, что функция задана параметрически,
если задана пара функций
x x(t ),
y y (t ), t t1 , t 2 ,
t называется параметром.
Пример.
x t 1,
y t 2 , t ( , )
y
y ( x 1) 2
1. Функция y ( x) :
1
t x 1 y ( x 1) 2
-1 0
2. Функция x( y ) :
t 0, t y
x y 1;
t ,0 t y
x y 1.
x
y
1
-1 0
x

16. Производная функции (15)


Определение 2.
Говорят, линия L на плоскости XOY
задана параметрически, если
координаты точек М на линии являются
функциями переменной t :
y
x x(t ),
y y (t ), t t1 , t 2 .
Пример 2. Циклоида
(Галилей,1690. Торричелли, Вивиани)
Пример 1. Окружность
x R cost ,
y R sin t , t 0,2
R
0
M(x,y)
t
x
Пример 3. Астроида
(Мухаммед Насирэддин, 13 в.,
Николай Коперник,16 в., Альбрехт Дюрер, 16 в.)
3
x R cos t ,
3
y R sin t , t 0,2
x R(t sin t ),
y R(1 cost ), t ,
y
R
y
M(x,y)
t
0
(t=0)
0
Первая арка
x 2 R
(t 2 )
x
x

17. Циклоида

18. Астроида

19. Производная функции (16)


Производная функции, заданной
параметрически.
Теорема.
Пусть
– 1.
x (t ),
y (t ), t t1 , t 2 ;

2. (t ) непрерывная ,

3. (t0 ) , t0 t1 , t 2
монот онная на t1 , t2 ;
,
(t0 ) 0 ;

4.
(t ) непрерывная

5.
(t0 )
на t1 , t 2 ;
В т очке x0 (to )
(t0 )
y ( x0 )
(t0 )

20. Производная функции (17)


Производные высших порядков.
Определение 1.
Производная y f (x)
называется производной
первого порядка функции y f (x)
Определение 2.
Производная от производной первого порядка
называется производной второго порядка
функции
Определение 3.
y a x (ln a ) 2 ;
Производная от производной (n-1) -порядка
y ( n ) a x (ln a ) n
называется производной
функции
y f ( x) : y ( f ( x))
n – порядка
y f ( x) : y(n) ( f (n 1) ( x))
Пример.
y ax
y a x ln a ;

21. Производная функции (18)


Правило Лопиталя.

Теорема 1.

Теорема 2.

Пусть выполнены условия:

Пусть выполнены условия:

1) функции f ( x) и g ( x)

1) функции f ( x) и g ( x)

являются бесконечно малыми

являются бесконечно большими

при x xo ( или при x ) ;

при x xo

2) f ( x) и g ( x)

3) lim

f ( x)
или lim
A
x g ( x )
f ( x)
f ( x)
Тогда lim
lim
A
x xo g ( x )
x xo g ( x )
( или при x )
f ( x)
A
x xo g ( x )
( правило раскрытия неопределенности
0
)
0
( или при x
);
f ( x) и g ( x)

2)

3) lim

Тогда
f ( x)
A
x xo g ( x )
f ( x)
или lim
A
x g ( x )
f ( x)
f ( x)
lim
A
x xo g ( x )
x xo g ( x )
( или при x )
lim
( правило раскрытия неопределенности
)

22. Правило Лопиталя

• Примеры.
• 1.
• 2.
lim
x 1
a
x 1
0 lim cos x 0 lim sin x 1
lim
0 x 2
2
x
2
0
x
2
2
(
x
)
2
)
2 (x
2
2
1 sin x
x 1
2x 1
lim
2
lim
x
x 4 x
2
2x 1
2
• 3.
x 1
1 0
a ln a
lim
ln a
x
1
x 1
0
1
English     Русский Rules