Логарифмическая производная. Производная функции, заданной параметрическими уравнениями. (Семинар 9)

1.

Семинар 9. Логарифмическая производная. Производная функции, заданной
параметрическими уравнениями
Понятие о логарифмической производной
Рассмотрим сложную функцию y ln z, z ( x)
Применяя правило дифференцирования сложной функции, получаем
y x' (ln z ) 'x (ln z ) 'z z x' y x'
1 '
z'
z x y ' (ln z ) 'x
z
z
Производная от логарифмической функции называется логарифмической
производной функции.
2
Пример y ln( x 2 4 x 5) y' ( x 2 4 x 5)' 2 2 x 4
x 4x 5
x 4x 5
Производная функции, заданной параметрическими уравнениями
Зависимость между переменными x,y иногда удобно задавать двумя уравнениями
x (t ), y (t )
(1), где t – вспомогательная переменная, (параметр). В общем
случае, уравнения (1) определяют y как сложную функцию относительно x.
Разрешив первое уравнение системы (1) относительно параметра t (если это
возможно), получимt (x), функция, обратная к функции Далее, исключая
из уравнений (1) параметр t, получаем y ( ( x)) (2). Пользуясь формулой (2) легко
найти производную y x' как производную сложной функции. Кроме того, существует
правило для нахождения y x' не требующее исключение параметра t (параметр
невозможно исключить).

2.

Теорема
Если функция y аргумента x задана параметрическими уравнениями x (t ), y (t ) ,где
(t ), (t )- дифференцируемые функции и (t ) 0 производная этой функции есть
y t'
y '
xt
'
x
(3).
Примеры с решениями.
1.Применяя логарифмическую производную вычислить производные следующих
функций:
Решение Здесь основание и показатель степени зависят от х.
1) y x x
Логарифмируя, получим y x 2 ln x
Продифференцируем обе части последнего равенства по х. Так как y является функцией
y'
от х, то lny есть сложная функция х и
Следовательно
(ln
y )'
2
y
2
2
y'
1
x 2 2 x ln x y' yx(2 ln x) x x x(1 2 ln x) x x 1( 2 ln x )
y
x
2) y (sin x) tgx
Решение .Имеем ln y tgx ln sin x откуда
3) y
(2 x 1) 2 3x 2
(5x 4) 2 3 1 x
y ' ln sin x
cos x ln sin x
ln sin x
tgx
1 y ' (sin x) tgx (1
)
2
2
y cos x
sin x cos x
cos 2 x

3.

Решение. Здесь заданную функцию также полезно предварительно
прологарифмировать
1
1
ln y 3(ln( 2 x 1) ln( 3x 2) 2 ln( 5 x 4) ln( 1 x)
2
3
y'
6
3
10
1
y 2 x 1 2(3x 2) 5 x 4 3(1 x)
Получаем
y'
(2 x 1) 2 3x 2
(5x 4) 2 3 1 x
(
6
3
10
1
)
2 x 1 2(3x 2) 5 x 4 3(1 x)
4) y x x 2 x x 2
Решение. заданную функцию также полезно предварительно прологарифмировать
ln y x ln x x ln 2 2 x ln 2 ln x x 3
y'
1
ln 2( x 3 3x 2 ln x) ln 2 x 2 (1 3 ln x)
y
x
следовательно y' x x 2 x x 2 ( ln 2 x 2 (1 3 ln x))
2.Продифференцировать функции, заданные параметрическими уравнениями
'
3
y
'
t
1.Найти y x ' если x t 3t 1
xt
Решение
2.Найти
5
3
y 3t 5t 1
xt' 3t 2 3; yt' 15t 4 15t 2 y x'
y t'
y '
xt
'
x
если x e t sin t
y e t cos t
15t 4 15t 2
5t 2
2
3t 3

4.

Решение xt' e t sin t e t cos t; yt' e t cos t e t sin t y x' e t(cos t sin t ) e 2t
e (cos t sin t )
'
3. Найти ' y t
если x ln( t 2 1)
yx '
xt
y arctgt
t
Решение
1
2t
1
'
'
1 t 2 1
xt'
;
y
y
t
x
2t
2t
1 t2
1 t 2
2
1 t
Примеры для самостоятельного решения.
1.Применяя логарифмическую производную вычислить производные следующих
функций
x
x
ctg
x
2
sin x
1
thx
x
1. y 4
2. y (ln x) 3. y
4. y ( x 1)
5. y (tx2 x) 2
6. y 3
1 thx
x 5
5
x2 4
1 x
1
7. y 1 e x arctgx 2 ln x 1
2
x
2. Продифференцировать функции, заданные параметрическими уравнениями
1 t2
t
2
1. x ln( 1 t ) 2. x e sin t 3. x
4. x 3at
2
y t arctgt
y e t cos t
1 t
y 1
t 2 1
1 t3
2
y 3at
1 t3