Решение иррациональных уравнений

1. Решение иррациональных уравнений 11 класс

2. Определение.

Уравнения, в которых под знаком корня
содержится переменная, называют
иррациональными.
Примеры:
3
х 2 0
х 1 5 х
3
х 2х 1 4 0
2

3. Методы решения иррациональных уравнений.

1.
f х а.
Если а - отрицательно, то уравнение f х а.
- не имеет решения;
2
Если а 0, то уравнение f х а f х а.
Это следует из определения арифметического
корня.

4. Пример:

х 2 5
2
х 2 25,
2
х 23,
х 23.
2
Ответ:
х 23.

5. Решите самостоятельно

х х 2 2
2
Решение: Возведем обе части в квадрат.
х х 2 4
2
х х 6 0
2
х 2
х 3
Ответ: 2; -3.

6. 2. Решение иррациональных уравнений, используя переход к смешанной системе.

g х 0,
f х g х
2
f х g х ;

7. Пример:

х 1 0,
3х х 2 х 1 2
2
3х х 2 х 1 ;
2
х 1,
2
2
3х х 2 х 2 х 1
2
2
3х х 2 х 2 х 1
2
D 1 24 25
2х х 3 0
1 5
х1
1 удовлетворяет условию х 1;
4
1 5 6
3
х2
1,5 не удовлетворяет
4
4
2
условию х 1
Ответ: х 1
посторонний корень.

8. Решите самостоятельно.

х 2 х 8
х 8 0,
Решение: х 2 х 8
2
х 2 х 8 ;
2
х 8,
х 17 х 66 0
2
х
2
х
16 х 64;
х1 х2 17
х1 х2 66
х1 11 удовлетворяет условию х 8
х2 6 не удовлетворяет условию х 8 посторонний корень.
Ответ: х 11

9. 3. Переход к равносильной системе.

f х
g ( x) 0,
g х f ( x) 0,
f ( x) g ( x)

10. Пример.

2 х 2 1 0,
2
2
2
х х 1 2 х 1 х х 1 0,
х 2 х 1 2 х 2 1;
х х 1 2 х 1,
2
2
2 1
х
2
х2 х 1 2х2 1
х х 2 0,
2
х1 2 удовлетворяет условию
х2 1 удовлетворяет условию

11. Решите самостоятельно

7х 1 2 х 4
Решение:
7 х 1 0,
7 х 1 2 х 4 х 4 0,
7 х 1 4( х 4).
7 х 1 4 х 16
3 х 15
х 5
Ответ:
х 5

12. 4.

f х g х а.
Если а 0 , то
f х g х а не имеет
решения.
Если а 0 , то
f х
f х 0,
g х а g х 0,
2
f
х
g
х
а
.

13. Пример:

х 1 0,
х 1 х 2 4 х 2 0,
х 1 х 2 16;
х 1,
3
65
х
2
,
х1
- не
2
х 2 3 х 2 16 0
удовлетворяет
условию
х 1
х 1,
3 65
2
- удовлетворяет
х
х
3
х
14
0
;
2
2 условию х 1
х 2 3х 14 0
D 9 56 65
Ответ: х
65 3
.
2

14. 5.

f х
f х 0,
g х h х g х 0,
f х g х h х ;
f х 0,
g х 0,
h х 0,
f х g х h 2 х.

15. Пример:

х 1 0,
2 х 6 0,
х 1 2х 6 х 3
х
3
0
,
х 1 2 х 6 х 3 2 ;
х 1,
3
х ,
2
х 3,
2
х 1 2 х 6 х 6 х 9;

16. - удовлетворяет условию не удовлетворяет условию Ответ:

х 1,
2
2
2 х 4 х 6 х 6 х 9;
2
2
2 х 4 х 6 х 6 х 9,
2
х 2 х 15 0
D 4 60 64
2 8
х1
5 - удовлетворяет
2
условию х 1,
2 8
6
х2
3
2
2
не удовлетворяет условию х 1
Ответ:
х 5.