Линейная алгебра. Определители

1.

Линейная алгебра

2.

2. Определители
Под определителем (детерминантом) понимают число,
соответствующее квадратной матрице любого порядка и
вычисленное по определенным правилам.
Обозначают определитель матрицы А:
Δ
Δ(А)
|A|
det A

3.

Определителем
первого
порядка
называют
соответствующее матрице 1-го порядка и равное:
число,
Δ=|a|=a
Определителем
второго
порядка
называют
соответствующее матрице второго порядка и равное:
a
b
c
d
ad bc
число,

4.

Пример 1. Вычислить:
5 6
7
8
5 8 ( 6) 7 40 42 2
sin a
cos a
cos a
sin a
sin a cos a 1
2
2

5.

Рассмотрим матрицу третьего порядка:
a11 a12
A a21 a22
a
a
31
32
a13
a23
a33

6.

Минором
Мij
элемента
аij
матрицы А называется
определитель, соответствующий матрице, полученной после
вычеркивания i-ой строки и j-го столбца в матрице А.
a11 a12
A a21 a22
a
31 a32
a13
a23
a33
М 11
М 22
а22
а23
а32
а33
а11
а13
а31
а33

7.

Алгебраическим дополнением Аij элемента аij , матрицы А
называется минор этого элемента, вычисленный по формуле:
Аij=(-1)i+jMij
Например:
А11
а22
а23
а32
а33
А12
а21
а23
а31
а33

8.

Пример 2. Найти алгебраические дополнения элементов первой
строки матрицы:
0 1 3
А 5 6 7
1 1 8
Решение:
А11 1 М 11
1 1
А12
5 7
1 8
6 7
1 8
48 7 41
(40 7) 33
А13
5 6
1 1
1

9.

Определителем третьего порядка называется число, равное
сумме произведений элементов строки (столбца) на их
алгебраические дополнения:
а11
а12
а21 а22
а31
а32
Или:
3
a1 j A1 j
j 1
а13
а23 а11 А11 а12 А12 а13 А13
а33

10.

Пример 3. Вычислить:
0
1
3
5
6
7
1
1
8
Решение:
0 1 3
5 6 7 0
1 1 8
6 7
1 8
1
5 7
1 8
3
5 6
1 1
33 3 36

11.

Замечание
При вычислении определителя третьего порядка пользуются
правилом Саррюса:
К определителю приписывают два первых столбца: со знаком «+»
берутся произведения трех элементов, стоящих на главной
диагонали и на прямых, ей параллельной;
Со знаком «-» - произведения трех элементов, стоящих на
побочной диагонали и прямых, ей параллельной.

12.

Например:
2 1 4
6 9 3
7 8 5
2
6
7
1
9
8
4 2 1
3 6 9
5 7 8
= 2·9·5 + 1·3·7 + 4·6·8 – 4·9·7 – 2·3·8 – 1·6·5 =
= 90 + 21 + 192 – 252 – 48 – 30 = –27

13.

Этот же способ обычно называют «методом треугольника» и
вычисления производят по следующей схеме:
Со знаком «+»
Со знаком «-»
(главная диагональ)
(побочная диагональ)

14.

Пример 4. Вычислить
3 1
4
5 6
1
0 5 2
Решение.
Δ = 3·6·(-2) + 1·1·0 +5·5·4 - 4·6·0 - 5·1·3 - 5·1·(-2) =
= -36 +100 - 15 +10 = 59.

15.

Определителем п-го порядка называется число, равное сумме
произведений элементов строки (столбца) на их алгебраические
дополнения:
а11 а12 ... a1n
n
а21 а22 ... a2 n a1 j A1 j
аn1 аn 2 ... ann
j 1

16.

Свойства определителей
1.
Определитель
матрицы
транспонированной матрицы
А
равен
определителю
det A = det AТ
Таким образом, строки и столбцы определителя равноправны, все
дальнейшие свойства справедливы как для строк, так и для
столбцов определителя.

17.

2. Перестановка двух соседних строк (столбцов) изменит знак
определителя на противоположный.
a
b
c
d
e
f
d
e
f a
b
c
g
h
k
h
k
g
3. Формула разложения определителя по любой строке (столбцу).
Определитель равен алгебраической
элементов любой строки (столбца)
n
алгебраические дополнения.
aij Aij
i 1
j 1
сумме произведений
на соответствующие

18.

4. Если две строки (столбца) определителя одинаковы, то
определитель равен нулю.
.
.
...
.
a
b
...
c
.
.
...
. 0
a
b
...
c
.
.
...
.

19.

5. Если элементы некоторой строки (столбца) умножить на одно и
то же число k, то определитель умножится на это число. Другими
словами, общий множитель элементов строки (столбца) можно
вынести за знак определителя.
.
.
...
.
.
.
...
.
kai1 kai 2 ... kain k ai1 ai 2 ... ain
.
.
...
.
.
.
...
.

20.

6. Если элементы двух строк
пропорциональны, то он равен нулю.
(столбцов)
.
.
...
.
a
b
...
c
ka kb ... kc
.
.
...
.
0
определителя

21.

7. Если элементы некоторой строки (столбца) являются суммой двух
слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей,
соответствующие строки которых состоят из этих слагаемых:
.
.
...
.
.
. ... .
.
. ... .
ai1 bi1 ai 2 bi 2 ... ain bin ai1 ai 2 ... ain bi1 bi 2 ... bin
.
.
...
.
.
. ... .
.
. ... .
8. Если элементы некоторой строки (столбца) равны нулю, то
определитель равен нулю.

22.

9. Алгебраическая сумма произведений элементов некоторой
строки (столбца) на алгебраические дополнения элементов другой
строки (столбца) равна нулю.
n
a
k 1
ik
Ask 0, если i s
10. Определитель не изменится, если к элементам некоторой
строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца),
умноженные на число k.

23.

Доказательство.
Пусть,
a11
a12
a 21 a 22
Рассмотрим:
1
a11
a12
a21 ka11
a22 ka12
k
a11
a12
a11
a12
a11
a12
a21
a22
k 0
a11
a12
ka11
ka12

24.

Пример 5. Вычислить
4
2 10
5
2
3
0
1
1
2
4
2
0
2
6
1
Решение:
К первой строке прибавим третью, умноженную на (-4); ко второй
строке прибавим третью, умноженную на (-2); полученный
определитель разложим по первому столбцу, тогда:

25.

0 6 6 3
0 1 8 3
1
2
4
2
0
2
6
1
2 2 1
6 6 3
0 А11 0 А21 1А31 0 А41 1( 1)
3 1
1 8 3
2
2 1 1
2 1 1
( 1)( 3) 1 8 3 ( 3)( 1)2 1 4 3 6 1 4 3
2 3 1
2 6 1
2 3 1
6
1

26.

Далее к первой и третьей строкам прибавим вторую, умноженную
на (-2) и разложим по элементам первого столбца.
Получим:
0 7 5
0 7 5
3 6( 5)( 1) 1 4 3
0 1 1
0 5 5
61
30( 1)
4
2 1
7 5
1 1
30(7 5) 60

27.

Пример 6. Вычислить
7
3 1 2
6
2 0 2
3
6 0 0
7 1 0 0
Решение.
Используем теорему Лапласа. Основные миноры образуем из
третьей и четвертой строк. Очевидно, что здесь только один минор
34
M
второго порядка
отличен от нуля, остальные равны нулю,
12
дополнительный минор:
M
12
34
1 2
0 2

28.

Получим:
( 1)
3 4 1 2
3
6 1 2
45 2 90
7 1 0 2

29.

Пример 7. Вычислить
1
3
0
1 0 2
3
4 7
1
2
4
8
6
1
3
Решение.
Преобразуем определитель так, чтобы все миноры второго порядка
в первых двух строках равнялись нулю. Прибавим к третьему
столбцу первый, умноженный на (-4), к четвертому - второй,
умноженный на (-2).

30.

Получим:
1
3
0
0
0
1
0
0
3
4 5
1
2
12
3
1
1 2 1 2
( 1)
1
3
5
0 1 12
3
1
( 1) ( 31).