Линейная алгебра. Матрицы

1.

..

2.

Определения.
Матрицей размерности m n
(читается "m" на "n" ) называется прямоугольная
таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов:
a11
a21
A
....
am1
a12 .... a1n
a22 .... a2 n
.... ..... .....
am 2 ..... amn
Числа a ij называются элементами матрицы A ,
индекс i указывает номер строки, индекс j номер столбца,
на пересечении которых находится элемент a ij .

3.

a11
a21
A
a31
a41
a12
a22
a32
a42
....
....
.....
.....
a15
a25
a35
a45
Так, например, элемент a32
стоит на пересечении третьей
строки и второго столбца.
Для обозначения матрицы используются
следующие символы:
A,
aij ,
aij ,
i 1, m , j 1, n.
aij ,

4.

Две матрицы
а11 a12 ... a1n
b11 b12 ... b1n
a21 a22 ... a2n
b21 b22 ... b2 n
и B
А
...
... ...
...
... ...
a
b
m1 am 2 ... amn
m1 bm 2 ... bmn
считаются равными (А=В) тогда и только тогда,
когда они имеют одинаковые размеры и
равны их соответствующие элементы, т.е.
аij bij (i 1, ..., m; j 1, ..., n) .

5.

Если матрица состоит из одного столбца или одной строки,
а11
а
то она называется матрицей-столбцом 21
...
а
m1
или матрицей-строкой a11 a12 ... a1n .
Если у матрицы количество строк (m) равно количеству
столбцов (n), то матрицу называют квадратной (n-го порядка).

6.

Элементы а11 , а22 , ... , аnn образуют главную диагональ
квадратной матрицы, т.е. главная диагональ – диагональ,
соединяющая левый верхний угол (элемент а11 )
с нижним правым углом (элемент аnn ).
Диагональ, соединяющая левый нижний угол (элемент аn1 )
с верхним правым углом (элемент а1n ),
называется побочной диагональю.

7.

а11 0 ... 0 Квадратная матрица у которой
0 a22 ... 0 все элементы, стоящие вне
...
... ... главной диагонали, равны нулю,
называется диагональной .
0
0
...
a
nn
1
0
...
0
0 ... 0
1 ... 0
... ...
0 ... 1

8.

Матрица называется нулевой,
если все её элементы равны нулю:
0 .... 0
0 .... .... .... .
0 .... 0

9.

Если все элементы квадратной матрицы, расположенные
ниже главной диагонали, равны нулю, то матрицу
называют верхней треугольной (ступенчатой).
Если все элементы квадратной матрицы, расположенные
выше главной диагонали, равны нулю, то матрицу
называют нижней треугольной.

10.

Если в матрице А поменять местами строки и столбцы,
то полученная матрица называется
транспонированной (обозн. AТ ).
Если матрица А имеет размерность m n, то
транспонированная матрица AТ имеет размерность n m:
а11 a12 ... a1n
а11 a21 ... am1
a21 a22 ... a2n
a12 a22 ... am 2
Т
, А
.
А
...
... ...
...
... ...
a
a
a
...
a
a
...
a
mn
2n
mn
m1 m 2
1n

11.

П р и м е р . Транспонировать матрицу
1
A
2
Ответ:
2 3 7
. 1
2 0 3
2
T
A
3
7
2
2
0
3
Квадратная матрица А называется симметрической, если она совпадает со
А AТ
своей транспонированной, то есть

12.

Суммой двух матриц А и В называется
матрица, определяемая равенством
а11 a12 ... a1n b11 b12 ... b1n
a21 a22 ... a2n b21 b22 ... b2 n
...
... ...
...
... ...
a
a
...
a
b
b
...
b
mn
mn
m1 m 2
m1 m 2
а11 b11 a12 b12
a21 b21 a22 b22
...
...
am1 bm1 am 2 bm 2
a1n b1n
a2 n b2 n
...
... amn bmn
...
...

13.

Пример
..
2 2 3
и
Даны матрицы А
2 9 4
6 5 2
. Найти их сумму.
В
0 3 7
2 2 3 6 5 2 4 7 5
А В
2 9 4 0 3 7 2 12 3
Сумма нулевой матрицы и любой матрицы А
даёт матрицу А: A 0 0 А А .

14.

Произведением числа k на матрицу А называется
матрица, определяемая равенством
а11 a12 ... a1n kа11 ka12 ... ka1n
a21 a22 ... a2n ka21 ka22 ... ka2n
.
k
...
... ... ...
... ...
a
a
...
a
ka
ka
...
ka
m
1
m
2
mn
m
1
m
2
mn
Пример.
2 2 3
на число k=3.
Умножить матрицу А
2 9 4
2 2 3 6 6 9
k А 3
2 9 4 6 27 12

15.

Операции сложения матриц и умножения матрицы на число
называется линейными операциями над матрицами.
Для любых матриц А, В, С одинаковых размеров и
любых чисел p и q справедливы равенства:
1. A B B A − коммутативность сложения
2. ( A B) C A ( B C ) − ассоциативность сложения
3. существует нулевая матрица О ( тех же размеров, что и А) A O A
4. существует матрица ( A) , противоположная матрице A : A ( A) O
5. p( A B) pA pB умножение матрицы на число дистрибутивно
по отношению к сложению матриц
6. ( p q) A pA qA умножение матрицы на число дистрибутивно
по отношению к сложению чисел
7. ( pq) A p(qA)
8. 1 A A

16.

а11 a12 ... a1n
a
... a2n
a
Произведением двух матриц А 21 22
и
...
... ...
a
m1 am 2 ... amn
b11 b12 ... b1l
c11 c12 ... c1l
b
... b2l
b
c21 c22 ... c2l
называется
матрица
,
B 21 22
C
...
...
... ...
... ...
b
n1 bn 2 ... bnl
cm1 cm 2 ... cml
n
где сij
a b (i 1, 2,...m; j 1, 2,...l ) , т.е. элемент матрицы-произведения,
ik kj
k 1
стоящий в i-ой строке и j-ом столбце, равен сумме произведений
соответственных элементов i-ой строки матрицы А
и j-го столбца матрицы В.
Если матрица А имеет размерность m n, а матрица В − n l,
то размерность их произведения − m l.

17.

Операция умножения двух матриц выполнима только в том случае,
если число столбцов в первом сомножителе равно числу строк во втором;
в этом случае говорят, что форма матриц согласована.
Умножение всегда выполнимо, если оба сомножителя –
квадратные матрицы одного и того же порядка.
Например, произведение двух квадратных матриц А и В 3-го порядка:
а11 а12
AB а21 а22
а
31 а32
а13 b11 b12
а23 b21 b22
а33 b31 b32
3
a1 j b j1
j 1
b13 3
a2 j b j1
b23
b33 j 1
3
a3 j b j1
j 1
3
a1 j b j 3
j 1
3
a2 j b j 3 .
j 1
3
a3 j b j 3
j 1
3
a b
a b
a b
1 j j2
j 1
3
2 j j2
j 1
3
3 j j2
j 1

18.

Найти произведение матриц
1 5
2 0 1
и В 3 4 .
А
2 2
3 1 1
1 5
2 0 1
3 4
А В
3 1 1 2 2
2 5 0 4 1 2 4 8
2 1 0 3 1 ( 2)
3
1
(
1)
3
1
(
2)
3
5
(
1)
4
1
2
2
13

19.

6
3 0 6 2 1
А B
4 5 1 1 3
0
4
5
2
1
0
1
6
5
3 4 0 5 6 2 2 1
3 0 0 1 6 6 2 5
3 6 0 1 6 3 2 0
4 6 5 1 1 3 ( 1) 0 4 4 5 5 1 2 ( 1) 1 4 0 5 1 1 6 ( 1) 5
36 26 46
.
32 42 6

20.

По отношению к произведению двух матриц переместительный закон,
вообще говоря, не выполняется: AB ВА . Более того, из существования
произведения АВ вовсе не следует существование произведения ВА.
Если AB ВА , то матрицы А и В называются перестановочными
или коммутирующими между собой.
1. Ассоциативность умножения:
( AB )C A( BC )
p( AB ) ( pA) B A( pB)
2. Дистрибутивность умножения относительно сложения
A( B C ) AB АC
( A B )C AС ВC
3. Произведение матрицы на единичную матрицу подходящего
порядка равно самой матрице AЕ ЕА А .
4. Произведение матрицы на нулевую матрицу подходящего
порядка равно нулевой матрице AО ОА О .

21.

Для квадратной матрицы А порядка n введём числовую характеристику,
называемую определителем или детерминантом.
Детерминантом (или определителем) квадратной матрицы
1-го порядка A a11 называется число A det A a11 .
A ( 2) A det A 2
Детерминантом (или определителем) квадратной матрицы
a11 a12
2-го порядка A
называется число A det A a11a22 a12a21 .
a21 a22
5 2
A
1 3

22.

Определителем квадратной матрицы третьего порядка называется
число, определяемое равенством
а11
A det A а21
а31
а12
а22
а32
а13
а23 а11 а22 а33 а12 а23 а31
а33
а21 а32 а13 а13 а22 а31 а12 а21 а33 а23 а32 а11
Чтобы запомнить, произведения каких элементов берутся в
правой части равенства и с каким знаком, полезно использовать
следующее правило треугольников:
а11 а12 а13
а21 а22 а23
а31 а32 а33
а11 а12 а13
а21 а22 а23
а31 а32 а33

23.

Пример.
3 2 1
Вычислить определитель 2 1 3
2
0 2
3 2 1
2 1 3 3 1 ( 2) ( 2) 3 2 ( 2) 0 1
2 0 2
1 1 2 ( 2) ( 2) ( 2) 3 0 3
6 12 0 2 8 0 12

24.

Минором М ij к элементу аij определителя n-го порядка
называется определитель (n - 1) -го порядка, полученный
из исходного вычеркиванием i-той строки и j-того столбца.
Алгебраическим дополнением Аij к элементу аij определителя
n-го порядка называется минор этого элемента, умноженный
i j
на ( 1)
, т.е. число
i j
Aij ( 1)
M ij .
Вычислим алгебраическое дополнение элемента a 21 матрицы
0 1
7
А 2 1 8 .
3
4 6
В нашем случае, вычёркивая 2-ую строку и 1-ый столбец, получим
М 21
0 1
0 4 4 ,
4 6
А21 ( 1) 2 1 М 21 ( 1)( 4) 4 .

25.

Определитель n-го порядка равен сумме произведений
элементов некоторой стоки или столбца на их алгебраические
дополнения, т.е. определитель можно разложить
по элементам некоторой строки или столбца.
Разложим определитель по элементам первой строки:
3 3 0 1
1 1 2
2 1 2
2 1 1 2
3 ( 1)1 1 3 1 2 ( 3) ( 1)1 2 0 1 2 0
0 3 1 2
0 1 2
4 1 2
4 0 1 2
2 1 1
1 ( 1)1 4 0 3 1 3 0 3 0 1 ( 2) 2
4 0 1

26.

Например, определителем 4-ого порядка называется число
а11 a12
a 21 a 22
Δ( А)
a31 a32
a41 a42
a13
a 23
a33
a42
a14
a 24
a11 A11 a12 A12 a13 A13 a14 A14 .
a34
a44

27.

1. Если строки и столбцы определителя поменять местами,
то величина определителя не изменится, т.е. А АТ
2. Если два столбца или две строки определителя поменять
местами, то определитель поменяет знак.
3. Умножение всех элементов одного столбца или одной
строки определителя на любое число k равносильно
умножению определителя на это число k
(общий множитель в столбце или в строке можно
выносить за знак определителя).
4. Если определитель имеет два одинаковых столбца или две
одинаковые строки, то он равен нулю.

28.

5. Если элементы двух столбцов или двух строк определителя
пропорциональны, то определитель равен нулю.
6. Определитель, содержащий нулевой столбец или нулевую
строку равен нулю.
7. Если каждый элемент в каком-то столбце или какой-то
строке определителя равен сумме двух слагаемых,
то исходный определитель равен сумме двух определителей,
в которых вместо этого столбца или этой строки стоят первые
и вторые слагаемые соответственно, а остальные столбцы
или строки совпадают с исходным определителем.
8. Если к элементам некоторого столбца или строки
определителя прибавить соответствующие элементы
другого столбца или строки, умноженные на любой общий
множитель k, то величина определителя не изменится.

29.

9. Определитель верхней (нижней) треугольной матрицы
равен произведению элементов главной диагонали матрицы.
10. Определитель произведения матриц равен произведению
определителей матриц, т.е. А В А В .
Поясним сказанное в свойстве 7) на п р и м е р е .
1 3 2 1 4 5 4 1 9
А 8
6
7 8 6 7 13 .
1
1
1
1 1 1
В силу свойства 7
1 2 4 3 1 5
А А1 А2 8 6 7 8 6 7 5 8 13 .
1 1 1 1 1 1

30.

Опираясь на свойство 8 можно преобразовать заданный определитель так,
чтобы все элементы какой-либо строки (столбца), кроме, быть может,
одного, равнялись нулю, а затем разложить определитель по элементам
этой строки (столбца), что значительно облегчит вычисления.
Пример.
Преобразуем определитель
1 2 3
Δ 1 1 2
1 1 2
так, чтобы в первой строке все элементы, кроме, быть может, одного,
стали нулями. Мысленно умножим элементы первого столбца
определителя на «–3» (
a13 3
3 ) и прибавим результат к
а11
1
соответствующим элементам третьего столбца,
получим определитель

31.

1 2 0
Δ 1 1 1 1 . Теперь умножим все элементы 1-го столбца
1 1 5
определителя Δ 1 на «–2» (
a12 2
2 ) и прибавим результат к
a11
1
соответствующим элементам второго столбца:
1
0
0
1 1
1 1
1 1
Δ2 1 1 1 1
0
0
2 .
3
5
1 5
1 3
1 3
5
В силу свойства 8
Δ Δ1 Δ 2 .

32.

Матрица называется невырожденной, если её
определитель не равен нулю: А 0 .
Если же определитель равен нулю,
то матрица называется вырожденной.
Матрица В называется обратной по отношению
к матрице А, если произведения АВ и ВА равны
единичной матрице: AВ ВА Е .
Для матрицы, обратной по отношению к матрице А,
принято обозначение A 1 , т.е. В А 1 .
Всякая невырожденная квадратная матрица А
имеет обратную матрицу.

33.

Обратная матрица находится по формуле
T
Aij
1
,
А
det A
где
Aij – транспонированная матрица алгебраических
T
дополнений соответствующих элементов матрицы А,
det A - определитель матрицы А.

34.

Пусть задана матрица
a11
a
A 21
....
a
n1
a12
a 22
....
an2
.... a1n
.... a 2 n
..... .....
..... a nn
тогда матрицу А 1 можно получить следующим образом:
1) вычисляем определитель матрицы А .
Если det ( A) 0 , то обратной не существует. Если det ( A) 0 , то
2) находим матрицу
Аij
А11
А
21
....
Аn1
А12 .... А1n
А22 .... А2 n
.... ..... .....
Аn 2 ..... Аnn
(заменим в матрице A каждый элемент aij соответствующим
ему алгебраическим
дополнением Aij );

35.

3) транспонируем матрицу Aij , полученная матрица Aij
~
называется союзной и обозначается символом A :
А11
А
T
A Aij 21
....
Аn1
А12 .... А1n
А22 .... А2 n
;
.... ..... .....
Аn 2 ..... Аnn
4) находим матрицу
1
A
A.
det A
1
Т

36.

1 2 0
1
Разберём на п р и м е р е : А 2 0 3 . A ?
1 4 1
1 2 0
1) det ( A) 2 0 3 0 6 0 0 4 12 10 0 ;
1 4 1
2) вычисляем алгебраические дополнения элементов матрицы A
и находим матрицы
А11 ( 1)
1 1
0 3
12 ,
4 1
Aij и А Aij
Т
А21 ( 1)
2 1
2 0
2 ,
4 1

37.

А31 ( 1)
А22 ( 1)
А13 ( 1)
3 1
2 2
1 3
2 0
1 2 2 3
6 , А12 ( 1)
1 ,
0 3
1 1
1 0
1,
1 1
2 0
8 ,
1 4
А33 ( 1)
Аij
А32 ( 1)
12 1 8
2 1 2 ,
6 3 4
3 2
А23 ( 1)
3 3
1 0
3 ,
2 3
2 3
1 2
2 ,
1 4
1 2
4 ,
2 0
12 2 6
Т
А Аij 1
1 3 ;
8 2 4

38.

12 2 6 1,2 0,2 0,6
1
0,1 0,1 0,2 .
1
1
1
2
4) A
10
0,8 0,3 0,4
8
3
4
5) проверяем:
12 2 6 1
1
2
1
A А
1
1
2
10
1
8
3
4
0 1 0
10 0
1
0 10 0 0 1
10
0 0
0
0
10
2 0
0 3
4 1
.
0
0 Е
1
Легко убедиться, что А 1 А А А 1 Е .

39.

Матрица А называется ступенчатой, если её диагональные
элементы aij 0 (i j ) , а все элементы,
лежащие ниже диагональных,
равны нулю ( aij 0 , если i j ).
Например,
матрица
4
1 1 3
2 1
0 2
А
0 0 1 3
0 0
0
5
0
4
- ступенчатая.
4
7

40.

Элементарными преобразованиями матрицы
называются следующие действия:
1) вычеркивание нулевых строк (столбцов);
2) перестановка двух строк (столбцов);
3) прибавление к одной из строк (столбцу) другой строки
(столбца), умноженной на любое число .
Любую матрицу А с помощью элементарных преобразований
можно привести к ступенчатому виду.
При любом способе приведения матрицы А с помощью элементарных
преобразований к ступенчатому виду количество строк в полученной
ступенчатой матрице будет одним и тем же.

41.

Определение .
Рангом матрицы А называется число строк в ступенчатой матрице,
которая получается из матрицы А элементарными преобразованиями.
Ранг матрицы обозначается символами : r ( А),
rangA.
Альтернативное определение .
Наибольший из порядков миноров данной матрицы,
отличных от нуля, называется рангом матрицы.
Ранг матрицы не меняется при транспонировании.
r ( А) r ( АТ ) r.

42.

5 2 3
1 3
3
1
5
2 7
Вычислим ранг матрицы: А
.
1 5 9 8
1
5 18 4
5 12
Умножим первую строку на «-2» и сложим её со 2-ой, затем умножим
1-ую строку на «-1» и сложим её с 3-ей; наконец, первую строку,
умноженную на «-5», сложим с 4-ой. Приходим к матрице:
1
0
А1
0
0
3
5
2 3
1 7
5 1
.
2 14 10 2
3 21 15 3

43.

1
0
А1
0
0
3
5
2 3
1 7
5 1
.
2 14 10 2
3 21 15 3
В матрице А1 вторую строку, умноженную последовательно
на «-2» и «-3», складываем соответственно с 3-ей и 4-ой строками,
1
0
получаем: А2
0
0
3 5 2 3
1 7 5 1
.
0 0
0
0
0 0
0
0
Вычёркиваем в матрице А2 третью и четвёртую нулевые строки, получим
1 3 5 2 3
,
А3
0 1 7 5 1
число строк в ступенчатой матрице А3 равно 2. Следовательно, r ( А) 2.

44.

45.

46.

1.1. Вычислить определители.
а) 1
2
3
4
г)
1
0
0
.
0
2
1
2
3
3
2
1
2
4 б) 2
3
5 4
3
3 5 4
2
2
4 2
3
5
1
5
4 2 3
а
2
0
.
0
а
а
3
.
0
а
а
а
.
0
...
...
...
...
...
a
a
a
a
n
д)
1
1
2
3
1
в)
2
1
3
2
2
2
1
2
3
1
2
3
4
1
1
0
0
0
1
1
0
0
0
2
1
0
0
0
0
0
0
7
4
4
5
6

47.

1.2. Решите уравнения
а)
1
1
7
7
1
3 x2
7
7
4
3
5
6
б)
4
3
0
5
x2 3
1
2
3
4
2
2 x
6
х 14
3
4
1
7
0
4 х 12
2
3

48.

2.1. Вычислить А+В, АВ, ВА, 3А – если
1
а) А
3
2
4
;
4
i
4
В
0
1
б)
А 2
3
1
1
1
0
1
2
2
;
В 0
2
1
4
3
2
5
7
2
в)
А 5
6
1
2
5
1
3
2
1
;
В 3
2
3
4
1
2
5
3

49.

2.2. Найти матрицы, перестановочные с матрицей А, если
3
а) А
5
1
; б)
2
0 1 0
1 7
А ; в) А 0 0 1
0 4
0 0 0
2.3. Пусть Х – матрица 2-го порядка. Решить матричные уравнения
а) Х2 = 0
б) Х2 = Е
в) Х2 =Х
2.4. Вычислить обратные для следующих матриц
а) сos
sin
sin
сos
б) 1 4 1
1 1 4
1 2 2
в) 1 3 1
1 4 1
1 9 2

50.

г)
1
1
0
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
0
д)
1
2
0
0
2 1 2
5 3 5
0 5 4
0 6 5
2.5. Решите матричные уравнения АХ = С, ХВ = С, АХВ = С, где
а)
5 4
3 2
1 1
В
С
А
8 6
4 3
1 1
2 3
2
б) А 1 1 0
1 2 1
1
B
2
2
5
2 0
C 0 1
1
2

51.

2.6. Вычислить значение многочлена f (x) от матрицы А
а) .f ( x) x 2 x 1 ,
2
А 0
1
1
2
1
0
0
1
б) f ( x) x 3 x 2 ,
2
А 1
1
1
2
1
1
1
2
3
3
2.7. Найти ранг следующих матриц с помощью
окаймления миноров и элементарных преобразований
а) 1
7
4
1
7
5
2
1
7
9
1 1
1 3
3
5
б) 4
0
3
2
1
7
4
5
7
1
5
3
5 1
3 5
3 2
1 3

52.

..