Определители. Линейная алгебра 2

1. § 2. Определители

Каждой квадратной м. А можно поставить в
соответствие число, которое называется
ее определителем и обозначается det A, A
или символом Δ.
Определитель матрицы второго порядка
a11 a12 вычисляется по правилу:
A
a21 a22
A
a11 a12
a21 a22
a11a22 a12a21

2. Вычисление определителей третьего порядка (правило треугольников и правило Саррюса)

Определитель квадратной матрицы 3-го порядка
a11
A a21
a
31
a12
a22
a32
a13
a23
a33
вычисляется по правилу треугольников:
a11 a12
a13
A a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33
a31a22a13 a32a11a23 a 33a21a12 .

3. Правило Саррюса (модифицированное правило треугольников)

+
a11
a 21
a 31
-
+
+
a 12 a 13 a11 a 12
a 22 a 23 a 21 a 22 =
a 32 a 33 a 31 a 32
-
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33

4. Свойства определителей матриц

1. Определитель не меняется при
транспонировании матрицы.
2. Если в определителе поменять местами
две строки (два столбца), то
определитель меняет знак.
3. Если все элементы одной строки
(столбца) определителя
пропорциональны (в частности, равны)
соответствующим элементам другой
строки (столбца), то он равен нулю.

5.

4. Если в определителе строка (столбец)
состоит из нулей, то определитель равен
нулю.
5. Общий множитель у элементов какой-либо
строки (столбца) можно вынести за знак
определителя.
6. Определитель не изменится, если ко всем
элементам одной строки (столбца)
прибавить соответствующие элементы
другой строки (столбца), умноженные на
одно и то же число.

6.

7. Определитель диагональной и треугольной
(верхней или нижней) матриц равен
произведению диагональных элементов.
8. Определитель произведения квадратных матриц
равен произведению их определителей: A B A B
9. Если всякий элемент любой строки (столбца)
представляет собой сумму двух слагаемых, то
определитель равен сумме двух определителей,
в первом из которых в соответствующей строке
(столбце) оставлены первые слагаемые, а во
втором – вторые.

7. Минор и алгебраическое дополнение

Опр 1. Минором
M ij элемента
aij
определителя n-порядка называется
определитель (n-1) порядка, полученный
вычеркиванием i- строки и j – столбца из
исходного определителя.
Опр. 2. Алгебраическим дополнением Ai j
элемента a i j определителя n – порядка наз.
число, вычисляемое по правилу:
Aij 1
i j
M ij

8. Теорема разложения

Определитель n-го порядка равен сумме
произведений элементов любой его
строки (или столбца) и
соответствующих им алгебраических
дополнений
n
A aij Aij ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ... ain Ain
j 1
(разложение по i-строке)
i 1, n

9.

n
A aij Aij a1 j A1 j a2 j A2 j ... anj Anj
i 1
(разложение по j-столбцу)
j 1, n