Решение логарифмических неравенств

1.

Тема: «Решение логарифмических неравенств»
Цели:
• повторить теоретический материал;
• выполнить практическую работу, вспомнить методы
решения логарифмических неравенств;
• научиться находить рациональные способы решения;
• строить алгоритм решения неравенства;
• распределять время для выполнения работы;
• правильно оформлять работу;
• выработать
волевую
саморегуляцию
(умение
мобилизировать себя на решение проблемы).

2.

Решение неравенств
Основные виды неравенств и способы их решения
Равносильные преобразования неравенств
Методы решения неравенств
Определение и
свойства
логарифма
Логарифмическая
функция, её
свойства и график

3.

Решение простейших логарифмических неравенств
При решении простейших логарифмических неравенств
log a x b
монотонность логарифмической функции
необходимо учитывать ___________________________
возрастает знак неравенства _______
не меняем
• при а > 1 функция __________,
убывает
меняем
• при 0<а < 1 функция _________,
знак неравенства ______
log a x b
a 1
x b
0 a 1
x b
ОДЗ :
x 0
a 0
a 1

4.

Решите неравенства
1) log 4 ( x 4) 3
2) log 1 (5 x) 2
2
Решите
неравенства
самостоятельно
?
3) log 1 (15 2 x) 2 log 0, 04 x
Метод подстановки
Свойства
логарифмической
функции
Метод интервалов
5
4)(2 log 7 x 3 log 7 x 1)(3x 15) 0
2
5) log 2 (8x) log
2
2
x 5 0
Свойства логарифма
Переход к
равносильной
системе

5.

1) log 4 ( x 4) 3
Проверка
log 4 ( x 4) log 4 4
3
x 1 0
x 1
x 1 64
x 65
1
65
Ответ : x (1;65)

6.

Проверка
2) log 1 (5 x) 2
2
2
1
log 1 (5 x) log 1
2
2 2
5 x 0
x 5
1
5 x
x 4,75
4
4,75
5
Ответ : x (4,75;5)

7.

3) log 1 (15 2 x) 2 log 0, 04 x
Проверка
5
log 5 1 (15 2 x) 2 log 5 2 x
Ответ :
x 0;5
2
log 5 (15 2 x) log 5 x
2
log 5 (15 2 x) log 5 x
15 2 x 0
x 7,5
x 0
x 0
15 2 x x
x 5
0
5
7,5

8.

4)(2 log 7 x 3 log 7 x 1)(3x 15) 0
2
Проверка
Метод _ интервалов : (2 log 7 x 3 log 7 x 1)(3x 15) 0
2
2 log 7 x 3 log 7 x 1 0
2
log 7 x t
3x 15 0
2t 2 3t 1 0
x 5
ОДЗ :
x 0
D 1
1
t1 , t 2 1
2
x1 7 , x2 7
-
+
Ответ : x 0; 7 5;7
-
+
0
7
5
7

9.

5) log 2 (8x) log
Проверка
log 2 (8 x) log
2
2
log
2
2
x 5 0
x 5 0
log 2 8 log 2 x log
2
2
2
2
ОДЗ :
x 5 0 x 0
x log 2 x 2 0
log 2 x t
t2 t 2 0
D 9, t1 2, t 2 1
t 2
t 1
-2
1
1
x
4
x 2
Ответ :
x 0;0,25 2;
0
0,25
2

10.

x 4 x 3 log 2
2
Мастер-класс
14) log
2
5
48
0, 2
x 3
3
План решения:
2
2
2
(
x
4
)
(
x
4
)
(
x
3
)
• к основанию 5
log 5
log 5
0
5
144
• в левую часть
• разность квадратов
• произведение суммы и разности двух логарифмов
• произведение двух логарифмов > 0
a 0
• метод интервалов
b 0
• расщепление неравенства
ab 0
a 0
• другой способ –
метод рационализации
b 0
Теорема: выражения log а b и (b – 1)(а – 1) имеют
одинаковые знаки на ОДЗ логарифма

11.

Теорема: выражения log а b и (b – 1)(а – 1) имеют
одинаковые знаки на ОДЗ логарифма
Доказательство
Пусть
log a b 0 log a b log a 1
b 0
ОДЗ : a 0
a 1
a 1 a 1 0
b
1
b
1
0
a 1 a 1 0
b 1
b 1 0
(a 1)(b 1) 0

12.

Теорема: выражения log а b и (b – 1)(а – 1) имеют
одинаковые знаки на ОДЗ логарифма
Вывод: в решении неравенства мы можем заменить
log a b 0
(b 1)( a 1)
учитывая ОДЗ логарифма, если
• в правой части нуль;
• в левой части логарифм или произведение (частное) с
логарифмом.
Решите неравенства новым рациональным способом:
1) log 2 x 3 (10 3x) 0
2)( x 1) log x 3 ( x 2) log 3 ( x 3) 0
2

13.

План решения:
1) log 2 x 3 (10 3x) 0
• ОДЗ
• выполнить замену логарифма на (a-1)(b-1)
• решить неравенство методом интервалов
• записать ответ с учётом ОДЗ.
Ответ : (2;3)
План решения: 2)( x 1) log x 3 ( x 2) log 3 ( x 3) 0
2
• ОДЗ
• выполнить замену логарифмов на (a-1)(b-1)
• решить неравенство методом интервалов
• записать ответ с учётом ОДЗ.
Ответ : 1;1

14.

Домашнее задание
1) log x 3 x 1 2;
2) log x2 3 2 x 1
3) log x2 3 х x 3 1
Какие цели урока
выполнили?
На следующих занятиях мы продолжим
знакомиться с рациональными методами
решения неравенств