Двугранный угол

1.

2.

1.Что называют углом?
Вспомним!
2. Классифицируйте углы по градусной мере.
1) острые
2) тупые
3. Как называются углы, на рисунках?
3)
прямые

3.

Двугранным углом называется фигура, образованная
прямой a и двумя полуплоскостями с общей границей a, не
принадлежащими одной плоскости.

4.

Прямую, по которой пересекаются плоскости – границы
полупространств , называют ребром двугранного угла ,
а полуплоскости этих плоскостей , образующие двугранный
угол , - гранями двугранного угла.
Ребро двугранного угла

5.

Грань двугранного угла
Прямую , по которой пересекаются плоскости – границы
полупространств , называют ребром двугранного угла ,
а полуплоскости этих плоскостей , образующие двугранный
угол , - гранями двугранного угла.

6.

В обыденной жизни, форму двугранного угла
имеют

7.

8.

Двугранный угол с гранями , β ребром а обозначают а β.
Можно использовать и такие обозначения двугранного угла , как
KABT; AB β (рис.94,95).
K
A
B
A
β
a
a
T
β
B
Рис.94
Рис.95

9.

На ребре а двугранного угла а β отметим произвольную точку O
АОВ , образованный
лучами
,
Для измеренияУгол
двугранного
угла введём этими
понятие
его линейного
угла.
и в граняхлинейным
и β проведём
из точки O
называется
углом двугранного
соответственно лучи ОА
и ОВ
ребру а.
угла
,аперпендикулярные
β.
О
А
В
а
β

10.

Это означает , что линейный угол двугранного угла есть
Так как пересечение
ОА а ,ОВ а
, то плоскость
АОВ перпендикулярна
прямой
а.
данного
двугранного
угла и плоскости
,
перпендикулярной его ребру.
В
О
А
а
γ
β

11.

Все линейные углы двугранного угла равны друг
другу.
Лучи ОА и О1А1 – сонаправлены
Лучи ОВ и О1В1 – сонаправлены
Углы АОВ и А1О1В1 равны,
как углы с
сонаправленными
сторонами
O
А
А1
В
O
1
В1
Теорема : Величина линейного угла не зависит от
выбора его вершины на ребре двугранного угла.

12.

Определение : Величиной двугранного
угла называется величина его линейного
угла.
Величина двугранного угла (измеренная в
градусах ) принадлежит промежутку (0°;180°).

13.

Алгоритм построения линейного
угла
В
Р
М
АВМС = Р
А
С
D
Угол Р – линейный угол двугранного угла АВМС

14.

Способ построения линейного угла.
1. Найти ( увидеть) ребро и грани двугранного
угла
2. В гранях найти прямые перпендикулярные
ребру
3. (при необходимости) заменить выбранные
прямые параллельными им лучами с общим
началом на ребре двугранного угла
При изображении сохраняется
параллельность и отношение длин
параллельных отрезков

15.

Двугранный угол является острым , прямым или
тупым , если его линейный угол соответственно
острый , прямой или тупой.
β
а

16.

Двугранный угол является острым , прямым или
тупым , если его линейный угол соответственно
острый , прямой или тупой.
β
а

17.

Двугранный угол является острым , прямым или
тупым , если его линейный угол соответственно
острый , прямой или тупой.
β
а

18.

Заметим , что аналогично тому , как и на плоскости , в
пространстве определяются смежные и вертикальные
двугранные углы.
β
смежные
γ
а

19.

Заметим , что аналогично тому , как и на плоскости , в
пространстве определяются смежные и вертикальные
двугранные углы.
вертикальные
β
а
β1
вертикальные
1

20.

Построить линейный угол двугранного угла ВАСК.
Треугольник АВС – равнобедренный.
АС ВМ
В
H-я
TTП
АС NМ
П-я
П-р
А
К
N
M
П-я
С
Угол ВMN – линейный угол двугранного угла ВАСК

21.

Построить линейный угол двугранного угла ВАСК.
Треугольник АВС – прямоугольный.
АС ВС
H-я
TTП
АС NС
П-я
В
П-р
А
К
С
N
Угол ВСN – линейный угол двугранного угла ВАСК

22.

Построить линейный угол двугранного угла ВАСК.
Треугольник АВС – тупоугольный.
АС ВS
H-я
TTП
АС NS
П-я
В
П-р
А
К
С
S
N
Угол ВSN – линейный угол двугранного угла ВАСК

23.

Построить линейный угол двугранного угла ВDСК.
АВСD – прямоугольник.
А
TTП
DС BС
H-я
DС NС
П-я
В
D
П-р
К
С
N
Угол ВСN – линейный угол двугранного угла ВDСК

24.

Построить линейный угол двугранного угла ВDСК.
АВСD – параллелограмм, угол С острый.
DС ВM
H-я
TTП
DС NM
П-я
А
В
D
П-р
К
M
П-я
N
С
Угол ВMN – линейный угол двугранного угла ВDСК

25.

Построить линейный угол двугранного угла ВDСК.
АВСD – трапеция, угол С острый.
TTП
DС ВM
H-я
А
DС NM
П-я
В
П-р
К
D
N
M
С
Угол ВMN – линейный угол двугранного угла ВDСК

26.

АС
АСР
и
АСВ
В грани АСВпрямая СВ перпендикулярна
ребру СА ( по условию)
В грани АСР прямая СР перпендикулярна ребру
СА
теореме
о трех перпендикулярах)
угол( по
РСВ
- линейный
для
двугранного угла с ребром АС

27.

К
АС
АСР
и
АСВ
В грани АСВ прямая ВО перпендикулярна ребру СА
( по свойству равностороннего треугольник
В грани АСР
прямая РК перпендикулярна ребру СА
( по теореме о трех перпендикулярах)
Угол РКВ - линейный для двугранного угла с РС

28.

№ 167. В тетраэдре DАВС все ребра равны, точка М –
середина ребра АС. Докажите, что угол DМВ –
линейный угол двугранного угла ВАСD.
D
А
В
M
С

29.

№ 168. Двугранный угол равен . На одной грани этого угла
лежит точка, удаленная на расстояниеdd от плоскости другой
грани. Найдите расстояние от этой точки до ребра
двугранного угла.
В
?
А
N

30.

ПОДУМАЙ!
1. В кубе A…D1 найдите
угол между плоскостями
ABC и CDD1.
ПРАВИЛЬНО!
Ответ: 90

31.

ПОДУМАЙ!
2.В кубе A…D1 найдите
угол между
плоскостями
ABC и CDA1.
45
Ответ:
ПРАВИЛЬНО!

32.

ПОДУМАЙ!
О
3.В кубе A…D1 найдите
угол между плоскостями
ABC и BC1D.
Ответ:
tg 2.

33.

Определение : Углом между двумя пересекающимися
плоскостями называется наименьший из двугранных углов ,
образованных при их пересечении.
Угол между параллельными или совпадающими плоскостями
полагается равным нулю.

34.

Если
величина
угла
междуплоскостями
плоскостями принадлежит
и β равна , то
Величина
угла
между
пишут : ( ; β)=
.
промежутку
[0°;90°].
а
с
β
β1
1