2.39M

Category: $mathematics$ mathematics

Двугранные углы. Что называют углом?

1. ДВУГРАННЫЕ УГЛЫ

2. ЦЕЛИ УРОКА:

ВВЕСТИ ПОНЯТИЕ ДВУГРАННОГО УГЛА И ЕГО ЛИНЕЙНОГО
УГЛА;
РАССМОТРЕТЬ ЗАДАЧИ НА ПРИМЕНЕНИЕ ЭТИХ ПОНЯТИЙ;
СФОРМИРОВАТЬ КОНСТРУКТИВНЫЙ НАВЫК НАХОЖДЕНИЯ
УГЛА МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ.

3.

1.Что называют углом?
Вспомним!
2. Классифицируйте углы по градусной мере.
1) острые
2) тупые
3. Как называются углы, на рисунках?
3) прямые

4.

4. Что называют синусом, косинусом, тангенсом
острого угла прямоугольного треугольника?
AC
cos A
AB
5.Найдите:
4 СМ
А
CB
sin A
AB
С
3 СМ
В
CB
tgA
AC
cos В 0,6
sin В 0,8
tgВ 4/3

Стереометрия
Планиметрия
Углом на плоскости
называется фигура,
образованная двумя лучами,
исходящими из одной
точки.
А
Двугранным углом называется
фигура, образованная прямой a
и двумя полуплоскостями с
общей границей a, не
принадлежащими одной
плоскости.
Двугранный угол
В
С
а
Прямая a – ребро двугранного угла
Две полуплоскости – грани двугранного угла

6.

Определение двугранного угла
Двугранным углом называется фигура, образованная двумя не
принадлежащим одной плоскости полуплоскостями, имеющими
общую границу – прямую а.
Полуплоскости, образующие двугранный угол, называются его
гранями.
Общая граница этих полуплоскостей – ребром двугранного угла.
ребро
а
грани

7.

Двугранный угол АВNМ, ВN – ребро, точки А и М лежат в гранях
двугранного угла
D
Угол РDEK
S
O
А
Р
N
F
В
К
X
M
E
Угол SFX – линейный угол двугранного угла

8.

В обыденной жизни, форму двугранного угла имеют

9. Обозначение двугранного угла.

С
D
В
А
Угол CBDA

10.

Измерение двугранных углов. Линейный угол.
Величиной двугранного угла называется величина его
линейного угла.
В
Р
М
АВМС = Р
А
С
D
Угол Р – линейный угол двугранного угла АВМС

11.

Линейным углом двугранного угла
называется сечение двугранного угла
плоскостью, перпендикулярной ребру.
С
О
А
D
В

12.

Способ нахождения (построения) линейного угла.
1. Найти ( увидеть) ребро и грани двугранного
угла
2. В гранях найти направления ( прямые)
перпендикулярные ребру
3. (при необходимости) заменить выбранные
направления параллельными им лучами с общим
началом на ребре двугранного угла
При изображении сохраняется параллельность и
отношение длин параллельных отрезков

13.

Все линейные углы двугранного угла равны друг другу.
Лучи ОА и О1А1 – сонаправлены
Лучи ОВ и О1В1 – сонаправлены
O
А
В
Углы АОВ и А1О1В1 равны
как углы с сонаправленными
сторонами
А1
O1
В1

14.

Двугранный угол может быть острым, прямым, тупым

15.

Аналогично тому , как и на плоскости , в
пространстве определяются смежные и
вертикальные двугранные углы.
β
а
β1
β
1
γ
а

16.

АС
АСР
и
АСВ
В грани АСВ прямая СВ перпендикулярна ребру
СА ( по условию)
В грани АСР прямая СР перпендикулярна ребру СА
( по теореме о трех перпендикулярах)
угол РСВ - линейный для двугранного
угла с ребром АС

17.

К
АС
В грани АСВ
АСР
и АСВ
прямая ВО перпендикулярна ребру СА
( по свойству равностороннего треугольника)
В грани АСР прямая РК перпендикулярна ребру СА
( по теореме о трех перпендикулярах)
Угол РКВ - линейный для двугранного угла с РСАВ

18.

Построить линейный угол двугранного угла ВАСК.
Треугольник АВС – тупоугольный.
АС ВS
АС NS
TTП
П-я
H-я
В
П-р
А
К
С
S
N
Угол ВSN – линейный угол двугранного угла ВАСК

19.

Построить линейный угол двугранного угла ВАСК.
Треугольник АВС – равнобедренный.
АС ВМ
H-я
В
АС NМ
TTП
П-я
П-р
А
К
N
M
П-я
С
Угол ВMN – линейный угол двугранного угла ВАСК

20.

Построить линейный угол двугранного угла ВАСК.
Треугольник АВС – прямоугольный.
АС ВС
H-я
TTП
АС NС
П-я
В
П-р
А
К
С
N
Угол ВСN – линейный угол двугранного угла ВАСК

21.

Построить линейный угол двугранного угла ВDСК.
АВСD – параллелограмм, угол С тупой.
DС ВM
H-я
TTП DС NM
П-я
А
В
П-р
К
D
N
С
M
Угол ВMN – линейный угол двугранного угла ВDСК

22.

Построить линейный угол двугранного угла ВDСК.
АВСD – прямоугольник.
DС BС
H-я
DС NС
TTП
А
П-я
В
D
П-р
К
С
N
Угол ВСN – линейный угол двугранного угла ВАСК

23.

Построить линейный угол двугранного угла ВDСК.
АВСD – параллелограмм, угол С острый.
DС ВM
H-я
TTП DС NM
П-я
А
В
D
П-р
К
M
П-я
N
С
Угол ВMN – линейный угол двугранного угла ВDСК

24.

Построить линейный угол двугранного угла ВDСК.
АВСD – трапеция, угол С острый.
DС ВM
H-я
TTП
DС NM
П-я
А
В
П-р
К
D
N
M
С
Угол ВMN – линейный угол двугранного угла ВDСК

25.

Построить угол между плоскостями АВС и ВКС
К
А
С
В

26.

Построить угол между плоскостями АВСД и АСД1
Д1
А1
С1
В1
Д
А
С
В

27.

Построить угол между плоскостями АВ1С и АВС
С1
А1
В1
С
О
А
В

28.

Постройте угол между плоскостями ВF1Д и АВСДЕF
Е1
Д1
F1
С1
А1
В1
Е
Д
О
F
А
В
С

29. Задача 1:

В кубе A…D1 найдите угол между плоскостями ABC и CDD1.
Задача 2:
В кубе A…D1 найдите угол между плоскостями ABC и CDA1.
Задача 3:
В кубе A…D1 найдите угол между плоскостями ABC и BDD1.
Задача 4:
В кубе A…D1 найдите угол между плоскостями ACC1 и BDD1.
Задача 6: Неперпендикулярные плоскости и пересекаются по прямой
МN. В плоскости из точки А проведен перпендикуляр АВ к прямой МN и
из точки А проведен перпендикуляр АС к плоскости . Докажите, что
угол АВС – линейный угол двугранного угла АМNC.

30.

Задача 1:
Д1
А1
Задача 2:
С1
В1
Д1
А1
Д
В
Ответ: 90o.
В1
Д
С
А
С1
С
А
Ответ: 45o.
В

31.

Задача 3:
Задача 4:
Д1
А1
Д1
С1
В1
А1
Д
С1
В1
Д
С
А
В
Ответ: 90o.
С
А
В
Ответ: 90o.

32.

А
Доказательство:
МN АB
П-я
H-я
Угол АВС – линейный угол
двугранного угла АМNC
П-р
N
В
П-я
M
С
MN ВС
TTП

33.

Теорема о трех
перпендикулярах
Определение
проекции
Построение
пересекающихся
плоскостей
Определение
двугранного угла
Определение
наклонной
Какие знания и умения
необходимы при
построении двугранного
угла?
Определение
перпендикуляра
Определение
пересекающихся
плоскостей
Построение
перпендикуляра

34.

35.

Р
А
Задача №3
Т
В
М
С
А) Двугранный угол РТМК:
К
(1) ребро МТ, грани МТР и МТК
(2) В грани МТРпрямая ТР перпендикулярна ребру МТ
( по определению прямой, перпендикулярной плоскости)
В грани МТК прямая МК перпендикулярна ребру МТ
( по условию)

36.

Р
Задача №3
А
Т
В
М
С
К
АВ параллельна РТ (по построению), а так как РТ
перпендикулярна ребру МТ ( по доказанному), то АВ
перпендикулярна ребру МТ (по лемме о связи параллельности
и перпендикулярности) Аналогично ВС перпендикулярна
ребру МТ. Значит, угол АВС – искомый

37.

P
Задача №3
T
M
K
б) Двугранный угол РМКТ:
(1) ребро МК, грани МКР и МКТ
(2) В грани МТК прямая МТ перпендикулярна ребру МК
( по условию)
В грани МКР прямая МР перпендикулярна ребру МК
( по теореме о трех перпендикулярах)
Ответ. Угол РМТ - линейный для двугранного угла с РМКТ

38.

P
Задача №3
У
M
T
Х
K
в) Двугранный угол РТКМ:
(1) ребро ТК, грани ТКМ и ТКР
(2) В грани МТК прямая МХ, где Х – середина КТ,
перпендикулярна ребру КТ ( по свойству
равнобедренного треугольника)
В грани КРТ прямая РТ перпендикулярна ребру КТ
( по определению прямой перпендикулярной плоскости)

39.

P
Задача №3
У
T
M
Х
K
в) Двугранный угол РТКМ:
3) Построим прямую УХ параллельно прямой РТ , она
будет лежать в плоскости РКТ (почему?) получим , что
прямая ХУ перпендикулярно ребру КТ
(по лемме о связи параллельности и перпендикулярности)
Значит, искомый угол УХМ