Двугранный угол

1.

2.

Планиметрия
Стереометрия
Углом на плоскости мы
называем фигуру,
образованную двумя
лучами, исходящими из
одной точки.
А
В
С
А
В
С
Двугранный угол

3.

Двугранным углом называется фигура, образованная
прямой
a и двумя полуплоскостями с общей границей
a, не принадлежащими одной плоскости.
Прямая a – ребро двугранного угла
a
Две полуплоскости – грани двугранного угла

4.

Двугранный угол АВNМ, где ВN – ребро, точки А и М
лежат в гранях двугранного угла
D
Угол РDEK
S
O
А
Р
N
F
В
К
X
M
E
Угол SFX – линейный угол двугранного угла

5.

Алгоритм построения линейного угла.
Угол РОК – линейный угол двугранного угла РDEК.
D
Градусной мерой двугранного
угла называется градусная мера
его линейного угла.
O
Р
К
E
Плоскость линейного угла ( РОК ) DE

6.

Все линейные углы двугранного угла равны друг другу.
Лучи ОА и О1А1 – сонаправлены
Лучи ОВ и О1В1 – сонаправлены
O
А
В
Углы АОВ и А1О1В1 равны,
как углы с сонаправленными
сторонами
O
А1
1
В1

7.

Двугранный угол может быть прямым, острым, тупым

8.

Построить линейный угол двугранного угла ВАСК.
Треугольник АВС – равнобедренный.
АС ВМ
В
H-я
TTП
АС NМ
П-я
П-р
А
К
N
M
П-я
С
Угол ВMN – линейный угол двугранного угла ВАСК

9.

Построить линейный угол двугранного угла ВАСК.
Треугольник АВС – прямоугольный.
АС ВС
H-я
TTП
АС NС
П-я
В
П-р
А
К
С
N
Угол ВСN – линейный угол двугранного угла ВАСК

10.

11.

Две пересекающиеся плоскости называются
перпендикулярными (взаимно перпендикулярными),
если угол между ними равен 900.

12.

Примером взаимно перпендикулярных
плоскостей служат плоскости стены и пола комнаты,
плоскости стены и потолка.

13.

Признак перпендикулярности двух плоскостей.
Если одна из двух плоскостей проходит через прямую,
перпендикулярную к другой плоскости, то такие
плоскости перпендикулярны.
В
С
D
А

14.

Следствие. Плоскость, перпендикулярная к прямой,
по которой пересекаются две данные плоскости,
перпендикулярна к каждой их этих плоскостей.
a

15.

№ 178. Плоскости и взаимно перпендикулярны
пересекаются по прямой с. Докажите, что любая прямая
плоскости , перпендикулярная к прямой с,
перпендикулярна к плоскости .
A
Подсказка
Признак
перпендикулярности
прямой и плоскости
c
C
B
a
c
b

16.

№ 180. Докажите, что плоскость и не лежащая в ней прямая,
перпендикулярные к одной и той же плоскости, параллельны.
Подсказка
b
a
c
Признак
параллельности
прямой и
плоскости
a
b

17.

№ 181. Плоскости и пересекаются по прямой а. Из
точки М проведены перпендикуляры МА и МВ
соответственно к плоскостям и . Прямая а пересекает
плоскость АМВ в точке С. Докажите, что МС а.
А
М
a
С
В

18.

№ 182. Плоскости и взаимно перпендикулярны
пересекаются по прямой a. Из точки М проведены
перпендикуляры МА и МВ к этим плоскостям. Прямая а
пересекает плоскость АМВ в точке С. Докажите, что
четырехугольник АСВМ – прямоугольник.
М
А
a
С
В

19.

№ 183. Плоскости и пересекаются по прямой a и
перпендикулярны к плоскости . Докажите, что прямая а
перпендикулярна к плоскости .
a

20.

Построить линейный угол двугранного угла ВАСК.
Треугольник АВС – тупоугольный.
АС ВS
H-я
TTП
АС NS
П-я
В
П-р
А
К
С
S
N
Угол ВSN – линейный угол двугранного угла ВАСК

21.

Построить линейный угол двугранного угла ВDСК.
АВСD – прямоугольник.
А
TTП
DС BС
H-я
DС NС
П-я
В
D
П-р
К
С
N
Угол ВСN – линейный угол двугранного угла ВDСК

22.

Построить линейный угол двугранного угла ВDСК.
АВСD – параллелограмм, угол С острый.
DС ВM
H-я
TTП
DС NM
П-я
А
В
D
П-р
К
M
П-я
N
С
Угол ВMN – линейный угол двугранного угла ВDСК

23.

Построить линейный угол двугранного угла ВDСК.
АВСD – параллелограмм, угол С тупой.
TTП
DС ВM
А
H-я
DС NM
П-я
В
П-р
К
D
N
С
M
Угол ВMN – линейный угол двугранного угла ВDСК

24.

Построить линейный угол двугранного угла ВDСК.
АВСD – трапеция, угол С острый.
TTП
DС ВM
H-я
А
DС NM
П-я
В
П-р
К
D
N
M
С
Угол ВMN – линейный угол двугранного угла ВDСК

25.

№ 166. Неперпендикулярные плоскости и
пересекаются по прямой МN. В плоскости из точки А
проведен перпендикуляр АВ к прямой МN и из той же точки А
проведен перпендикуляр АС к плоскости . Докажите, что
угол АВС – линейный угол двугранного угла АМNC.
А
МN АB
H-я
TTП
MN ВС
П-я
П-р
N
В
П-я
С
M
Угол АВС – линейный угол двугранного угла АМNC

26.

№ 167. В тетраэдре DАВС все ребра равны, точка М –
середина ребра АС. Докажите, что угол DМВ – линейный
угол двугранного угла ВАСD.
D
А
В
M
С

27.

№ 168. Двугранный угол равен . На одной грани этого угла
лежит точка, удаленная на расстояние d
d от плоскости другой
грани. Найдите расстояние от этой точки до ребра
двугранного угла.
В
?
А
N

28.

№ 169. Даны два двугранных угла, у которых одна грань
общая, а две другие грани являются различными
полуплоскостями одной плоскости. Докажите, что сумма этих
двугранных углов равна 1800.
А
F
О
В