Similar presentations:
Двугранный угол. Перпендикулярные плоскости. Геометрия. 10-11 класс
1.
2.
ПланиметрияСтереометрия
Углом на плоскости мы
называем фигуру,
образованную двумя
лучами, исходящими из
одной точки.
А
В
С
А
В
С
Двугранный угол
3.
Двугранным углом называется фигура, образованнаяпрямой
a и двумя полуплоскостями с общей границей
a, не принадлежащими одной плоскости.
Прямая a – ребро двугранного угла
a
Две полуплоскости – грани двугранного угла
4.
Двугранный угол АВNМ, где ВN – ребро, точки А и Млежат в гранях двугранного угла
D
Угол РDEK
S
O
А
Р
N
F
В
К
X
M
E
Угол SFX – линейный угол двугранного угла
5.
Алгоритм построения линейного угла.Угол РОК – линейный угол двугранного угла РDEК.
D
Градусной мерой двугранного
угла называется градусная мера
его линейного угла.
O
Р
К
E
Плоскость линейного угла ( РОК ) DE
6.
Все линейные углы двугранного угла равны друг другу.Лучи ОА и О1А1 – сонаправлены
Лучи ОВ и О1В1 – сонаправлены
O
А
В
Углы АОВ и А1О1В1 равны,
как углы с сонаправленными
сторонами
O
А1
1
В1
7.
Двугранный угол может быть прямым, острым, тупым8.
Построить линейный угол двугранного угла ВАСК.Треугольник АВС – равнобедренный.
АС ВМ АС NМ
TTП
В
Hаклонная
Проекция
П-р
А
К
N
M
П-я
С
Угол ВMN – линейный угол двугранного угла ВАСК
9.
Построить линейный угол двугранного угла ВАСК.Треугольник АВС – прямоугольный.
АС ВС
H-я
АС NС
TTП
П-я
В
П-р
А
К
С
N
Угол ВСN – линейный угол двугранного угла ВАСК
10.
Две пересекающиеся плоскости называютсяперпендикулярными (взаимно перпендикулярными),
если угол между ними равен 900.
11.
Примером взаимно перпендикулярныхплоскостей служат плоскости стены и пола комнаты,
плоскости стены и потолка.
12.
Признак перпендикулярности двух плоскостей.Если одна из двух плоскостей проходит через прямую,
перпендикулярную к другой плоскости, то такие
плоскости перпендикулярны.
В
С
D
А
13.
Следствие. Плоскость, перпендикулярная к прямой,по которой пересекаются две данные плоскости,
перпендикулярна к каждой их этих плоскостей.
a
14.
№ 178. Плоскости и взаимно перпендикулярныпересекаются по прямой с. Докажите, что любая прямая
плоскости , перпендикулярная к прямой с,
перпендикулярна к плоскости .
A
Подсказка
Признак
перпендикулярности
прямой и плоскости
c
C
B
a
c
b
15.
№ 180. Докажите, что плоскость и не лежащая в ней прямая,перпендикулярные к одной и той же плоскости, параллельны.
Подсказка
b
a
c
Признак
параллельности
прямой и
плоскости
a
b
16.
№ 181. Плоскости и пересекаются по прямой а. Източки М проведены перпендикуляры МА и МВ
соответственно к плоскостям и . Прямая а пересекает
плоскость АМВ в точке С. Докажите, что МС а.
А
М
a
С
В
17.
№ 182. Плоскости и взаимно перпендикулярныпересекаются по прямой a. Из точки М проведены
перпендикуляры МА и МВ к этим плоскостям. Прямая а
пересекает плоскость АМВ в точке С. Докажите, что
четырехугольник АСВМ – прямоугольник.
М
А
a
С
В
18.
№ 183. Плоскости и пересекаются по прямой a иперпендикулярны к плоскости . Докажите, что прямая а
перпендикулярна к плоскости .
a
19.
Прямоугольный параллелепипедПараллелепипед называется прямоугольным, если его
боковые ребра перпендикулярны к основанию, а
основания представляют собой прямоугольники.
20.
Прямоугольный параллелепипедДве грани
параллелепипеда
параллельны.
21.
10. В прямоугольном параллелепипеде все шестьграней – прямоугольники.
20. Все двугранные углы прямоугольного
параллелепипеда – прямые.
Длины трех ребер, имеющих
общую вершину, называются
измерениями прямоугольного
параллелепипеда.
22.
ПланиметрияСтереометрия
В прямоугольнике
квадрат диагонали
равен сумме квадратов
двух его измерений.
В
a
b
d
d
А
d2 =
С
Квадрат диагонали
прямоугольного
параллелепипеда равен
сумме квадратов
трех его
измерений.
с
D
a2 + b2
b
d2 = a2 + b2 + с2
a
23.
Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипедаравен сумме квадратов трех его измерений.
d2 = a2 + b2 + с2
C1
D1
B1
A1
d
с
C
Следствие.
Диагонали прямоугольного
параллелепипеда равны.
B
D
а
b
A
24.
№ 188. Ребро куба равно а. Найдите диагональ куба.d2 = a2 + b2 + с2
D1
С1
А1
В1
d2 = 3a2
d = 3a2
а
d=a 3
D
а
А
а
В
С
d=a 3
25.
№ 189. Найдите расстояние от вершины куба до плоскостилюбой грани, в которой не лежит эта вершина, если:
а) диагональ грани куба равна m.
б) диагональ куба равна d.
Подсказка
D1
С1
А1
В1
Н
D
А
А
С
В
Расстояние от точки
до плоскости – длина
перпендикуляра
26.
№ 190. Дан куб. Найдите следующие двугранные углы:a) АВВ1С; б) АDD1B; в) А1ВВ1К, где K – середина
ребра А1D1.
D1
С1
K
А1
В1
D
А
С
В
27.
№ 191. Дан куб АВСDА1В1С1D1. Докажите, что плоскостиАВС1 и А1В1D перпендикулярны.
D1
С1
А1
В1
D
А
С
В
28.
№ 192. Найдите тангенс угла между диагональю куба иплоскостью одной из его граней.
D1
С1
А1
Подсказка
В1
М
П-Р
D
А
В
П-Р
С
А
П-я
Н
Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту
прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол
между прямой и ее проекцией на плоскость.
29.
№ 193. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDА1В1С1D1.Найдите расстояние между:
а) прямой А1С1 и и плоскостью АВС;
А1
В1
a
d
D
А
Подсказка
С1
D1
С
n
a II
В Расстояние от произвольной точки
прямой до плоскости называется расстоянием
между прямой и параллельной ей плоскостью
30.
№ 193. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDА1В1С1D1Найдите расстояние между:
б) плоскостями АВВ1 и DCC1;
D1
С1
Подсказка
А1
II
В1
d
D
С
n
А
В
Расстояние от произвольной точки одной из параллельных
плоскостей до другой плоскости называется
расстоянием между параллельными плоскостями.
31.
№ 193. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDА1В1С1D1.Найдите расстояние между:
в) прямой DD1 и плоскостью АСС1.
А1
В1
a
d
С
D
А
Подсказка
С1
D1
n
a II
В Расстояние от произвольной точки
прямой до плоскости называется расстоянием
между прямой и параллельной ей плоскостью
32.
№ 194. Ребро куба равно а. Найдите расстояние междускрещивающимися прямыми, содержащими:
Подсказка
а) диагональ куба и ребро куба;
D1
С1
А1
В1
D
А
С
а
a b
a
a II
b
В
Расстояние межу одной из
скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через
другую прямую параллельно первой, называется
расстоянием между скрещивающимися прямыми.
33.
№ 194. Ребро куба равно а. Найдите расстояние междускрещивающимися прямыми, содержащими:
Подсказка
б) диагональ куба и диагональ грани куба.
D1
С1
А1
В1
D
А
С
а
a b
a
a II
b
В
Расстояние межу одной из
скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через
другую прямую параллельно первой, называется
расстоянием между скрещивающимися прямыми.
34.
№ 196.Изобразите куб АВСDА1В1С1D1 и постройте его
сечение плоскостью, проходящей через:
а) ребро АА1 и перпендикулярной к плоскости ВВ1D1;
D1
С1
А1
В1
С
D
А
В
35.
№ 196.Изобразите куб АВСDА1В1С1D1 и постройте его
сечение плоскостью, проходящей через:
б) ребро АВ и перпендикулярной к плоскости СDA1.
D1
С1
А1
В1
D
А
С
В
36.
1. Найдите угол А1ВС12. Доказать, что MN II А1С1, где M и N – середины ребер куба.
D1
С1
А1
В1
С
D
N
А
M
В
37.
Найдите площадь сечения, проходящегочерез точки А, В и С1
D1
С1
6
А1
В1
8
D
А
С
7
В
38.
Построить линейный угол двугранного угла ВАСК.Треугольник АВС – тупоугольный.
АС ВS
H-я
АС NS
TTП
П-я
В
П-р
А
К
С
S
N
Угол ВSN – линейный угол двугранного угла ВАСК
39.
Построить линейный угол двугранного угла ВDСК.АВСD – прямоугольник.
А
TTП
DС BС
H-я
DС NС
П-я
В
D
П-р
К
С
N
Угол ВСN – линейный угол двугранного угла ВDСК
40.
Построить линейный угол двугранного угла ВDСК.АВСD – параллелограмм, угол С острый.
DС ВM DС NM
TTП
H-я
П-я
А
В
D
П-р
К
M
П-я
N
С
Угол ВMN – линейный угол двугранного угла ВDСК
41.
Построить линейный угол двугранного угла ВDСК.АВСD – параллелограмм, угол С тупой.
TTП
DС ВM DС NM
А
H-я
П-я
В
П-р
К
D
N
С
M
Угол ВMN – линейный угол двугранного угла ВDСК
42.
Построить линейный угол двугранного угла ВDСК.АВСD – трапеция, угол С острый.
TTП
DС ВM DС NM
H-я
А
П-я
В
П-р
К
D
N
M
С
Угол ВMN – линейный угол двугранного угла ВDСК
43.
№ 166. Неперпендикулярные плоскости ипересекаются по прямой МN. В плоскости из точки А
проведен перпендикуляр АВ к прямой МN и из той же точки А
проведен перпендикуляр АС к плоскости . Докажите, что
угол АВС – линейный угол двугранного угла АМNC.
А
МN АB
H-я
MN ВС
TTП
П-я
П-р
N
В
П-я
С
M
Угол АВС – линейный угол двугранного угла АМNC
44.
№ 167. В тетраэдре DАВС все ребра равны, точка М –середина ребра АС. Докажите, что угол DМВ – линейный
угол двугранного угла ВАСD.
D
А
В
M
С
45.
№ 168. Двугранный угол равен . На одной грани этого углалежит точка, удаленная на расстояние d
d от плоскости другой
грани. Найдите расстояние от этой точки до ребра
двугранного угла.
В
?
А
N
46.
№ 169. Даны два двугранных угла, у которых одна граньобщая, а две другие грани являются различными
полуплоскостями одной плоскости. Докажите, что сумма этих
двугранных углов равна 1800.
А
F
О
В