Двугранный угол. Угол между плоскостями

1. Двугранный угол. Угол между плоскостями.

2. Основные понятия

• Прямая а разделяет плоскость
на две полуплоскости
a
α

3.

Общая граница полуплоскостей а
называется ребром двугранного угла.
Полуплоскости, образующие двугранный
угол, называются его гранями.
Двугранным углом
называется фигура,
образованная
прямой а и двумя
полуплоскостями с
общей границей а, не
прилежащими одной
плоскости.
а
β
α

4. Назовите предметы, имеющие форму двугранного угла

5.

Угол между плоскостями – это двугранный угол .
Т.е. - это угол, образованный некоторой прямой a и двумя
полуплоскостями с общей границей a.
Прямая
a – ребро двугранного угла
Двугранный угол
a
Две полуплоскости – грани двугранного угла

6.

Две пересекающиеся плоскости образуют две
пары равных между собой двугранных углов.
Величиной угла между
плоскостями называется
величина меньшего
двугранного угла.

7. BKA- линейный угол двугранного угла BCDA

Линейный угол
Линейным углом
двугранного угла
называется угол,
образованный лучами с
вершиной на граничной
прямой, стороны
которого лежат на
гранях двугранного угла
и перпендикулярны
граничной прямой.
C
K
А
В
D
Величиной двугранного
угла называется
величина его линейного
угла.
BKA- линейный угол
двугранного угла BCDA

8.

Алгоритм построения линейного угла.
Угол AОB – линейный угол двугранного угла ADEB.
1 способ
D
2 способ
B
O
A
B
E
D
O
E
A
Градусной мерой двугранного угла называется градусная
мера его линейного угла.
ADEB =
AOB
Плоскость (AOB)
DE

9.

Двугранный угол может быть острым, прямым, тупым
90
45
45
135

10.

Все линейные углы двугранного угла равны
друг другу.
Лучи ОА и О1А1 –
сонаправлены
O
А
В
Лучи ОВ и О1В1 –
сонаправлены
Углы АОВ и А1О1В1
равны,
как углы с
сонаправленными
сторонами
O
А1
1
В1

11.

Построить линейный угол двугранного угла ВАСК.
Треугольник АВС – равнобедренный.
АС ВМ
В
TTП
Hаклонная
АС NМ
Проекция
ТТП – теорема о 3 перпендикулярах
Перпендикуляр
А
К
M
N Проекция
С
Угол ВMN – линейный угол двугранного угла ВАСК

12.

Построить линейный угол двугранного угла ВАСК.
Треугольник АВС – прямоугольный.
АС ВС
H-я
TTП
АС NС
П-я
В
П-р
А
К
С
N
Угол ВСN – линейный угол двугранного угла ВАСК

13.

Построить линейный угол двугранного угла ВАСК.
Треугольник АВС – тупоугольный.
АС ВS
H-я
TTП
АС NS
П-я
В
П-р
А
К
С
S
N
Угол ВSN – линейный угол двугранного угла ВАСК

14.

Задача. Построить линейный угол двугранного угла
ВАСК. АВСD – четырехугольник, АС – диагональ, АС=1;
ВС=2; АВ= 5 ОбрTTП
АС ВС
АС NС
П-я
H-я
В
5
А
П-р
2
1
К
N
С
D
Угол ВСN – линейный угол двугранного угла ВАСК

15.

Задача. Построить линейный угол двугранного
угла ВАСК. АВСD – четырехугольник, АС –
диагональ; АС=5, ВС= 6, АВ= 9.
АС ВS
ОбрTTП
АС NS
П-я
H-я
В
9
А
6
5
П-р
К
С
S
N
D
Угол ВSN – линейный угол двугранного угла ВАСК

16.

Задача В параллелограмме АВСD угол АDС равен 120 0, АD = 8 см
DС= 6 см , прямая РС перпендикулярна плоскости (АВС), РС= 9 см.
Найти величину двугранного угла с ребром АD и площадь
P
параллелограмма.
Решение:
ADC 120 0
РС АВС , СH AD, поТТП PH AD
В
С
120
А
6 3
DCH : CH 6 sin 60
3 3
2
9
PHC : tgPHC
3 , PHC 60 0
3 3
0
S ABCD CH AD 8 3 3 24 3
D
РНС линейный
H

17.

Задача
(Решение с помощью построения линейного угла)
С1
2
А1
В1
1) Построим плоскость СBА1
Перпендикуляр из точки А1на
плоскость (АВС) – точка А, А1D –
наклонная, АD проекция наклонной на
(АВС). Тогда угол АDА1 – это
линейный угол двугранного угла
между плоскостями (АВС) и ( ВА1С).
2) Из AВС:
AD
5
С
А
D
В
AB 2 BD 2
22 1
3.
3) Из A1ВD:
A1 D
A1 B 2 BD 2
5 1
4 2.
4) Из A1AD:
cos
cos
Из
AD
;
A1 D
3
2
A1AD:
30

18.

Задача (решение построением параллельной плоскости)
В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и F середины ребер соответственно
A1B1 и A1D1. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD1.
1) Заменим плоскость DBB1 на параллельную плоскостьFEKL. Угол
между плоскостями AEF и BDD1 равен углу между плоскостями AEF и
D1
C1
FEK.
2) Ребро двугранного угла – FE.
F
3) Строим линейный угол
О E
двугранного угла AFEK.
A1
4) Найдем два элемента
B1
треугольника AOP. Пусть ребро
куба равно a (или 1).
5) Из APK:
6) Из AОP:
a
AP
AP
cos 450
;
tgAOP
;
D
AK
C
OP
L
2 AP
a
P
a 2
;
tgAOP
: a;
a
2
4
a
2
A 450
B
K
2 a
2
AP
;
2
a 2
tgAOP
.
2 2
AP
.
4
4

19.

• В прямоугольном параллелепипеде
ABCDA1B1C1D1 точка N – середина
ребра CD , AB = 3 , BC = 2 , BB1 = 2.
Найдите угол между плоскостями AB1N и
ABC .
• В правильной четырехугольной
пирамиде SABCD с основанием ABCD
сторона основания равна 3, а боковое
ребро равно 5. Найдите угол между
плоскостями ABC и ACM, где точка M
делит ребро BS так, что BM : MS = 2 : 1.