Интегрирование иррациональных выражений

1.

Интегрирование иррациональных выражений
I. Интегралы, содержащие квадратный трехчлен:
dx
ax bx c
2
mx n
ax 2 bx c dx
ax 2 bx c
dx
Необходимо: 1) под радикалом выделить полный
2
b
c
2
2
b
c
b
квадрат:
b
2
ax bx c a( x x )
a
a
a ( x ) 2
a 4a
2 aa
t
2) сделать подстановку
3) свести к табличному интегралу.
Ex:
dx
4x 2 2x 1
1
2
dx
3
11
( x ) 2t )
16
44
dx
1
1
4( x x )
2
4
2
1
x t
4
dx dt
dx
2 (x2
1
2
1
1
x )
2
4
dt
t2
3
16
dx
1 2 1 1
2 (( x ) )
4
4 16
1
3
ln t t 2
C
2
16
1
1
1
3
ln x ( x ) 2
C
2
4
4
16
1

2.

II. Дробно-линейная подстановка –
ax b
ax
ax
bb ) )dx
R
(
x
;
(
)
;...(
Интегралы типа:
cx d
cx
cx dd
tk
Надо:1) сделать подстановку:
и
k – НОК знаменателей
2) свести к табличному интегралу
Ex:
dx
3
( x 2) x 2
2
dx
2
3
( x 2) ( x 2)
1
2
НОК (3,2) 6
x 2 t6
dx 6t 5dt
`
(t 11)(
)(t1t 11)) 1
(t 2 1) 1
t 2 dt
t 5 dt
dtdt dt
dt 6 6
6
6 3
6
(
t
1
)
(t 1)
(t 1)
(t 1)
t (t 1)
6t 5 dt
2
6 3
1
6 2
(t ) (t )
t 5 dt
6 4 3
t t
t2
1
2
6 (t 1)dt 6
dt 6( t ) 6 ln t 1 C 3t 6t 6 ln t 1 C
2
t 1
3(6 x 2 ) 2 66 x 2 ln 6 x 2 1 C 33 x 2 66 x 2 ln 6 x 2 1 C
2

3.

III. Тригонометрическая подстановка –
Интегралы типа:
2
2
R
(
x
;
a
x
)dx
2
2
R
(
x
;
x
a
)dx
Нужно: 1) Сделать подстановку
x a sin t
2
2
R
(
x
;
a
x
)dx
x atgt
2) Свести к табличному интегралу
Ex:
4 x2
dx
x2
?
x 2 sin t
dx 2 cos tdt
cos t
1 sin 2 t
cos tdt
cos
tdt
2
2
sin t
sin t
4 4 sin 2 t
2 1 sin 2 t
2 cos tdt
2 cos tdt
4 sin 2 t
4 sin 2 t
1 1sin 2 xx
cos 2 t
dx
sin
dx dx
dt
22 2
sin
sin 2 t
sin
xxx
sin
2
tgx dx tgx x C
3