Интегрирование иррациональностей. (Семинар 15)

1. Семинар 15. Интегрирование иррациональностей

2.

Способы вычисления интегралов, содержащих простейшие
иррациональности следующие:
1. Если подынтегральное выражение содержит лишь линейную
иррациональность n ax b , (a 0), то применяется подстановка t n ax b
2. Интеграл от простейшей квадратичной иррациональности
2
dx
ax
bx c
этот
интеграл
с
помощью
дополнения
выражения
ax 2 bx c
до полного квадрата сводится к одному из двух интегралов
dx
a x2
Рассмотрим эти интегралы:
a)
dx
x2 a
Применим подстановку Эйлера x 2 a t x,где t –новая переменная.
x 2 a t 2 2tx x 2 a t 2 2tx d (a) d (t 2 2tx) 2tdt 2 xdt 2tdx tdx (t x)dt
dx dt
dx
dt
t x t
x2 a t
x
d
dx
a arcsin x c
2
a
a2 x2
x
1
a
отсюда
b)
dx
x2 a
dt
ln | t | c ln | x x 2 a | c
t
3. Интеграл от иррациональности
(x )
dx
ax 2 bx c
Заменой x
1
он сводится к интегралу вида 2)
t

3.

mx n
4. Интеграл от иррациональности
ax bx c
2
dx
Этот интеграл можно разбить на два интеграла, выделив в числителе
производную подкоренного выражения; тогда один интеграл вычисляется
как интеграл от степенной функции, а второй является интегралом вида 2)
5. Иррациональность вида ax 2 bx c dx.Выделяем полный квадрат, а затем
полученный интеграл x 2 A dx вычисляем по методу – интегрирование
по частям.
Замечание
a) 1 x 2 dx x sin t , dx cos tdt cos 2 t td (t sin 2t ) c sin 2t 2 sin t cos t 2 x 1 x 2
1
2
1
2
1
(arcsin x x 1 x 2 ) c
2
2
b) x 1 dx При вычислении можно использовать гиперболические
функции x=sht, dx=cht (можно x=tgt, но более громоздко).
6. Иррациональность вида
k
m
R
(
x
,
x
,
x ,...)dx , (1) где R – рациональная функция относительно
переменной интегрирования x и различных радикалов из x. Обозначим
через n – наименьшее кратное всех показателей k,m,… Тогда n r , n r ,...
1
2
k
m

4.

n
n 1
Замена переменной x t , dx nt dt позволяет получить интеграл от
рациональной функции. Интеграл(1) примет вид R(t n , t r , t r ,...)nt n 1dt
1
Замечание Интеграл вида R( x, k
замены
2
ax b ax b
,m
,...)dx вычисляется
px q px q
с помощью
ax b n
qt n b
aq pb
t ,x
, dx
nt n 1dt
n
n 2
px q
a pt
(a pt )
m
n p
Биноминальный дифференциал – это выражение вида x (a bx ) dx, где
a, b R, m, n, p Q
Теорема Чебышева
Интеграл x m (a bx n ) p dx (1) может быть выражен в элементарных функциях
только в следующих трех случаях:
n p
1) p – целое число. Тогда выражение (a bx ) развертывается по формуле
бинома Ньютона и подынтегральная функция после раскрытия скобок
будет суммой элементов вида cx k, которые легко интегрируются.
2) m 1 целое число. Интеграл (1) приводится к интегралу от
n
n
r
рациональной функции подстановкой t a bx , где r – знаменатель дроби p
m 1
p целое число. Интеграл (1) приводится к интегралу от
n
n
рациональной функции подстановкой t r a bx
, где r – знаменатель
n
x
3)
дроби p.

5.

Разложение на простейшие дроби. Общий случай.
Пусть
R( x)
P( x)
Q( x)
,где P(x),Q(x) – многочлены
Прежде всего заметим, что если степень m числителя P(x) больше или
равна степени n знаменателя Q(x), то разделив многочлен P(x) на
многочлен Q(x), получим в частном некоторый многочлен N(x) и в остатке
многочлен не выше степени (n-1).
P ( x)
P( x)
Следовательно Q( x) N ( x) Q1( x)
Для N(x) – обычное интегрирование.
P1 ( x)
Дробь Q( x) - правильная дробь.
Многочлен Q(x) может быть представлен в виде произведения
линейных и квадратичных множителей с действительными
коэффициентами:
Q( x) ( x ) k ...( x 2 px q) t ... , где
- к-кратный корень уравнения Q(x)=0, а квадратное уравнение
x 2 px q 0 ( p 2 4q 0)
которые служат t-кратными сопряженными корнями уравнения Q(x)=0
Общая формула разложения дроби следующая:
Ak
Ak 1
Bt x Ct
Bt 1 x Ct 1
P1 ( x)
A1
B1 x C1
...
...
Q( x) ( x ) k ( x ) k 1
x ( x 2 px q) t ( x 2 px q) t 1
x 2 px q

6.

Таким образом, интеграл от всякой рациональной дроби сводится к
интегралам от простейших рациональных дробей, которые находятся
достаточно легко.
Примеры с решениями
5
2
3
2
5
2
xdx
(
t
1
)
3
t
dt
t
t
3
3
3
2
4
3
3
1)
t x 1, x t 1, dx 3t dt
3 (t t )dt 3( ) c ( x 1) ( x 1) 3 c
3
2)
3)
4)
x 1
dx
x 6 x 13
2
dx
1 x x
dx
x 3 x
2
d ( x 3)
t
ln | x 3
5
2
5
2
x 2 6 x 13 | c
( x 3) 4
1
1
d (x )
x
2
2 c arcsin 2 x 1 c
arcsin
5
1
5
5
(x )2
4
2
4
2
6
3
2
5
замена x t , x t , 3 x t , dx 6t dt . Тогда
5
3
3
3
2
dx
6
t
dt
t
t
1
1
dt
t
t
2
= 3 2 6
dt 6
dt 6 (t t 1)dt 6 6( t ) 6 ln | t 1 | c =
3
t
1
t
1
t
3 2
t
t
x x
2 x 33 x 66 x 6 ln | 6 x 1 | c
5)
x 3
dx
x3 x
x 3 A
B
C
x 3 A( x 2 1) Bx ( x 1) Cx( x 1)
3
x x x x 1 x 1
A 3
A B C 0
B
C
1
B 1
C 2
A 3
Получаем систему

7.

Более простой метод: При x=0, A=3. При x=1, B=-1. При x=-1, C=-2
Имеем тождество x3 3 3 1 2 , тогда
x x
x
x 1
x 1
x 3
dx
dx
dx
dx
3
2
x3 x
x x 1 x 1 3 ln | x | ln | x 1 | 2 ln | x 1 | c
12
4
3
3
2
6) x 4 x 3 x 1dx x x x 1 x ( x 1) ( x 1) ( x 1)( x 1)( x x 1)
Разлагаем дробь на простейшие дроби:
12
A
B
Cx D
x 4 x3 x 1 x 1 x 1 x 2 x 1
Коэффициенты A,B,C,D находим из тождества
12 A( x 1)( x 2 x 1) B( x 1)( x 2 x 1) (Cx D)( x 1)( x 1)
Подставляя последовательно x=0, x=1, x=-1, x=2 получим систему:
12 6 B
A 6
12 2 A
B 2
12 A B D
C 4
12 7 A 21B 6C 3D D 4
следовательно
12
dx
dx
x 1
2x 1 3
dx
6
2
4
6
ln
|
x
1
|
2
ln
|
x
1
|
2
x 4 x3 x 1
x 1 x 1 x 2 x 1
x 2 x 1dx =
d ( x 2 x 1)
dx
6 ln | x 1 | 2 ln | x 1 | 2 2
6
6 ln | x 1 | 2 ln | x 1 | 2 ln | x 2 x 1 |
1
3
x x 1
(x )2
2
4

8.

4 3arctg
2x 1
c
3
x 2 x 1
x 2 x 1 A Bx C Dx E
7) 2 2 dx
2
x( x 1)
x( x 2 1) 2 x ( x 2 1) 2
x 1
x 2 x 1 A( x 2 1) 2 ( Bx C ) x ( Dx E ) x( x 2 1) Получаем систему уравнений
A D 0
E 0
2 A B D 1 A 1; B 2; C 1; D 1; E 0
C E 1
A 1
,имеем
x 2 x 1
dx
2x 1
x
1
2x
dx
2
dx
dx
dx
ln
|
x
|
ln
|
x
1
|
dx
x( x 2 1) 2
x x2 1 2 x2 1
( x 2 1) 2 x 2 1 2
2
=
1
1
( x 2 1 x 2 )dx
1
1
x2
2
2
ln | x | ln | x 1 | 2
ln | x | ln | x 1 | 2
arctgx 2
dx
2
2
x 1 ( x 2 1) 2
x 1
( x 1) 2
x2
Интеграл x 2 1 2 dx вычислим, применив правило интегрирования по частям
u x; dv
x
x2
2
dx
2
1
xdx
1
2 xdx
1 1
;
du
dx
;
v
2 ( x 2 1) 2
2 x2 1
( x 2 1) 2
x
2( x 2 1)
тогда
1 dx
x
1
arctgx c
2 x2 1
2( x 2 1) 2