Интегрирование биноминальных дифференциалов. Разложение на простейшие дроби. Интегрирование тригонометрических функций. Лекция 8

1. Лекция 8. Интегрирование биноминальных дифференциалов. Разложение на простейшие дроби. Интегрирование тригонометрических

функций.

2.

Биноминальный дифференциал – это выражение вида x m (a bx n ) p dx , где
a, b R, m, n, p Q
cx
k
Теорема Чебышева
Интеграл x m (a bx n ) p dx (1)
может быть выражен в элементарных функциях только в следующих трех
(a bx n ) p
случаях:(1) p - целое число. Тогда выражение
развертывается по формуле бинома Ньютона и подынтегральная
функция после раскрытия скобок будет суммой элементов вида
m 1
целое число.
n
Интеграл (1) приводится к интегралу от рациональной функции
подстановкой t r a bx n , где r – знаменатель дроби p
m 1
p целое число. Интеграл (1) приводится к интегралу от
n
n
рациональной функции подстановкой t r a bx
xn
, где r – знаменатель дроби p

3.

Разложение на простейшие дроби. Общий случай.
Пусть R( x)
P( x)
, где P(x),Q(x) – многочлены.
Q( x)
Прежде всего заметим, что если степень m числителя P(x) больше или
равна степени n знаменателя Q(x), то разделив многочлен P(x) на
многочлен Q(x), получим в частном некоторый многочлен N(x) и в остатке
многочлен P1 ( x) не выше степени (n-1).
Следовательно
P ( x)
P( x)
N ( x) 1
Q( x)
Q( x)
Для N(x) – обычное интегрирование.
Дробь
P1 ( x)
- правильная дробь.
Q( x)
Многочлен Q(x) может быть представлен в виде произведения линейных и
квадратичных множителей с действительными коэффициентами
Q( x) ( x ) k ...( x 2 px q) t ... , где -к-кратный корень уравнения Q(x)=0,
2
а квадратное уравнение x px q 0
2
имеет сопряженные комплексные корни ( p 4q 0)
, которые служат t-кратными сопряженными корнями уравнения Q(x)=0
Общая формула разложения дроби следующая:

4.

Ak
Ak 1
Bt x Ct
Bt 1 x Ct 1
P1 ( x)
A1
B1 x C1
...
...
Q( x) ( x ) k ( x ) k 1
x ( x 2 px q) t ( x 2 px q) t 1
x 2 px q (*)
Таким образом, интеграл от всякой рациональной дроби сводится к
интегралам от простейших рациональных дробей, которые находятся
достаточно легко.
Примеры
x 3
x 3 A
B
C
dx 3
x 3 A( x 2 1) Bx ( x 1) Cx( x 1)
1. 3
x x
x x x x 1 x 1
Получаем систему
A B C 0 A 3
B 1
B C 1
C 2
A 3
Более простой метод:
При x=0, A=3. При x=1, B=-1. При x=-1, C=-2
x 3 3
1
2
Имеем тождество 3
, тогда
x x x x 1 x 1
x 3
dx
dx
dx
dx
3
2
x3 x
x x 1 x 1 3 ln | x | ln | x 1 | 2 ln | x 1 | c

5.

12
2. x 4 x 3 x 1dx
x 4 x 3 x 1 x 3 ( x 1) ( x 1) ( x 1)( x 1)( x 2 x 1)
Разлагаем дробь на простейшие дроби:
12
A
B
Cx D
x 4 x3 x 1 x 1 x 1 x 2 x 1
Коэффициенты A,B,C,D находим из тождества
12 A( x 1)( x 2 x 1) B( x 1)( x 2 x 1) (Cx D)( x 1)( x 1)
Подставляя последовательно x=0, x=1, x=-1, x=2 получим систему
12 6 B
A 6
12 2 A
B 2
12 A B D
C 4
12 7 A 21B 6C 3D D 4
следовательно
12
dx
dx
x 1
2x 1 3
dx
6
2
4
6
ln
|
x
1
|
2
ln
|
x
1
|
2
x 4 x3 x 1
x 1 x 1 x 2 x 1
x 2 x 1dx
d ( x 2 x 1)
dx
6 ln | x 1 | 2 ln | x 1 | 2 2
6
6 ln | x 1 | 2 ln | x 1 | 2 ln | x 2 x 1 |
1
3
x x 1
(x )2
2
4
2x 1
4 3arctg
c
3

6.

x 2 x 1
x( x 2 1) 2 dx
3
x 2 x 1 A Bx C Dx E
2
2
2
2
2
x ( x 1)
x( x 1)
x 1
x 2 x 1 A( x 2 1) 2 ( Bx C ) x ( Dx E ) x( x 2 1)
Получаем систему уравнений
A D 0
E 0
2 A B D 1 A 1; B 2; C 1; D 1; E 0
C E 1
A 1
x 2 x 1
dx
2x 1
x
1
2x
dx
Имеем 2 2 dx 2 2 dx 2 dx ln | x | ln | x 2 1 | 2 2 dx 2 2
x
2
x( x 1)
x 1
( x 1)
x 1
x 1
=
1
1
( x 2 1 x 2 )dx
1
1
x2
2
2
ln | x | ln | x 1 | 2
ln | x | ln | x 1 | 2
arctgx 2
dx
2
2
2
2
2
x 1
( x 1)
x 1
( x 1)
x2
Интеграл
dx вычислим применив правило интегрирования по частям
2
2
x 1
u x; dv
x
x2
2
dx
2
1
xdx
1
2 xdx
1 1
;
du
dx
;
v
тогда
2 ( x 2 1) 2
2 x2 1
( x 2 1) 2
x
2( x 2 1)
1 dx
x
1
arctgx c
2
2
2 x 1
2( x 1) 2

7.

Окончательно исходный интеграл равен
x 2 x 1
x 2
dx
x( x 2 1) 2 2( x 2 1) ln
x2 1 1
arctgx c
x
2
Интегрирование тригонометрических функций
Рассмотрим основные методы интегрирования тригонометрических
функций
1. В приложениях математического анализа важное значение имеют
интегралы вида sin m x cos n xdx Рассмотрим различные значения
параметров m и n
a) Если хотя бы одно из m или n нечетное (m>0,n>0), то интеграл
вычисляется непосредственно.
Пример
1
1
3
2
2
2
3
5
sin
x
cos
xdx
(
1
cos
x
)
cos
xd
(cos
x
)
cos
x
cos
x c
3
5
b) Если оба показателя четные числа (m>0,n>0), то используются
формулы двойного аргумента, понижающие степень, а именно
2 sin 2 x 1 cos 2 x;2 cos 2 x 1 cos 2 x; sin 2 x 2 sin x cos x

8.

Пример
1
sin 2 x 1 cos 2 x
sin
x
cos
xdx
(sin
x
cos
x
)
cos
xdx
dx
sin 2 x(1 cos 2 x)dx
2
2
8
2
2
4
2
2
1
1
1 1 cos 4 x
1
1
1
2
2
2
sin
2
xdx
sin
2
x
cos
2
xdx
dx
sin
2
xd
(sin
2
x
)
dx
cos 4 xdx
8
8
8
2
16
16
16
1
x sin 4 x sin 3 2 x
3
sin 2 x
c
48
16
64
48
с) Если m<0 и n<0 и сумма их четна, то применяется подстановка t=tgx
или t=ctgx. Исходный интеграл сводится к сумме интегралов от степенных
функций.
t2
1
dt
2
t tgx; sin x
;
cos
x
;
dx
1 t 2
1 t 2
1 t 2
2
Пример
dx
sin 3 x cos x
dt
t3
1
(1 t )
(1 t 2 ) 3 / 2 (1 t 2 )1 / 2
2
1 t 2
1
1
3 dt 2 ln | t | c
ln | tgx | c
t
2t
2tg 2 x
d) Если m<0 и n<0, то единица в числителе представляется как (sin 2 x cos 2 x) k
где 2k=|m+n|-2
Пример
dx
(sin 2 x cos 2 x) 2
dx
ctg 2 x
ctg 4 x
2 3 1 5
dx
2
dx
dx
ctgx
ctg x ctg x c
sin 6 x
sin 2 x sin 2 x sin 2 x
3
5
sin 6 x

9.

e) Если m=0, n – нечетное отрицательное или n=0, m – нечетное
отрицательное, то используется универсальная подстановка
x
2t
1 t 2
2dt
t tg , sin x
,
cos
t
,
dx
2
1 t 2
1 t 2
1 t 2
x
x
x
2 sin cos
2tg
2
2
2 2t
sin x
2
1
t
2 x
2 x
2 x
sin cos
1 tg
2
2
2
Так как
x
x
x
sin 2
1 tg 2
1 t 2
2
2
2
cos x
2
1
t
2 x
2 x
2 x
sin
cos
1 tg
2
2
2
cos 2
и
Пример
dx
sin 3 x
2dt
2t
1 t
2
1 t
2
3
1 t dt
2 2
8t 3
tg 2
2
1 1
t
1
1
x
ln
|
t
|
c
ln
|
tg
|
x
8
2
2
8
8t 2 2
8tg 2
2
x
2 c
2. Рассмотрим интеграл вида R(sin x, cos x)dx
При вычислении такого интеграла возможны различные случаи
представления подынтегральной функции:
Функции sinx, cosx – только2в четных степенях. Тогда можно использовать
подстановку t tgx, sin 2 x t , cos 2 x 1 , dx dt Интеграл упрощается.
1 t 2
1 t 2
1 t 2

10.

Пример
sin
2
dx
x 3 cos 2 x
dt
dt
1 1
t 3
1
tgx 3
ln
c
ln
c
2
2
2
t
3
3
t
3
2
3
tgx
3
t
3
1 t 2
2
2
1
t
1
t
Замечание Такой же подстановкой вычисляется интеграл вида R (tgx)dx
Пример
dx
dt
1
1 2tgx 1 t 2 (1 2t ) 5 [ x 2 ln | cos x 2 sin x |] c
Это после разложения на простейшие дроби, вычисления интегралов от
них и возврата к старой переменной.
1
b) Функция R(sinx,cosx) имеет вид
a cos x b sin x c
В этом случае применяется универсальная подстановка
x
2t
1 t 2
2dt
t tg , sin x
,
cos
t
,
dx
2
1 t 2
1 t 2
1 t 2
Замечание Использование универсальной подстановки всегда приводит к
цели, но в силу своей общности она часто не является наилучшей в
смысле краткости и простоты необходимых преобразований.
3.В теории рядов Фурье, важное значение имеют интегралы
sin mx sin nxdx, cos mx cos nxdx, sin mx cos nxdx
Они вычисляются на основании формул тригонометрии:

11.

t bx c
1
1
sin x sin y [cos( x y ) cos( x y )]; cos x cos y [cos( x y ) cos( x y )];
2
2
1
sin x cos y [sin( x y _ sin( x y )]
2
Пример
sin x sin 5xdx
1
1
1
(cos
4
x
cos
6
x
)
dx
sin
4
x
sin 6 x c
2
8
12
Интегрирование некоторых иррациональных функций с помощью
тригонометрических подстановок
В приложениях математического анализа интегралы от иррациональных
функций в некоторых случаях можно вычислять, используя
тригонометрические подстановки.
b2
2
(1),
Рассмотрим интеграл вида R( x, ax bx c )dx
где a 0; c
0
4a
В случае a=0 получаем интеграл вида R( x, bx c )dx , замена
t bx c и так далее.
b2
В случае c 0 ax 2 bx c a( x b ) 2 и если a>0 имеем дело с
4a
2a
2
рациональной функцией, если a<0, то функция ax bx c
не определена ни при каком значении x.

12.

Рассмотрим метод преобразования интеграла (1) к интегралу вида
2
b
b
2
2
R
(sin
z
,
cos
z
)
dz
(2) Выполним преобразование ax bx c a( x ) (c )
2a
4a
2
b
b
Замена t x ; dx dt Получаем ax 2 bx c at 2 (c )
2a
4a
Рассмотрим все возможные случаи:
2
2
b
b
2
1. Пусть a 0; c 0. Введем обозначение a m ; c n 2
4a
4a
Получаем
ax 2 bx c m2t 2 n 2
2
b
2
2
b2
a
m
;
c
n
Введем
обозначение
a
0
;
c
0
.
2. Пусть
4a
4a
Получаем
ax 2 bx c m2t 2 n 2
2
b
b2
2
2
0. Введем обозначение a m ; c n
3. Пусть a 0; c
4a
4a
Получаем
ax 2 bx c m 2 t 2 n 2

13.

b2
b2
2
n 2
Пусть a 0; c 0. Введем обозначение a m ; c
4a
4a
(комплексное число)
Получаем
Таким образом интеграл (1) преобразуется к одному из следующих типов
интегралов:
ax 2 bx c m2t 2 n2 C
2 2
2
I. R(t , m 2 t 2 n 2 )dt (3.1) II R(t , m 2 t 2 n 2 )dt (3.2) III R(t , m t n )dt (3.3)
Интеграл (3.1) приводится к интегралу вида (2) с помощью подстановки
n
t tgz
m
Интеграл (3.2) приводится к интегралу вида (2) с помощью подстановки
t
n
n
sec z
m
m cos z
Интеграл (3.3) приводится к интегралу вида (2) с помощью подстановки
t
n
sin z
m

14.

Пример
dx
a
2
x2
3
(интеграл типа III). Замена x=asint ; dx=acostdt.
Получаем
dx
a
2
x2
3
a cos tdt
a
2
a 2 sin 2 n
3
a cos tdt 1
dt
1 2
1
sin t
1
x
tg
t
c
3
3
2
2
2
2
2
2
2
2
a cos t a cos t a
a 1 sin t a a x
Многократное интегрирование по частям при вычислении интегралов.
В приложениях математического анализа встречаются интегралы вида
m
m
m x
x
x
x
sin
xdx
,
x
cos
xdx
,
x
e
dx
,
e
sin
xdx
,
e
cos xdx, m 0, m N
Вычисление таких интегралом требует многократного интегрирования по
частям.
2
2
2
x
cos
xdx
u
x
;
du
2
xdx
;
dv
cos
xdx
;
v
sin
x
x
sin x 2 x sin xdx
a)
u x; du dx; dv sin x; v cos x x 2 sin x 2( x cos x cos xdx) x 2 sin x 2 x cos x 2 sin x c
b)
x
x
x
x
x
e
cos
xdx
u
cos
x
;
du
sin
x
;
dv
e
dx
;
v
e
e
cos
x
e
sin xdx
u sin x; du dx; dv e dx; v e e
x
x
x
cos x e x sin x e x cos xdx тогда получаем
ex
2 e cos xdx e (cos x sin x) e cos xdx (cos x sin x) c
2
x
x
x

15.

Замечание Если принять вначале u e x ; dv cos xdx;...
то получим тождество e x cos xdx e x cos xdx
О функциях, интегралы от которых не выражаются через
элементарные функции
При интегрировании может возникнуть вопрос, а именно:
1. Всякая ли непрерывная функция f(x) имеет неопределенный интеграл
f ( x)dx;
2. Каким способом можно найти этот интеграл, если он существует
Ответом на первую часть вопроса является теорема Коши, являющейся
основной теоремой интегрального исчисления.
Теорема Коши
Всякая непрерывная функция имеет первообразную. Иными словами, для
каждой непрерывной в интервале (a,b) функции f(x) существует функция
F(x), производная которой в интервале (a,b) в точности равна данной
функции f(x), то есть F’(x)=f(x), тем самым существует и неопределенный
интеграл f ( x)dx F ( x) c, c const

16.

Теорема Коши не решает вторую часть вопроса. Теорема Коши вовсе не
утверждает, что первообразную данной функции можно отыскать с
помощью конечного числа известных операций и выразить ответ в
элементарных функциях. Более того, имеются непрерывные
элементарные функции, интегралы от которых не являются
элементарными функциями. Такие интегралы называются
“неберущимися”, то есть они не могут быть выражены с помощью
конечного числа элементарных функций.
Примеры: Ф( х) 2
x
e dx
2
- интеграл вероятностей (функция Лапласа);
sin x
dx - интегральный синус; E(x)= 1 k 2 sin 2 xdx -эллиптический
Si(x)=
x
интеграл.
Для функций Ф(х), Si(x), E(x) – составлены таблицы.