Интегрирование рациональных дробей

1.

Интегрирование рациональных дробей
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рациональной дробью называется отношеPm ( x)
ние 2-х многочленов, т.е. функция вида
,
Pn ( x)
где Pm(x), Pn(x) – многочлены степени m и n соответственно.
Если m < n, то рациональная дробь называется правильной.
В противном случае (т.е. если m n) дробь называется
неправильной.
Неправильная рациональная дробь представима в виде суммы
многочлена и правильной рациональной дроби:
Pm ( x)
Pr ( x)
Q( x)
,
Pn ( x)
Pn ( x)
где Q(x) – некоторый многочлен степени m – n,
Pr(x) – многочлен степени r < n.
(многочлены Q(x) и Pr(x) получаются в результате деления с
остатком Pm(x) на Pn(x) )

2.

Интегрирование простейших
рациональных дробей
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Простейшими рациональными дробями I,
II, III, IV типа называются соответственно правильные
дроби вида A
A
Ax B
Ax B
,
,
,
,
m
2
2
m
x a ( x a)
x bx c ( x bx c)
где D = b2 – 4c < 0 , m – натуральное число (m > 1).
1) Интегрирование простейших дробей I типа:
dx
d ( x a)
A
x a dx A x a A x a A ln x a C .
2) Интегрирование простейших дробей II типа:
A
( x a) m 1
d ( x a)
( x a) m dx A ( x a) m A m 1 C .

3.

3) Интегрирование простейших дробей III типа:
Ax B
dx
2
x bx c
D b 2 4c 0
а) Выделим полный квадрат в знаменателе:
2
2
2
2
b
b
b
b
b
2
c,
c x
( x 2 bx ) c x 2 x
2
4
2 4 4
b2
b 2 4c
D
c
0,
4
4
4
2
b
2
x bx c x q 2 .
2

4.

b
б) Сделаем замену: t x .
2
В результате интеграл будет приведен к виду
At M
t 2 q 2 dt .
в) Представим получившийся интеграл в виде суммы 2-х
интегралов:
At M
At
M
t 2 q 2 dt t 2 q 2 dt t 2 q 2 dt .
В первом – внесем под знак дифференциала знаменатель,
At
t
d (t 2 q 2 ) A d (t 2 q 2 )
t 2 q 2 dt A t 2 q 2 2t 2 t 2 q 2
A
ln( t 2 q 2 ) C ;
2
Второй интеграл – табличный:
M
t
M
arctg C .
dt
2
2
q
q
t q
г) Вернемся к исходной переменной x .

5.

2. Интегрирование правильных
рациональных дробей
Pr ( x )
Пусть
Pn ( x )
– правильная рациональная дробь.
Запишем Pn(x) в виде произведения линейных и квадратичных
множителей:
Pn ( x) ( x a1 ) k1 ( x ai ) ki ( x 2 b1 x c1 )t1 ( x 2 bs x cs )ts , (2)
где D j b j 4c j 0 ,
2
j 1,2, , s

6.

ТЕОРЕМА .
Любая правильная рациональная дробь единственным
образом представима в виде суммы конечного числа
простейших рациональных дробей.
При этом между слагаемыми этой суммы и множителями в
разложении (2) имеет место следующее соответствие:
1) каждому множителю вида (x – a)k соответствует сумма
из k простейших дробей вида
Ak
A1
A2
2
x a ( x a)
( x a)k
где A1 , A2 , …, Ak – некоторые числа;
2) каждому множителю вида (x2 + bx + c)t соответствует
сумма из t простейших дробей вида
Bt x Ct
B1 x C1
B2 x C2
2
2
2
2
x bx c ( x bx c)
( x bx c) t
где B1 , B2 , …, Bt , C1 , C2 , …, Ct – некоторые числа.

7.

Разложение конкретной правильной рациональной дроби в
сумму простейших обычно производят методом неопределенных коэффициентов, который представляет собой
следующую последовательность действий:
1) записываем знаменатель Pn(x) в виде произведения
линейных и неразложимых квадратичных множителей;
2) записываем разложение дроби в сумму простейших с
неопределенными коэффициентами в числителях (по
теореме 1);
3) складываем простейшие дроби и приравниваем многочлен
Qr(x), получившийся в числителе, числителю исходной
дроби Pr(x);
4) из равенства Qr(x) = Pr(x), приравняв коэффициенты при
одинаковых степенях x многочленов Qr(x) и Pr(x),
получим систему r линейных уравнений для нахождения
r неизвестных коэффициентов.

8.

Замечание.
1) Систему для нахождения неизвестных коэффициентов можно
получить из равенства Qr(x) = Pr(x) и другим способом.
А именно, придавая x r конкретных значений, получим из
равенства
Qr(x) = Pr(x)
r
уравнений, связывающие
неизвестные коэффициенты.
Такой метод получения системы уравнений для нахождения
неизвестных коэффициентов называется методом частных
значений.
2) Разлагать правильную рациональную дробь в сумму
простейших не следует, если есть более простой способ
найти интеграл.
x 2 dx
Например, в интеграле
x3 4
лучше внести под знак дифференциала знаменатель.
xdx
В интеграле
x4 x2 1
лучше предварительно сделать замену переменной x2 = t .

9.

Интегрирование тригонометрических
выражений
(над
синусом
и
косинусом
проведены только рациональные
операции – сложение, вычитание,
умножение и деление)
Универсальная тригонометрическая подстановка:
tg(x/2) = t.
1.
R(sin x, cos x)dx
Выразим x и получим x 2arctgt dx
sin x
2t
1 t
2
cos x
1 t2
1 t
2
2 dt
1 t 2
Интеграл принимает вид:
R(sin x, cos x)dx R1 (t )dt
Сводится к вычислению интеграла от рациональной функции.
9

10.

Дифференциальный бином
Выражение вида x ( a bx ) ,
где (m,n,p,a,b) – const, называется дифференциальным биномом.
m
n p
Теорема. (Чебышева)
m
n p
x
(
a
bx
) dx (m,n,p ∈ Q) выражаются в конечном
Интегралы
виде через элементарные функции, если оказывается целым одно
из чисел:
1) p
Подстановка
x = ts
(s – наименьшее общее кратное m и n )
m 1
2)
n
Подстановка a bx
m 1
3)
p
n
a bx n s
t , где s – знаменатель p
Подстановка
n
x
n
t s, где s – знаменатель p
10