Интегрирование рациональных выражений (лекция 2)

1. Интегрирование рациональных выражений

Лекция 2

2. §5 Интегрирование рациональных дробей

Рациональная дробь есть отношение двух многочленов целой степени
Pn ( x) an x n an 1 x n 1 a2 x 2 a1 x a0
R( x)
Qm ( x) bm x m bm 1 x m 1 b2 x 2 b1 x b0 .
Если n<m, то дробь называется правильной. Если n≥m, то дробь
называется неправильной.
3x3 4 x 2 x 5
8x 3
3
x
2
x2 2x 1
x2 2x 1
2
x5 x 4 8
4
x
16 x 8
2
x
x
4
x3 4 x
x3 4 x

3.

Остановимся подрбно на вопросе интегрирования правильных рациональных
дробей.
Теорема. Каждая правильная дробь может быть единственным образом
представлена в виде суммы конечного числа простых дробей.
При этом разложение правильной дроби на простые дроби связано с
разложением знаменателя этой дроби на простые множители.
Схема интегрирования правильной рациональной дроби.
1. Знаменатель дроби раскладываем на простые множители, которых
существует четыре типа:
I- (x-a); II- (x-a)k ; III– (x2 + px+q); IV- (x2 + px+q)k
Частным случаем квадратных множителей могут быть множители вида
(x2 + a2) или (x2 + a2)k
При разложении используются формулы формулы сокращенного умножения:
x 2 a 2 x a x a ,
x3 a 3 x a x 2 ax a 2
x3 a 3 x a x 2 ax a 2 x 4 a 4 x a x a x 2 a 2

4.

Примеры разложения на множители:
x 6 1 ( x3 1)( x3 1) x 1 x 2 x 1 x 1 x 2 x 1 ,
( x 2 25)( x 2 4 x 5) x 5 x 5 x 1 x 5 x 5 x 1 x 5
2
Последний пример показывает, что после разложения на множители
возможно объединение нескольких одинаковых множителей I-го типа в один
множитель II- типа, что существенно при дальнейшем разложении дроби.
2. Рациональную дробь представляем в виде суммы простейших дробей,
причем, каждому из четырех простейших сомножителей в разложении знаменателя
соответствует определенный набор простейших дробей, что показано в таблице 1.
В таблице 2 приведены примеры разложения на простейшие слагаемые
конкретных правильных рациональных дробей. Все буквенные коэффициенты,
входящие в таблицы, называются неопределенными коэффициентами.
3. Находим неопределенные коэффициенты.
4. Проводим интегрирование каждого слагаемого.

5. Таблица 1

6. Таблица 2

7.

2
x5 x 4 8
4
x
16 x 8
2
dx x x 4 dx
dx
1.
3
3
x 4x
x 4x
3
2
x
x
2
4 x c1
x x 4 dx
3 2
Находим второй
интеграл
4 x 2 16 x 8
4 x 2 16 x 8
dx
dx
3
x 4x
x( x 2)( x 2)
4 x 2 16 x 8 A
B
C
A( x 2)( x 2) Bx( x 2) Cx( x 2)
x( x 2)( x 2) x x 2 x 2
x( x 2)( x 2)
4 x 2 16 x 8 A( x 2)( x 2) Bx( x 2) Cx( x 2)
(**)