Методы интегрирования. Непосредственное интегрирование

1.

Методы
интегрирования

2. Непосредственное интегрирование

Этот метод основан на применении свойств
неопределенного интеграла и тождественных
преобразований.
Пример.
dx
(sin 2 x cos 2 x)dx
dx
dx
sin 2 x cos 2 x sin 2 x cos 2 x
cos 2 x sin 2 x
tgx ctgx c

3. Внесение под знак дифференциала.

Этот метод основан на применении формулы f´(x)dx=df(x), которая
называется внесением под знак дифференциала. В частности,
1
u du
d (u n 1 ), n 1
n 1
du
dctgu
2
sin u
du
d ln u
u
du
darctgu darcctgu
2
1 u
n
a u du
1
da u
ln a
du
d u
2 u
du
dtgu
2
cos u
du
1 u
2
d arcsin u d arccos u
e du de
u
u
sinudu -dcosu
cosudu dsinu

4. Замена переменной

Этот метод основан на применении формул x=φ(t) или
t=φ(x), где t – новая переменная. Вычислив интеграл,
нужно вернуться к первоначальной переменной.
x
Пример. Вычислить (3x 1) 2 dx .
Обозначим 3x+1=t, откуда
Получаем
1
1
dx
dt.
x (t 1),
3
3
1
(t 1)
x
1
1 t 1
1 1 2
3
dx
dt
dt
t dt
(3x 1) 2 t 2 3 9 t 2
9 t
1
t 1
1
1
ln t c ln 3x 1
c
9
1
9
3x 1

5. Интегрирование рациональных функций

Дробно – рациональная функция
Простейшие рациональные дроби
Разложение рациональной дроби на простейшие
дроби
Интегрирование простейших дробей
Общее правило интегрирования рациональных
дробей

6. Дробно – рациональная функция

Дробно – рациональной функцией называется функция, равная
отношению двух многочленов:
Pm ( x )
f (x)
Qn ( x )
Рациональная дробь называется правильной,
если степень числителя меньше степени
знаменателя, то есть m < n , в противном
случае дробь называется неправильной.
Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления
числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена
L(x) и правильной рациональной дроби:
P( x )
R( x )
L( x )
Q( x )
Q( x )

7. Дробно – рациональная функция

x 5x 9
x 2
4
Привести неправильную дробь к правильному виду:
x 4 5x 9 x 2
3
2
4
3
4x 3
x
2x
x 2x
2x 5 x 9
2x 3 4 x 2
4x 2 5x 9
4x 2 8x
3x 9
3x 6
15
3
x 4 5x 9
x 2
15
3
2
x 2x 4 x 3
x 2

8. Простейшие рациональные дроби

Правильные рациональные дроби вида:
V
A
x a
A
x a
k
(k 2; k N )
Mx N
2
x px q
x
Mx N
2
px q
( p 2 4q 0)
k
( p 2 4q 0;
k 2; k N )
Называются простейшими рациональными дробями
, , , V типов.

9. Разложение рациональной дроби на простейшие дроби

P( x )
Теорема: Всякую правильную рациональную дробь
Q( x )
знаменатель которой разложен на множители:
,
Q( x ) ( x x1 ) ( x x2 )k ( x 2 p1x q1 )
( x 2 p2 x q2 )s
можно представить, притом единственным образом в виде суммы
простейших дробей:
B1
B2
Bk
A
P( x )
2
k
x x2 ( x x2 )
( x x2 )
Q( x ) x x1
Cx D
M1x N1
M 2 x N2
2
2
2
2
x p1x q1 x p2 x q2 ( x p2 x q2 )
M s x Ns
2
s
( x p2 x q2 )

10. Разложение рациональной дроби на простейшие дроби

Поясним формулировку теоремы на следующих примерах:
A
x2 4
B3
B1
B2
3
2
( x 2)( x 3)
x 2
x 3 ( x 3)
( x 3)3
Cx D
A1 A2
x3 3
2 2
2
2
x ( x 1)
x 1
x
x
M1x N1
M 2 x N2
A
7x 2 8x 9
2
2
2
2
x 4 x x 1 ( x x 1)2
( x 4)( x x 1)
Для нахождения неопределенных коэффициентов A, B, C, D…
применяют два метода: метод сравнивания коэффициентов и
метод частных значений переменной. Первый метод
рассмотрим на примере.

11. Разложение рациональной дроби на простейшие дроби

Представить дробь в виде суммы простейших дробей:
A 1 Bx3 xC 2
2x 3 x 3
2 2
2
( x 1)( x 2x 5) x x1 1 x x 2 x2 x5 5
2
A( x 2 2x 5) (Bx C )( x 1)
2
( x 1)( x 2x 5)
Ax 2 2Ax 5 A Bx 2 Cx Bx C 2 x 2 3 x 3
x2
x1
x
0
A B 2
A 1
2A C B 3
B 3
C 2
5 A C 3

12. Интегрирование простейших дробей

Найдем интегралы от простейших рациональных дробей:
A
d ( x a)
dx
A
A ln x a C
x a
x a
A
k
dx
A
x
a
d ( x a)
k
x a
A x a
k 1
k 1
C
Mx N
x 2 px q dx
Интегрирование дроби 3 типа рассмотрим на примере.

13. Интегрирование простейших дробей

3x 1
3x 1
x 2 2x 10 dx ( x 2 2x 1) 9 dx
x 1 t
3x 1
3(t 1) 1
dx x t 1
dt
2
2
( x 1) 9
t 9
dx dt
3t 2
t dt
dt
3 d t2 9
2
dt 3 2
2 2
2
t 9
t 9
t 9 2
t 9
2
t
2
t 3
2
arctg ln t 9 arctg C
3
3
3
3 2
3
2
x 1
2
ln x 2 x 10 arctg
C
2
3
3

14. Общее правило интегрирования рациональных дробей

Если дробь неправильная, то представить ее в виде суммы
многочлена и правильной дроби.
Разложив знаменатель правильной рациональной дроби на
множители, представить ее в виде суммы простейших дробей
с неопределенными коэффициентами
Найти неопределенные коэффициенты методом сравнения
коэффициентов или методом частных значений переменной.
Проинтегрировать многочлен и полученную сумму
простейших дробей.

15. Пример

Приведем дробь к
x 5 2x 3 4 x 4
dx
правильному виду.
3
2
x 2x x
x 5 2x 3 4 x 4 x 3 2 x 2 x
2
5
4
3
2x 5
x
x 2x x
2x 4 x 3 4 x 4
4
3
2
2x 4 x 2x
3
2
5 x 2x 4 x 4
3
2
5 x 10 x 5 x
8x 2 x 4
2
x 5 2x 3 4 x 4
8
x
x 4
2
x 2x 5 3
3
2
x 2x x
x 2x 2 x

16. Пример

8x 2 x 4 8x 2 x 4
A
B
C
3
2
2
x 2x x
x x 1 ( x 1)2
x( x 1)
A( x 1)2 Bx( x 1) Cx
x( x 1)2
A( x 1)2 Bx( x 1) Cx 8 x 2 x 4
x 0
A 4
A 4
x 1
C 3
B 12
C 3
x 1 4 A 2B C 5
2
8x x 4
4
12
3
3
2
x 2x x
x x 1 ( x 1)2

17. Пример

4 12
3
x 2x 5
dx
2
x x 1 ( x 1)
2
dx
dx
dx
x dx 2 xdx 5 dx 4 x 12 x 1 3 ( x 1)2
2
x3
3
2
x 5 x 4 ln x 12 ln x 1
C
3
x 1