Непосредственное интегрирование

1. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

ОСНОВНЫЕ
ОСНОВНЫЕМЕТОДЫ
МЕТОДЫИНТЕГРИРОВАНИЯ
ИНТЕГРИРОВАНИЯ
Непосредственное
интегрирование

2. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

ОСНОВНЫЕ
ОСНОВНЫЕМЕТОДЫ
МЕТОДЫИНТЕГРИРОВАНИЯ
ИНТЕГРИРОВАНИЯ
НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
- это нахождение интеграла путем
преобразования
подынтегральной
функции в сумму или разность функций
и переход к сумме или разности
табличных интегралов.

3. Пример 6. Найти неопределенный интеграл

Решение.
4
5
x dx
Вид подынтегральной функции можно менять
с помощью тождественных преобразований !!!
4 5
x dx
r
x
5
x 4d x
5
1
4
x
5
4
r 1
1
С
9
x4
9
4 x4
44 9
x С
С
С
9
9
9
4
x d x r 1 C , если r 1

4. Пример 7. Найти неопределенный интеграл

1
Пример 7. Найти неопределенный интеграл
x x 3 x 1 d x
функций
Решение. Неопределенный интеграл от суммы или разности
равен сумме или разности интегралов.
Но!!!
Неопределенный интеграл от произведения функций не равен
произведению интегралов.
Поэтому все тождественные преобразования подынтегральной функции
направлены на то, чтобы преобразовать произведение функций в суммы или
разности функций. Для этого нужно просто раскрыть скобки.
1
x x
1 d x
3 x
x
x
3 x x 3 x x d x
1 1
1
1 13
2 3
2
x x x
x d x
1
1
23
6
2
x x x x d x

5. Пример 7. (продолжение)

1
1
23
6
2
x x x x d x
Пример 7. (продолжение)
x
2
3
2
1
3
1
x2 x
2
1
1
1
6
6
1
x
5
x
1
2
5
3
1
1
2
С
1
2
7
6
3
2
x
x
x
7 3 С
2
6
2
3
5
3
7
6
3
2
3x
x2 6 x
2x
С
5
2
7
3

6.

Пример 8. Найти неопределенный интеграл
x x 2
dx
3 x
Решение. Неопределенный интеграл от суммы или разности функций
равен сумме или разности интегралов.
Но!!!
Неопределенный интеграл от отношения функций не равен
отношению интегралов.
Поэтому все тождественные преобразования подынтегральной функции
направлены на то, чтобы преобразовать отношение функций в суммы или разности
функций. В данном интеграле для этого нужно просто поделить почленно
числитель на знаменатель.
x x 2
3
x
x
x
2
d x
d x
3 x
3 x
3 x
1 1
1
1 13
x x 2 3 2 x 3 d x
1
1
23
6
3
d x
x
x
2
x

7. Пример 8. (продолжение)

x
1
1
23
x x 6 2 x 3 d x
2
1
3
2
3
1
x
5
x
1
6
5
3
3
5
3
1
1
6
2
1
x
7
7
6
3
x
2
7
6
x
2
1
1
3
1
3
2
3
3
С
1
С
2
3
3x
3x
3x С
5
7

8.

Пример 9. Найти неопределенный интеграл
e
x
2
x 2
dx
Решение. Неопределенный интеграл от суммы или разности функций
равен сумме или разности интегралов.
Поэтому все тождественные преобразования данной подынтегральной функции
направлены на то, чтобы преобразовать её в суммы или разности функций. Для
этого нужно просто раскрыть квадрат суммы.
e 2 d x e 2 e 2 2 d x
x
x
e 2 x 2 e2 2 2 x d x e 2 x d x 2 2e d x 2 2 x d x
x
x 2
x
e
2 x
2
x
x
x
2
dx 2 2e dx 4 d x
x
x
x
a
x
a dx ln a C
x
x
2e x
e
4x
e2
2e
4x
2
C
2 2 ln 2e ln 4 C
2
ln
2
1
2
ln
2
ln e
2 x
2e
e2 x
22 x
2
C
2
ln 2 1 2 ln 2
x

9. 5. Частное правило интегрирования.

Пусть известно, что
Тогда
f x d x F x C
1
f kx b d x F kx b C
k
Это правило упрощает вычисление многих неопределенных интегралов.
Например:
x 2 dx
3
x 2 4
4
C
4
7
x
2
7 x 2 3 dx 1
C
7
4
1
cos 2 x dx 2 sin 2 x C
e 3x 1dx 1 e 3x 1 C
3
4
x
x 3dx C
4
4
x
x dx C
4
cos
x
dx
sin
x
C
3
e x dx e x C

10.

1
1
2 x 3 dx 2 ln 2 x 3 C
1
1
1 2 x 3 2 dx 2 arctg 2 x 3 C
3
1
2 3x
dx
1
2 2 3x C
3
1 dx ln x C
x
1 dx arctg x C
1 x2
1 dx 2 x C
x
1 11x 2
11x 2 7 dx 11x 2 7 / 3dx C 11
10 / 3
10 / 3
1
dx 1 tg x C 2 tg x C
1
2
2
cos2 x
2
2
C
x 7 / 3dx
7 1
x3
10 / 3
1 dx tgx C
cos2 x
C

11.

Пример 9. (с использованием частного правила интегрирования)
Найти неопределенный интеграл
x
x 2
e
2
dx
Решение. Частное правило интегрирования позволяет быстрее найти
неопределенный интеграл в примере 9.
e
x
2
x 2
d x ........
2x
e dx 2
2e
1 2x
1 22 x
e 2
C
2
ln 2e 2 ln 2
x
2e
2e
1 2x
1 22 x
e 2
C
2
ln 2 1 2 ln 2
Для сравнения выпишем результат, полученный ранее.
x
d x 22 x d x
x dx e x C
e
x
a
x
a dx ln a C
x
2e
e2 x
22 x
2
C
2
ln 2 1 2 ln 2
x
1
f kx b d x F kx b C
k

12.

5.1 Другой
Другой способ
способ нахождения
нахождения интегралов
интегралов вида
вида
5.1
1
f kx b d x k F kx b C
Замечание. При частном способе интегрирования переменная интегрирования
х не изменялась!!!
Другой способ интегрирования наоборот предполагает
преобразование переменной интегрирования х к виду кх+b.
Переменную интегрирования при необходимости можно умножать
на любое ненулевое число к. При этом весь интеграл нужно поделить
1
на то же число к (или умножить на обратное число
).
к
К переменной интегрирования можно прибавлять или вычитать любое
число без всяких последствий.

13.

x 2
3
3
x
2
dx
x
2
d
x
2
4
4
C
4
x
x dx C
4
3
4
7
x
2
1 d 7 x 2 1 7 x 2 d 7 x 2 1
7
x
2
dx
7
x
2
C
7
7
7
4
3
3
cos 2 x dx 1 cos 2 x d 2 x 1 sin 2 x C
2
2
e
3
3x 1
dx 1
3
e
3x 1
d 3x 1 1 e 3x 1 C
3
1 dx 1
1 d 2 x 3 1 ln 2 x 3 C
2x 3
2 2x 3
2
cos x dx sin x C
1
1
1
1 arctg 2 x 3 C
dx
d
2
x
3
2 1 2 x 3 2
2
1 2 x 3 2
e x dx e x C
1 dx ln x C
x
1 dx arctg x C
1 x2

14. 7. Интегрирование некоторых дробей, содержащих квадратный трехчлен в знаменателе.

7. Интегрирование
Интегрирование некоторых
некоторых дробей,
дробей, содержащих
содержащих
7.
квадратный трехчлен
трехчлен вв знаменателе.
знаменателе.
квадратный
Вспомним процедуру выделения полного квадрата из квадратного трехчлена.
2
x 2 6 x 13 x 2 3 x 13 x 2 2 x 3 3 2 3 2 13
x 3 9 13 x 3 2 4
2
Пример 10. Найти неопределенный интеграл
Решение.
x
1
2
6 x 13
dx
x 3
1
2 4
dx
x
1
2
6 x 13
dx
x 3
1
dx arctg
C
2
2
2
4 x 3
1
dx 1 arctg x C
a2 x2 a
a

15.

Пример 12. Найти неопределенный интеграл
1
2
dx
x 6 x 13
2
Методическая
Методическая рекомендация:
рекомендация: если
если вв квадратном
квадратном трехчлене
трехчлене коэффициент
коэффициент при
при хх2 не
не
равен
равен 1,
1, то
то выгодно
выгодно вынести
вынести его
его за
за скобку
скобку ии выделять
выделять полный
полный квадрат
квадрат уже
уже внутри
внутри
скобок.
скобок.
Решение. Выпишем только квадратный трехчлен, стоящий под квадратным корнем и
выделим в нем полный квадрат.
x 2 6 x 13 x 2 6 x 13 x 2 2 3 x 9 9 13
x 3 2 22 22 x 3 2
Вычислим интеграл:
dx
arcsin x C
a
a2 x2

16.

Практика показывает, что процедура выделения полного квадрата из квадратного
трехчлена очень трудоемка, если коэффициент при х2 отличен от единицы. Есть способ
проще.
Пример 11
Решение.
Тогда
1
dx
2
5x 6 x 13
x0 6 3 ;
2 5 5
y0
2
6 4 5 13
4 5
2
5x 6 x 13 5 x 3 56
5
5
2
36 260 224 56
20
20
5

17.

1
dx и запишем квадратный трехчлен в
Вернемся к интегралу у 2
знаменателе в новом виде. 5x 6 x 13
1
1
1
1
1
dx
dx
dx
2
2
2
5
5
56 x 3
x 3 56
5 x 3 56
5
5
5
25
25
5
x 3
5
1
1 1 arctg
1 arctg 5x 3 C
1
dx
C
2
5 56 2
5 56
56
56
56
3
x
5
5
5
5
1
dx
2
5x 6 x 13
Использовали табличный интеграл
и частное правило интегрирования
dx 1 arctg x C
a2 x2 a
a
1
f kx b d x F kx b C
k

18. 8. Интегрирование некоторых тригонометрических функций.

8. Интегрирование
Интегрирование некоторых
некоторых тригонометрических
тригонометрических функций.
функций.
8.
Тригонометрические формулы, используемые при вычислении интегралов.
Универсальная
тригонометрическая единица
Формулы, преобразующие произведение
тригонометрических функций в сумму либо
разность
Формулы понижения степени
Формулы двойного угла

19.

Пример 13. Найти неопределенный интеграл
sin 2 3x d x
Решение. Вызовем нужную тригонометрическую формулу.
1 cos 2
sin
2
2
Вычислим интеграл:
sin 3x d x
2
1 cos 6 x
d x 1 1 cos 6 x d x 1 1 d x cos 6 x d x
2
2
2
1 x 1 sin 6 x С 1 x 1 sin 6 x 1 С
2
6
2
6
2
1 x 1 sin 6 x С, где С 1 С
2
6
2

20.

Пример 14. Найти неопределенный интеграл
Решение.
sin 2
1 cos 2
2
2 sin 2 1 cos 2
2
dx
1 cos 3 x
2
dx
1 cos 3x
1 cos 2 x 2 sin 2 x
2
2 sin
2 3x
2
1
3
dx
ctg x C
2 3
3/ 2
2
sin x
2
dx
dx
2
3
ctg x C
3 2
ctg
x
C
2
sin x

21. Пример 15. Найти неопределенный интеграл

sin 2 x 1 cos 5x d x
Решение. Вызовем подходящую тригонометрическую формулу.
1
sin cos sin sin
2
С её помощью преобразуем подынтегральную функцию:
sin 2 x 1 cos 5x d x 1 sin 2 x 1 5x sin 2 x 1 5x
2
1
1
sin 7 x 1 sin 3x 1
2
2
sin 7 x 1 dx sin 3x 1 dx
1 1
1
cos 7 x 1
cos 3x 1 C
2 7
3
1
1
cos 7 x 1 cos 3x 1 C
14
6

22.

ПРЕЗЕНТАЦИЯ ЗАКОНЧЕНА.
СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ.
Степанова Наталия Вадимовна,
к.ф.-м. н., доцент кафедры математики ВоГУ