Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование тригонометрических функций

1. Математика ППИ. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Лекция № 12 (продолжение).

Метод интегрирования по
частям в неопределенном
интеграле. Интегрирование
тригонометрических функций.

2. Цели и задачи:

Изучить основные методы
интегрирования: интегрирование
рациональных дробей,
интегрирование некоторых классов
тригонометрических и
иррациональных функций.

3. ВОПРОСЫ ЛЕКЦИИ №12

1.
Метод интегрирования по
частям.
2. Интегрирование некоторых
классов тригонометрических
функций.

4. Литература

[1] Н.С. Пискунов. Дифференциальное и
интегральное исчисления. Т 1. Москва:
Интеграл-Пресс, 2004, с. 340-375.
[3] Б.П. Демидович, В.А. Кудрявцев.
Краткий курс высшей математики. Москва:
Издательство АСТ, 2004, с. 229-250.

5.

УЧЕБНЫЙ ВОПРОС .
Интегрирование
некоторых классов
тригонометрических
функций

6.

Рассмотрим интеграл вида
sin
x
cos
x
,
m
a)
n
m и n - неотрицательные и по крайней мере
одно из них является нечётным. Пусть n –
нечётное, т.е. n=2p+1. Тогда
sin
m
x cos x dx sin x cos
n
sin x 1 sin x
m
2
m
p
2p
x cos xdx
sin x t
m
2 p
cos xdx
t 1 t dt.
cos xdx dt

7.

б) б) m и n - неотрицательные чётные, т.е.
n=2p, m=2q. Тогда
1 cos 2 x 1 cos 2 x
sin x cos xdx 2 2 dx.
Возведя в степень и раскрыв скобки,
получим слагаемые, содержащие cos 2x
в чётных и нечётных степенях. Члены с
нечётными степенями интегрируются, как
указано в случае а), чётные показатели
снова понижаются по тем же формулам.
p
2p
2q
q

8.

Вторая разновидность интегралов имеет
вид:
sin x t ,
R sin x cos x dx cos x dx dt R t dt.
или
Cos x t ,
R Cos x Sin x dx Sin x dx dt R t dt.
Третья разновидность интегралов
tg x t ,
dt
R tg x dx x arctgt, dx dt R t 1 t 2 .
2
1 t

9.

1
1
2
tg
x
t
,
Cos
x
2
2
1 tg x 1 t
2
2
2
tg x
t
dt
, dx
Sin x
2
2
2
1 tg x 1 t
1 t
t2 1
R
,
2
2
1 t 1 t
m
2
n
2
dt
.
2
1 t

10.

Пример.
dt
tgx t , dx
dx
1 t2
2 Sin 2 x 2 t 2
2
Sin
x
1
t
1 t2
dt
t2
2
2
1 t
dt
2
2
2
t
1 t2
1 t2
dt
1
t
1
tgx
arctg
c
arctg
C.
2
2 t
2
2
2
2

11. Универсальная тригонометрическая подстановка

Всякий интеграл от рациональной функции
вида
R sin x, cos x dx
может быть сведён к интегралу от
рациональной функции.
Для этого используется подстановка
x
tg t
2
называемая универсальной
тригонометрической подстановкой.

12.

2tg 2x
1 tg 2
x
2t
t tg ; Sin x
; Cos x
2 x
2
2
1 tg 2 1 t
1 tg 2
x
2
x
2
1 t2
;
2
1 t
x
2 dt
arc tg t , x 2arc tg t , dx
2
1 t2
2t
x
tg 2 t , sin x 1 t 2 ,
R sin x, cos x dx
2
1 t
2dt
cos
x
,
dx
2
1 t
1 t 2
2t 1 t 2dt
R
,
.
2
2
2
1 t 1 t 1 t
2

13.

Пример.
2dt
x
tg t , dx
2
dx
2dt
2
1 t
sin x
2t
2t
2
1
t
sin x
2
2
1 t
1 t
dt
x
ln t c ln tg C.
t
2

14.

Рассмотрим интегралы вида
Cos mx Cos n xdx
Cos mx Sin n xdx
Sin mx Sin n xdx
Для их вычисления используют
тригонометрические формулы
1
Cos m x Cos n x Cos m n x Cos m n x ,
2
1
Sin m x Sin n x Cos m n x Cos m n x ,
2
1
Cos m x Sin n x Sin m n x Sin m n x .
2

15.

Пример.
1
1
1
Cos 3x Cos2 xdx 2 Cosx Cos5x dx 2 Sinx 10 Sin5x С.

16. Задание на самостоятельную работу

[1] Н.С. Пискунов. Дифференциальное и
интегральное исчисления. Т 1. Москва: ИнтегралПресс, 2004, с. 340-375.
[3] Б.П. Демидович, В.А. Кудрявцев. Краткий
курс высшей математики. Москва: Издательство
АСТ, 2004, с. 229-250.
Выучить таблицу основных интегралов.

17. Математика ППИ. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Лекция № 13 .

Интегрирование дробнорациональных функций,
иррациональных функций.
Тригонометрические
подстановки.

18. ВОПРОСЫ ЛЕКЦИИ №13

1.
Интегрирование
рациональных дробей.
2.Интегрирование некоторых
классов иррациональных
функций

19.

УЧЕБНЫЙ ВОПРОС.
Интегрирование
рациональных дробей

20.

Определение. Дробно- рациональной
функцией или просто рациональной
дробью называется функция, равная
частному от деления двух многочленов
Pn x
R x
Qm x
здесь Pn x - многочлен степени n,
Qm x - многочлен степени m.

21.

22.

23.

24.

25. Интегрирование простейших рациональных дробей

Различают четыре типа простейших
рациональных дробей:
А
A
1.
2.
n 2, 3, ...
n
x a
x a
3.
Mx N
;
2
x px q
4.
x
Mx N
2
px q
n
n 2, 3, ...
При этом A, a, M,N, p, q – действительные
2
числа, многочлен x px q не имеет
вещественных корней.

26.

Интегрирование простейших дробей I и
II типов:
I.
II.
Adx
d x a
x a A x a A ln x a С
A dx
A
n
x a n A x a d x a 1 n x a n 1 С

27. Интегрирование простейшей дроби III типа

5x 3
dx.
Пример. Найти интеграл 2
х 2х 5
2
d
(
x
2 x 5) (2 x 2)dx
Решение.
5
5x 5 8
5 2 x 2 dx
2 2 x 2 8
х 2 2 х 5 dx х 2 2 х 5 dx 2 х 2 2 х 5
dx
5 d x2 2 x 5
dx
5
8 2
2
8 2
ln х 2 2 х 5
х 2х 5 2 х 2х 5
( х 2 х 1) 6 2
8
d x 1
x 1
2
6
2
5
8
x 1 6
ln х 2 2 х 5
ln
С.
2
2 6 x 1 6

28.

Теорема. Правильную рациональную
дробь Pn x , где Q x x a k x b ... x2 px q s
Qm x
можно единственным образом
разложить в сумму простейших дробей:
Ak
B
A1
A2
B1
B2
P x
...
...
2
k
2
Q x x a x a
x a x b x b
x b
...
M1x N1
M 2 x N2
M s x Ns
...
x 2 px q x 2 px q 2
x 2 px q
s
где Ai , Bi , M i , N i - действительные
числа .

29. Метод неопределённых коэффициентов.

Рассмотрим случай, когда корни знаменателя
действительные и различные, т.е. рассмотрим
правильную дробь: Pn x
Pn x
Qm x
x a x b ... x d
Данную дробь можно разложить на
простейшие дроби I типа следующим образом
Pn x
A
B
D
...
,
Qm x x a x b
x d
Отметим, что неизвестные коэффициенты A, B,..., D
простейших дробей можно найти и методом
сравнения коэффициентов, который состоит в
следующем:

30.

1. Дроби справа приводят к общему
знаменателю.
2. Приравнивают числители дробей слева и
справа, раскрывают скобки и записывают
многочлен в правой части по убывающим
степеням .
3. Приравнивая друг другу коэффициенты
многочленов левой и правой части при
одинаковых степенях , получим систему
уравнений для определения
коэффициентов.

31.

x2 3
3
2
x x 6x
на простейшие и проинтегрировать.
Пример. Разложить дробь
x2 3
x2 3
x2 3
3
2
2
x x 2 x 3
x x 6x x x x 6
x 3
A
B
C
x x 2 x 3 x x 2 x 3
2
x2 3
А( х 2)( х 3) Bх( х 3) Сх( х 2)
x x 2 x 3
х( x 2)( х 3)

32.

x 2 3 х 2 ( A В С ) x А 3В 2С ( 6 А)
x0 :
3 6 A,
A 0,5;
x1 :
0 А 3 B 2С ,
x2 :
1 А В C,
B 0,8;
C 0,7
x2 3
0,5 0,8
0,7
3
2
x
x 2 x 3
x x 6x
2
x
3
dx
dx
dx
Итак,
x 3 x 2 6 x dx 0,5 x 0,8 x 2 0,7 x 3
0,5 ln x 0,8 ln x 2 0,7 ln x 3 C

33.

УЧЕБНЫЙ ВОПРОС.
Интегрирование некоторых
классов иррациональных
функций

34. Интегрирование некоторых классов иррациональных функций

С
помощью тригонометрических
подстановок интегралы от
некоторых иррациональных
функций приводятся к интегралам
от функций, рационально
зависящих от тригонометрических
функций

35.

2
2
x a Sin t
R x, a x dx x a Cos t .
2
x a tg t
R x, a x dx x a ctg t .
2
a
x
2
2
cos
x
R x, x a dx x a .
sin x

36.

Пример. Найти
1 x
dx
4
x
2
1
1
2
x
tgt
,
dx
dt
1
tg
t
1 x
dt
Cos
t dt
2
dx
4
Cos t
4
4
2
2
x
tg t
Cos t
tg t Cos t
t arctgx
2
3
Cos 4t
Cos t dt
Sin
t
4
dt
Sin t d Sin t
C
4
3
4
Sin t Cos t
Sin t
3
1
1
C
C.
3
3
3Sin t
3 Sin arctgx

37. Интеграл

38. Интеграл более общего вида

39. Пример.

2

40. Интегрирование дифференциального бинома

41.

дробное

42.

43. Пример.

44.

45. Тригонометрические подстановки

С помощью тригонометрических подстановок
интегралы от некоторых иррациональных
функций приводятся к интегралам от функций,
рационально зависящих от тригонометрических
функций:
А R x, a x
Б R x, a x
2
2
2
2
x a Sin t
dx.
.
x a Cos t
x a tg t
dx
.
x a ctg t

46.

В
a
x
cos
t
2
2
R
x
,
x
a
dx
.
x a
sin t

47.

Пример.
1
x
tgt
,
dx
dt
1 x
2
dx
Cos t
4
x
t arctgx
2
dt
1 tg t dt
4
2
2
tg t
Cos t
tg t Cos t
2
1
Cos t
4

48.

Далее (потерян минус в последнем слагаемом):
4
cos t
cos t dt
4
dt
3
4
sin t cos t
sin t
3
sin t
4
sin t d sin t
C
3
1
1
C
C.
3
3
3sin t
3sin arctg x

49.

Пример.
x 1 dx
2
Можно проинтегрировать по частям:
u x 1, du
2
dv dx, v x
x
x 1
2
dx

50. Пример.

x 2 1 dx x x 2 1
x x2 1
x x2 1
x2 1 1
x2
x 1
2
dx
dx
x 1
x2 1
1
dx 2
dx
2
x 1
x 1
2
x x 2 1 x 2 1dx ln x x 2 1

51.

x2 1dx x x2 1 x2 1dx ln x x 2 1
2 x 2 1dx x x 2 1 ln x x 2 1 С
x 2
1
x 1dx
x 1 ln x x 2 1 С
2
2
2

52.  

53.

54.

55.

Понятие об интегралах, не берущихся в
элементарных функциях
Как мы видим, в дифференциальном
исчислении, производная от любой
элементарной функции есть функция
элементарная. Другое дело операция,
обратная дифференцированию, интегрирование. Можно привести
многочисленные примеры таких
элементарных функций, первообразные от
которых хотя и существуют, но не являются
элементарными функциями.

56.

Так, например, хотя по теореме
существования для функций
e
x2
Sin x Cos x
1
;
;
;
;
x
x
ln x
1 k 2 Sin 2 x dx
существуют первообразные, но они не
выражаются в элементарных функциях. Несмотря
на это, все эти первообразные хорошо изучены и
для них составлены подробные таблицы,
помогающие практически использовать эти
функции. В дальнейшем мы познакомимся с
методами вычисления значений таких функций

57.

Заключение.
В заключение отметим, что
рассмотренные методы и приёмы
интегрирования не исчерпывают всех
классов аналитически интегрируемых
элементарных функций. В то же время из
всего изложенного следует, что техника
интегрирования сложнее по сравнению с
дифференцированием. Необходимы
навыки и изобретательность, которые
приобретаются на практике в результате
решения большого числа примеров

58. Контрольные вопросы:

1. В чем заключается метод
интегрирования рациональных
дробей?
2. Универсальная тригонометрическая
подстановка.

59. Задание на самостоятельную работу

[1] Н.С. Пискунов. Дифференциальное и
интегральное исчисления. Т 1. Москва: ИнтегралПресс, 2004, с. 340-375.
[3] Б.П. Демидович, В.А. Кудрявцев. Краткий
курс высшей математики. Москва: Издательство
АСТ, 2004, с. 229-250.
Выучить таблицу основных интегралов.