Неопределенный интеграл. Основные свойства. Непосредственное интегрирование. (Семинар 13)

1. Семинар 13. Неопределенный интеграл. Основные свойства. Непосредственное интегрирование.

Основные свойства
неопределенного интеграла

2.

Свойства вытекают из определения неопределенного интеграла
,
1.
Дифференциал неопределенного интеграла равен
подынтегральному
выражению, а производная неопределенного интеграла равна
подынтегральной функции.
Имеем
d f ( x)dx f ( x)dx и
f ( x)dx ' f ( x)
2.Неопределенный интеграл от дифференциала непрерывно
дифференцируемой функции равен самой этой функции
с точностью до постоянного слагаемого.
3.Отличный от нуля постоянный множитель можно выносить за знак
интеграла. То есть, если A 0 то Af ( x) dx A f ( x) dx
4.Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного
числа непрерывных функций равен такой же алгебраической сумме
неопределенных интегралов от этих функций, то есть,
если f(x),g(x),h(x) – непрерывны в интервале (a,b), то
[ f ( x) g ( x) h( x)]dx f ( x)dx g ( x)dx h( x)dx
при
x ( a, b)

3.

Таблица простейших неопределенных интегралов
Имеем соотношения dF ( x) f ( x)dx f ( x)dx F ( x) c
Обобщая формулу дифференцирования, получим
№ п/п
1
2
3
4
Дифференциал
x m 1
m
d
m 1
x dx
d (ln x )
dx
x
Неопределенный интеграл
x m 1
x dx m 1 c
m
dx
ln x c
x
d (e x ) e x dx
e
ax
d
ln a
ax
a dx ln a c
x
a dx
x
dx e x c
x
5
d (sin x) cos xdx
cos xdx sin x c
6
d ( cos x) sin xdx
sin xdx cos x c
7
d (tgx)
dx
cos 2 x
dx
cos
2
x
tgx c

4.

8
d ( ctgx)
dx
sin 2 x
9
d (arcsin x) d ( arccos x)
10
d (arctgx) d ( arcctgx)
11
1 x2
dx
sin 2 x ctgx c
dx
1 x 2 arcsin x c arccos x c
dx
1 x2
dx
1 x 2 arctgx c arcctgx c
dx
dx
1
1 x
1 x 2 2 ln 1 x c
12
dx
1
x 1
ln
c
2
x 1
x 2 1
13
dx
x2 a
ln x
14
shxdx chx c
15
chxdx shx c
x2 a c

5.

Отметим ряд преобразований дифференциала, полезных для вычисления
неопределенных интегралов:
1)
dx d ( x b), b const
2) dx 1 d ( ax ), a 0
a
1
dx d (ax b), a 0, b const
a
1
d (x2 )
4) x dx
2
3)
5) sinxdx=-d(cosx)
6) cosxdx=d(sinx)
В общем случае f’(x)dx=d(f(x))
Непосредственное интегрирование предполагаем применение основных
свойств неопределенных интегралов, свойств дифференциалов и применение
табличных интегралов.

6.

2.
3.
1.
4.
5.
6.
Примеры с решениями
1
.
dx
1 d (ax b) 1
ax b a ax b a ln ax b c(a 0)
3
2
( x 2)
2
c
( x 2) x 2 c
3
3
2
1
1
sin
5
xdx
sin
5
xd
(
5
x
)
cos 5 x c
3.
5
5
1
2
2.
x 2dx ( x 2) d ( x 2)
4.
xdx
1 d ( x 2 1)
1
2
ln(
x
1) c
2
2
2
x 1 2
x 1
5. tgxdx
6.
sin x
d cos x
dx
ln cos x c
cos x
cos x
dx
1
2
x 4
2
x
d
1
x
2
arctg
c
2
2
2
x
1
2

7.

7.
8.
9.
x
dx
3 x2
dx
x 2 1
xe
x2
d
1
dx
x2 1
1
x2
x
3
x
3
2
arcsin
1
d
x
1
1
x
2
x
c
3
arcsin
1
c
x
1
1 x2
x2
2
dx e d ( x )
e c
2
2
Примеры для самостоятельного решения
dx
2 1 x2
2 x4
1
2
2
1) x x dx;2) 5 ;3)
dx;4)
dx
;
5
)
tg
xdx
;
6
)
(
x
)
dx
;
7
)
x
cos(
x
)dx
2
2
1 x
x
1 x
dx
8)
;9) sin x cos xdx;10) cos(sin x) cos xdx
x ln x