Интегрирование рациональных функций
Дробно – рациональная функция
Дробно – рациональная функция
Простейшие рациональные дроби
Разложение рациональной дроби на простейшие дроби
Разложение рациональной дроби на простейшие дроби
Разложение рациональной дроби на простейшие дроби
Интегрирование простейших дробей
Интегрирование простейших дробей
Общее правило интегрирования рациональных дробей
Пример
Пример
Пример
759.00K
Category: mathematicsmathematics

Интегрирование рациональных функций

1. Интегрирование рациональных функций

Дробно – рациональная функция
Простейшие рациональные дроби
Разложение рациональной дроби на простейшие
дроби
Интегрирование простейших дробей
Общее правило интегрирования рациональных
дробей

2. Дробно – рациональная функция

Дробно – рациональной функцией называется функция, равная
отношению двух многочленов:
Pm ( x )
f (x)
Qn ( x )
Рациональная дробь называется правильной,многочлен
если степень
степени m
числителя меньше степени знаменателя, то есть m < n , в
многочлен степени n
противном случае дробь называется неправильной.
Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления
числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена
L(x) и правильной рациональной дроби:
P( x )
R( x )
L( x )
Q( x )
Q( x )

3. Дробно – рациональная функция

x 5x 9
x 2
4
Привести неправильную дробь к правильному виду:
x 5x 9 x 2
3
2
4
3
4x 3
x
2x
x 2x
4
2x 5 x 9
2x 3 4 x 2
4x 2 5x 9
4x 2 8x
3x 9
3x 6
15
3
x 4 5x 9
x 2
15
3
2
x 2x 4 x 3
x 2

4. Простейшие рациональные дроби

Правильные рациональные дроби вида:
V
A
x a
A
k
x a
(k 2; k N )
Mx N
2
x px q
x
Mx N
2
px q
( p 2 4q 0)
k
( p 2 4q 0;
k 2; k N )
Называются простейшими рациональными дробями
, , , V

5. Разложение рациональной дроби на простейшие дроби

Разложение рациональной дроби на
P( x )
простейшие
дробирациональную дробь
Теорема:
Всякую правильную
,
знаменатель которой разложен на множители:
Q( x )
Q( x ) ( x x1 ) ( x x 2 )k ( x 2 p1x q1 )
( x 2 p2 x q2 )s
можно представить, притом единственным образом в виде суммы
простейших дробей:
A
B1
B2
Bk
P( x )
2
x x2 ( x x2 )
( x x 2 )k
Q( x ) x x1
Cx D
M1x N1
M 2 x N2
2
2
2
2
x p1x q1 x p2 x q2 ( x p2 x q2 )
M s x Ns
2
( x p2 x q2 )s

6. Разложение рациональной дроби на простейшие дроби

Поясним
формулировку
теоремы на следующих примерах:
A
x2 4
B1
B2
B3
3
2
( x 2)( x 3)
x 2
x 3 ( x 3)
( x 3 )3
Cx D
A1 A2
x3 3
2 2
2
2
x ( x 1)
x 1
x x
M1x N1
M 2 x N2
A
7x 2 8x 9
2
2
2
2
2
( x 4)( x x 1)
x
x
1
(
x
x
1
)
x 4
Для нахождения неопределенных коэффициентов A, B, C, D…
применяют два метода: метод сравнивания коэффициентов и
метод частных значений переменной. Первый метод
рассмотрим на примере.

7. Разложение рациональной дроби на простейшие дроби

Представить
дробь в виде
суммы простейших дробей:
A 1 Bx3 xC 2
2x 3 x 3
2 2
2
( x 1)( x 2 x 5) x x1 1 x x 2 x2 x5 5
2
A( x 2 2 x 5) (Bx C )( x 1)
2
дроби
( x 1)( x Приведем
2 x 5простейшие
)
к общему знаменателю
Ax 2 2 Ax 5 A Bx 2 Cx Bx C 2 x 2 3 x 3
x
2
x1
x
0
Приравняем числители
получившейся и исходной
дробей
A B 2
A 1
2 A C B 3
B 3
коэффициенты
C 2
5 A C Приравняем
3
при одинаковых степенях х

8. Интегрирование простейших дробей

Найдем интегралы от простейших рациональных дробей:
A
d ( x a)
dx
A ln x a C
A
x a
x a
A
k
dx
A x a d ( x a)
k
x a
A x a
k 1
k 1
C
Mx N
x 2 px q dx
Интегрирование дроби 3 типа рассмотрим на примере.

9. Интегрирование простейших дробей

3x 1
3x 1
x 2 2x 10 dx ( x 2 2x 1) 9 dx
x 1 t
3x 1
3(t 1) 1
dx x t 1
dt
2
2
( x 1) 9
t 9
dx dt
3t 2
t dt
dt
3 d t2 9
2
dt 3 2
2 2
2
t 9
t 9
t 9 2
t 9
2
t
2
t 3
2
arctg ln t 9 arctg C
3
3
3
3 2
3
2
x 1
2
ln x 2 x 10 arctg
C
2
3
3

10. Общее правило интегрирования рациональных дробей

Если дробь неправильная,
то представить ее в виде суммы
многочлена и правильной дроби.
Разложив знаменатель правильной рациональной дроби на
множители, представить ее в виде суммы простейших дробей
с неопределенными коэффициентами
Найти неопределенные коэффициенты методом сравнения
коэффициентов или методом частных значений переменной.
Проинтегрировать многочлен и полученную сумму
простейших дробей.

11. Пример

Приведем дробь к
x 5 2x 3 4 x 4
dx
правильному виду.
3
2
x 2x x
x 5 2x 3 4 x 4 x 3 2x 2 x
2
5
4
3
2x 5
x
x 2x x
2x 4 x 3 4 x 4
4
3
2
2x 4 x 2x
3
2
5 x 2x 4 x 4
5 x 3 10 x 2 5 x
2
8x x 4
2
x 5 2x 3 4 x 4
8
x
x 4
2
x 2x 5 3
3
2
x 2x x
x 2x 2 x

12. Пример

8x x 4 8x 2 x 4
A
B
C
3
2
2
x 2x x
x x 1 ( x 1)2
x ( x 1)
2
A( x 1)2 Bx ( x 1) Cx
x ( x 1)2
Представим дробь в виде
2
2
простейших
A( x 1)Разложим
Bx (знаменатель
x суммы
1) Cx
8 xдробей
x 4
x 0
правильной дроби на
множители
A 4
A 4
x 1
C 3
B 12
Найдем неопределенные
C 3
x 1 4коэффициенты
A 2B Cметодом
5
2частных значений переменной
8x x 4
4
12
3
3
2
2
x 2x x
x x 1 ( x 1)

13. Пример

4 12
3
x 2x 5
dx
2
x x 1 ( x 1)
2
dx
dx
dx
x dx 2 xdx 5 dx 4 x 12 x 1 3 ( x 1)2
2
x3
3
2
x 5 x 4 ln x 12 ln x 1
C
3
x 1
English     Русский Rules