Интегрирование рациональных функций

1.

Математический анализ
2 семестр
Лекция 2
Интегрирование рациональных функций.
Интегрирование рациональных дробей.
Интегрирование тригонометрических функций.
1

2.

Интегрирование рациональных функций
Определение.
P x
Функция вида
, где P x и Q x - два многочлена,
Q x
называется рациональной ф уннкцией
( рациональной дробью) .
Рациональная дробь называет ся правильной,
если степень P x строго меньше степени Q x .
2

3.

Интегрирование рациональных функций
Ут верждение.
Любую рациональную дробь можно представить в виде
суммы многочлена и правильной дроби.
P x
P1 x
R x
,
Q x
Q x
P1 x
R x - многочлен,
- правильная.
Q x
Такое разложение можно получить делением уголком.
3

4.

Пример
x5 2 x 4 x3
2
x2
x5
2 x 4 x3 x 2
x5 2 x 4 x3 2
?
3
x 1
x3 1
x2 2x 1
2
2x
2x4
x3 x 2 2 x 2
x3
1
x2 2 x 1
2
x5 2 x 4 x3 2
x
2x 1
2
x 2x 1
3
x 1
x3 1
4

5.

Разложение дроби на элементарные
Элементарными дробями называются дроби вида
A
1.
, где A, a - константы
x-a
A
2.
, k 2,3,...
k
x a
3.
Ax B
, где знаменатель не имеет действительных
2
x px q
корней p 2 4q 0 ,
4.
Ax B
x px q
2
,
k
A, B, p, q - константы.
k 2,3,..., p 2 4q 0
5

6.

Разложение дроби на элементарные
Следствие. Любая правильная дробь может быть разложена в сумму
элементарных дробей
P( x )
k
n
2
m
2
l
( x a ) ( x b) ...( x px q) ( x rx s ) ...
A
A2
Ak
1
...
2
k
x a ( x a)
( x a)
B1
B2
Bn
...
...
2
n
x b ( x b)
( x b)
C1 x D1
C2 x D2
Cm x Dm
2
2
... 2
2
m
x px q ( x px q)
( x px q)
E1 x F1
E2 x F2
El x Fl
2
2
... 2
...
2
l
x px q ( x px q)
( x px q)
6

7.

Интегрирование элементарных дробей
d x a
A
1.
dx A
A ln x a C
x a
x a
2.
A
x a
k
dx A x a
A
1 k x a
k 1
C,
A x a
d x a
k 1
k 1
k
C
k 2,3,...
7

8.

Интегрирование элементарных дробей
Ax B
A
2x p
Ap
dx
3. 2
dx 2
dx B
2
x px q
2 x px q
2 x px q
A
Ap
ln x 2 px q B
2
2
dx
A
2
ln
x
px q
2
2
p
p
p
2
x2 2 x
q
2
4
4
p2
Заметим, что q 0
Ap
dx
4
B
2
2
2
2
p
p
p
2
q
a
0
x
q
2
4
4
p
d x
A
Ap
2
ln x 2 px q B
J
2
2
2
2
p
p
x
q
2
4
8

9.

Интегрирование элементарных дробей
Продолжение 3.
Т.к.
dt
1
dt
1 d t a
1
t
t 2 a 2 a 2 1 t a 2 a 1 t a 2 a arctg a C
То
p
d x
A
Ap
2
J ln x 2 px q B
2
2
2
2
p
p
x
q
2
4
A
Ap
2
ln x px q B
2
2
1
q
2
p
4
arctg
x p 2
q
2
C
p
4
9

10.

Интегрирование рациональных функций
10

11.

Интегрирование рациональных функций
11

12.

12

13.

13

14.

14

15.

Разложение дроби на элементарные
15

16.

Интегрирование тригонометрических функций
Пусть дан интеграл вида
R sin x,cos x dx
x
2dt
t tg - универсальная подстановка; x 2arctg t; dx
2
1 t2
x
x
x 2x
2t
x
2 x
sin x 2sin cos 2 tg cos 2 tg 1 tg
2
2 1 t2
2
2
2
2
x
1 t2
2 x
cos x cos sin
2
2 1 t2
2t 1 t 2 2dt
I R
,
2
2
2
1
t
1
t
1
t
2
16

17.

Интегрирование тригонометрических функций
17

18.

Интегрирование тригонометрических функций
18

19.

Пример
dx
3 sin x
x
t tg ,
2
2dt
,
dx
2
1 t
dt
2 2
3t 2t 3
3u
1
C
arctg
2 2
2
x 2arctg t ;
sin x
2t
1 t2
1
d t
2
3
3 1 2 8
t
3 9
2dt
2t 1 t 2
3
1 t2
1
2
3
du
2 2
u
3
2
2
x
3tg 1
1
2
C.
arctg
2 2
2
19

20.

Полезные формулы
20

21.

Пример
Рассмотрим
dx
sin x cos x
2
.
Подынтегральная ф ункция не меняет знак при
одновременной замене
sin x на sin x и cos x на cos x.
Воспользуемся подстановкой tg x t
dx
sin x cos x
dt
t 1
2
2
dx
cos x tg x 1
1
C.
t 1
2
2
d tg x
tg x 1
2
21

22.

Пример
dx
dx
2sin 2 3x 3cos2 3x 1 cos2 3x 2 tg 2 3x 3 1 tg 2 3x
3
d
t
1 d tg 3 x
1
dt
1 2
1
du
2
2
2
2
3 3tg 3 x 2 3 3t 2 2 3 3 3 t 2 1 3 6 u 1
2
u 1
1
ln
C
ln
6 6 u 1
6 6
1
3
tg 3 x
t 1
1
2
C
ln
3
6 6
t 1
tg 3 x
2
2
3 C
2
3
22

23.

Пример
cos3 x
Рассмотрим 7 dx.
sin x
Подынтегральная ф ункция меняет знак при
замене sin x на sin x.
Воспользуемся подстановкой sin x t
cos3 x
cos 2 x cos x dx
cos 2 x d sin x
7
sin 7 x dx sin 7 x
sin x
2
1
t
dt
1 6 1 4
1
1
7
5
t t dt t t C
C
7
4
6
t
6
4
4sin x 6sin x
23

24.

Подстановки Эйлера
Интегрирование выражений вида
2
R
x
,
ax
bx c dx.
Пусть дан интеграл вида R x, ax 2 bx c dx. Квадратный
трехчлен ax 2 bx c не имеет кратных корней.
1. Пусть a 0
ax 2 bx c t ax ax 2 bx c t 2 2t ax ax 2
t2 c
x b 2t a t c x
b 2t a
dx 2
2
2
t
c
ax 2 bx c t ax t a
b 2t a
at 2 bt c a
b 2t a
2
at 2 bt c a
b 2t a
dt
24

25.

Подстановки Эйлера
25

26.

Пример
26

27.

Пример
27

28.

Пример
dx
I
x x2 x 1
x 2 x 1 t x x 2 x 1 t 2 2tx x 2 x 2t 1 t 2 1
t 1
x
; dx
2t 1
2
2t 2t 2
2
2t 1
2
2t 2 2t 2
t 2t 1
2
dt
2t 2t 1 2 t 2 1
2t 1
2
I
dt
4t 2 2t 2t 2 2
2t 1
2 t 2 t 1
t 2t 1
2
2
dt
dt
A
B
C
...
2
t 2t 1 2t 1
- далее интегрируем как ра циональную ф ункцию
28

29.

Пример
2 t 2 t 1
2
3
3
I
dt
dt
2
2
t 2t 1
t 2t 1 2t 1
3 1
3
2ln t ln 2t 1 C
2 2t 1
2
t x x 2 x 1.
29

30.

Математический анализ.
Интегрирование рациональных выражений.
Интегрирование тригонометрических выражений.
Лекция завершена.
Спасибо за внимание!