Интегрирование тригонометрических и иррациональных функций

1.

Интегрирование тригонометрических и
иррациональных функций
Интегрирование тригонометрических функций
Интегрирование иррациональных функций

2.

Интегрирование тригон. функций
Универсальная тригонометрическая подстановка
Функцию с переменными sin x и cos x, над которыми выполняются
рациональные действия принято обозначать
Вычисление интегралов типа:
R(sin x; cos x )
Знак рациональной функции
R(sin x; cos x ) dx
сводится
к вычислению интегралов от рациональной функции с
помощью подстановки, которую называют универсальной:
x
2dt
tg t x 2arctg t dx
2
1 t 2
x
2 x
1 tg
2
2tg
1
t
2
t
2
2
cos
x
sin x
2
2
x
x
1
t
2
1
t
1 tg
1 tg 2
2
2

3.

Интегрирование тригонометрических
функций
На практике применяют и другие, более простые подстановки, в
зависимости от вида подынтегральной функции R(sin x; cos x )
Если функция нечетна относительно sin x, то есть:
R( sin x; cos x ) R(sin x; cos x )
то применяется подстановка cos x = t.
Если функция нечетна относительно cos x, то есть:
R(sin x; cos x ) R(sin x; cos x )
то применяется подстановка sin x = t.
Если функция четна относительно cos x и sin x, то есть:
R( sin x; cos x ) R(sin x; cos x )
тогда:
2
t
1
dt
2
2
tgx t
sin x
; cos x
; dx
2
2
1 t
1 t
1 t 2

4.

Интегрирование тригонометрических
функций
dx
1 sin x cos x
x
tg t ;
2
2t
sin x
;
2
1 t
1 t 2
2dt
cos x
; dx
2
1 t
1 t 2
2dt
2
1
t
2
2t
1 t
1
2
1 t
1 t 2
2dt
1 t 2 2t 1 t 2
2
1 t
2
1 t
dt
ln t 1 C ln tg x 1 C
t 1
2

5.

Интегрирование тригонометрических
функций
Интегралы типа:
m
n
sin
x
cos
x dx
Используются следующие подстановки:
Если n – целое положительное нечетное число: sin x = t
Если m – целое положительное нечетное число: cos x = t
В этих двух случаях можно также произвести «отщепление» одной
из нечетных степеней с последующим внесением под знак
дифференциала.
Если m и n - целые неотрицательные четные числа, то
применяются формулы понижения степени:
1
sin x (1 cos 2 x );
2
2
1
cos x (1 cos 2 x )
2
2
Если m + n - отрицательное четное целое число, то
применяется подстановка: tg x = t

6.

Интегрирование тригонометрических
функций
7
3
sin
x
cos
xdx
7
2
sin
x
cos
x cos xdx
7
2
sin
x
(
1
sin
x )d (sin x )
7
9
(sin
x
sin
x )d (sin x )
1 sin2 x
sin8 x sin10 x
C
8
10
2
1
sin x dx 2 (1 cos 2x ) dx
1
1
1
2
1 2 cos 2 x cos 2 x dx dx cos 2 xdx
4
2
4
1
1
1
1
1
1 cos 4 x dx x sin 2 x x
sin 2 x C
8
4
4
8
32
4

7.

Интегрирование тригонометрических
функций
Интегралы типа:
sinax cos bx dx; cos ax cos bx dx; sinax sin bx dx
Вычисляются с помощью формул тригонометрии:
sin x cos x 0.5(sin( ) sin( ));
cos x cos x 0.5(cos( ) cos( ));
sin x sin x 0.5(cos( ) cos( ))
sin 8 x cos 2xdx
0.5 (sin10 x sin 6 x ) dx
1
1
0.5( cos10 x cos 6 x ) C
10
6
1
1
cos 10 x cos 6 x C
20
12

8.

Интегрирование иррациональных
функций
Рассмотрим интегралы от некоторых иррациональных функций,
которые с помощью подстановок приводятся к интегралам от
рациональных функций новой переменной.
Интегралы вида:
m n
R
(
x
,
x
,
x
)dx
сводятся к интегралу от рациональной функции подстановкой
N
x t где N – наименьшее общее кратное (НОК) значений m и n.
ax b n ax b
Интегралы вида: R( x,
,
)dx
cx d
cx d
где a, b, c, d – постоянные, приводится к интегралу от
m
рациональной функции с помощью подстановки:
ax b
tN
cx d
где N – наименьшее общее кратное m и n.

9.

Интегрирование иррациональных
функций
x dx
4
x 4
3
5
t dt
4 3
t 4
НОК (2; 4) 4
4
x t
dx 4t 3dt
t 4t dt
t3 4
2
3
2
t 4
t
4
t
2
2
dt
4 t 3
t 5 4t 2 t
t 4
2
4t
3
5
16 d (t 4) 4 3 16 3
4 t dt 3
t ln t 4 C
3
t 4
3
3
4 4 3 16 4 3
x ln x 4 C
3
3
3
2

10.

Интегрирование иррациональных
функций
Иррациональные функции вида:
R( x, ax 2 bx c )
выделением полного квадрата сводятся к 3-м видам функций, для
каждой, из которой применяется свой вид подстановки:
1) R( х, a 2 х 2 ) подстановка:
х a sin t
2) R( х, a х )
подстановка:
х a tg t
подстановка:
a
х
cos t
2
2
3) R( х, х a )
2
2

11.

Интегрирование иррациональных
функций
3 2x x dx 3 ( x 2x ) dx
2
2
u x 1
du dx
4 x 1 dx
2
u 2 sin t
4 u du
du 2 cos tdt
2
4 4 sin2 t 2 cos tdt 2 cos2 t 2 cos t dt
1 cos 2t
dt 2t sin 2t C
4 cos tdt 4
2
2
u
u2 x 1
3 2x x 2
sin t sin 2t 2 sin t cos t u 1
2
4
2
x 1
x 1 x 2
2
t arcsin
2
arcsin
3
2
x
x
C
2
2
2

12.

Интегрирование иррациональных
функций
Интегралы вида:
m
n
p
x
(
ax
b
)
dx
m, n, p R
Сводятся к интегралам от рациональных функций в трех случаях;:
1) p Z получается интеграл, рассмотренный в первом пункте.
m
1
2)
Z
n
подстановка:
m
1
3)
p Z
n
ax n b t s
Знаменатель
дроби p
подстановка:
a bx n t s
Знаменатель
дроби p

13.

Интегрирование иррациональных
функций
1 x
3
3
x2
dx x
2
3
1 1
3 2
(1 x ) dx
2
1
1
m 1
1 Z
m 3 ; n 3 ; p 2 ;
n
1
3
2
2
2
2
3
1 x t ; x t 1 ; dx 3 t 1 2tdt
t
2
1
2
3 3
1
2 2
(t ) 3(t 1) 2tdt 6 t dt
2
2
3
2t 3 C 2 1 3 x C
2