Интегрирование тригонометрических и иррациональных функций

1.

Интегрирование
тригонометрических и
иррациональных
функций

2. Интегрирование тригонометрических функций

1. Интегралы вида sin kx sin mxdx , sin kx cos mxdx, cos kx cos mxdx
вычисляются с помощью формулы:
,
1
sin kx sin mx (cos( k m) x cos( k, m) x)
2
1
sin kx cos mx (cos( k m) x sin( k m) x)
2
1
cos kx cos mx (cos( k m) x cos( k m) x)
2

3. Интегрирование простейших иррациональных функций

( Ax B)dx
1. Интегралы вида ax 2 bx c интегрируются
так: в знаменателе выделяются полный квадрат и
вводится новая переменная.
2. Интегралы вида: R( x; n ax b ; n ax b ;...; n ax b )dx
1
cx d
2
cx d
k
cx d
вычисляются с помощью замены переменной:
ax b
ts
cx d
где s – наименьшее общее кратное чисел n1, n2,
…, nk; a, b, c, d – числа (c и d не равны нулю
одновременно).

4.

3. Интегралы вида R(x ; a2 x 2 )dx ,
2
2
R
(
x
;
a
x
)dx ,
2
2
вычисляются с помощью
R
(
x
;
x
a
)
dx
тригонометрических подстановок соответственно:
1. x=asinz;
dx=acoszdz.
2. x=atgz;
adz
dx
cos2 z
a
3. x cos z
a sin zdz
dx
cos2 z

5.

Пример(вычисление с помощью тригонометрических
подстановок).
2
2
1
tg
z
1 x
dz
dz
x 4 dx x tgz ; dx cos2 z tg 4 z cos2 z
dz
cos4 zdz
cos zdz
4
4
3
3
4
tg z cos z
sin z cos z
sin z
3
sin
z
4
sin zd sin z
c
3
1
1
1
2
c
(ctgz ;1 ctg z
; sin z
3
2
x
3 sin z
sin z
1
1 ctg z 1 2
x
2
x 1
) c
x
2
x 1
2
3x 3
3