Классы интегрируемых функций. Интегрирование иррациональных выражений

1. Математика Часть 2

УГТУ-УПИ
2007 г.

2.

Лекция 7
Классы интегрируемых функций.
Интегрирование иррациональных
1. выражений.
I. Линейные иррациональности.
mk
m1
m2
nk
n1
n2
R x, (ax b) , (ax b) ,..., (ax b)
dx

3.

(ax b)
mk
nk
- линейная иррациональность,
R x, y, z ,... - дробно-рациональная функция
своих аргументов.
Метод.
Если S – общий знаменатель дробей
mk
m1 m2
, ,..., ,
n1 n2
nk
то используется подстановка:

4.

t ax b
S
В результате интеграл сводится к интегралу
от дробно-рациональной функции аргумента t.
Пример.
2x 1
1 3
, ;
2 4
S 4
t 2x 1
4
dx
3
4
2 x 1 1 4t 3dt 2dx dx 2t 3dt

5.

t ( t 1 1)
t
2t
dt
3
dt 2 3
t 1
t 1
2
2
3
3
d
t
1
2
2
2
3
2
t dt 2
dt t 3
3
t 1
3
3 t 1
t
2
3
2 3 2
3
t ln t 1 C
3
3
2
2
3/ 4
3/ 4
2 x 1 ln 2 x 1 1 C ;
3
3

6.

II. Дробно-линейные иррациональности.
ax b ax b
ax b
R x,
,
,...,
dx
cx d cx d
cx d
m1
n1
m2
n2
mk
nk
mk
nk
ax b
cx d - дробно-линейная иррациональность.
Пусть S – общий знаменатель дробей
mk
m1 m2
,
, ...,
;
n1 n2
nk

7.

После подстановки
ax b
t
cx d
S
указанный интеграл сводится к интегралу
от дробно-рациональной функции аргумента t
(корни исчезают).

8.

III. Квадратичные иррациональности.
Тригонометрические подстановки.
R x,
ax bx c dx
2
ax bx c - квадратичная иррациональность,
2
R x , y -дробно-рациональная функция двух
аргументов.

9.

Метод.
После выделения полного квадрата в квадратном
2
ax bx c и замены
трёхчлене
b
u x
2a
интеграл сводится к одному из трёх типов:

10.

du
II .
R u, l u du
III .
R u, u l du
I .
R u, l u
2
2
u l
sin t
2
2
u l
tgt
2
l
u
cos t
2
После такой замены интеграл сводится к
интегралу от тригонометрических функций:
R sin t ,cos t dt

11.

Пример.
5 2x x dx
2
5 x
2
2 x dx
5 x 1 1dx
6
x
1
dx
x 1 u
2
6 u du
dx du
u 6 sin t
2
2
du 6 cos tdt
u
t arcsin
6

12.

cos tdt
6 6sin t 6 cos tdt 6
2
2
6
6
1 cos 2t dt 3t sin 2t C
2
4
x 1 3
x 1
3arcsin
sin 2arcsin
C
6 2
6
x 1 3
3arcsin
sin 2 C
6 2
sin 2 2sin cos

13.

3arcsin
3sin arcsin
3arcsin
x 1
6
x 1
6
x 1
6
1 sin arcsin
3
2
x 1
6
x 1
6
x 1
1
6
C
2
C

14.

Частные случаи квадратичных
иррациональностей.
1.
ax
dx
2
bx c
Выделением полного квадрата в знаменателе
интеграл сводится к табличному.
Пример.
dx
dx
x 2 2 x 5 x 2 2 x 1 4

15.

d x 1
x 1
2.
2
2
ln x 1 x 2 x 5 C
2
2
Ax B
ax
2
bx c
dx
В числителе выделяется производная квадратного
трехчлена, стоящего в знаменателе.
Пример.
5
4 x 8 13
5x 3
4
2 x 2 8 x 1 dx 2 x 2 8 x 1 dx

16.

4 x 8
5
dx
dx 13
2
4 2 x2 8 x 1
2x 8x 1
5 d 2 x 8 x 1 13
dx
2
4
2
1
2x 8x 1
2
x 4x 4 4
2
2
d x 2
5
13
2
2 2x 8x 1
4
2
2
7
x 2
2

17.

5
2
2x 8x 1
2
3.
13
2
ln x 2
x
1
x 4x C
2
2
dx
k
ax bx c
Подстановкой
2
, k 2
1
x
t
интеграл сводится к предыдущему.

18.

Пример.
dx
x x
2
1
1
1
x , dx 2 dt
t
t
1
2 dt
dt
2
t
=
ln t 1 t C
2
1 1
1
t
1
2
t t
1
1
ln 1 2 C
x
x