Кинематика. Ускорение

1.

УСКОРЕНИЕ
Ускорение
характеризует быстроту
изменения вектора скорости со
временем.

2.

Среднее ускорение равно отношению
изменения вектора скорости к
промежутку времени, за который это
изменение произошло.
r
r Dv
a =
Dt

3.

Мгновенное ускорение
равно производной вектора скорости по
времени.
r
r
Dv
a = lim
Dt ®0 Dt
r
r dv r&
a=
=v
dt

4.

r
r dr r&
Так как v =
= r , то
dt
r
r d r &
r&
a= 2 =r
dt
2
Ускорение равно второй производной
радиус-вектора по времени.
é мù
[ a] = ê с2 ú
ë û

5.

Компоненты ускорения
Представим вектор скорости как
r
r
v = vt .
Вычислим ускорение
r
r
r d v d ( vt )
a=
=
dt
dt
r
r dv r
dt
a= t +v
dt
dt
r
r
(v ­ ­ t )

6.

Первое слагаемое в формуле
r
r dv r
dt
a= t +v
dt
dt
дает вектор, направленный по касательной к
траектории. Его называют
касательным или тангенциальным
ускорением.
r dv r
at = t
dt

7.

По величине тангенциальное ускорение
равно производной модуля скорости по
времени
dv
at =
dt
и показывает, как быстро
величина скорости
меняется со временем.

8.

Тело
разгоняется
r r
at v
r r
v at
r
r
at ­ ­ v
at > 0
Тело
тормозит
r
r
at v
r r
at v
r
at
r
v
r r
at v
r
r
at ­ ¯ v
at < 0

9.

Второе слагаемое в формуле
r
r dv r
dt
a= t +v
dt
dt
дает нормальную компоненту ускорения
r
r
dt
an = v
dt

10.

Проведем окружность, дуга которой совпадает
с некоторым участком траектории.
r
v r
r
t
t
dj
r
r
O
r
r =R
Точка О – центр кривизны траектории,
радиус окружности R – радиус кривизны траектории на
данном участке.

11.

r
Если радиус-вектор r повернулся на угол dj ,
r
то и вектор t повернулся на угол dj.
Преобразуем
r
r
r
dt
dt ds dj
an = v
=v
× ×
dt
dt ds dj
r
r
ds dj dt
r
an = v × ×
×
n
dt ds dj
v 1
R
, т.к. для окружности ds = R × dj

12.

r
t
dj
r
n
r
t
O
r
t
dj
r
t
dt = t × dj = 1× dj = dj
r
r
r
n
d
t
=
d
j
×
n
r
r
dt
dt r
=n
dj

13.

r
n - единичный вектор
нормали к траектории движения
Направлен к центру кривизны
траектории.
r r
n ^v

14.

Нормальное ускорение
2
r v r
an = n
R
По модулю
2
v
an =
R

15.

Вектор нормального
ускорения направлен к
центру кривизны
траектории и характеризует
быстроту изменения
скорости по направлению.

16.

r
Вектор полного ускорения a
является векторной суммой
r
тангенциального ускорения at
r
и нормального ускорения an .
r
at
r
r a
an
O

17.

r r r
a = at + an
По модулю
a=
2
at
2
+ an
2
æ dv ö æ v ö
a = ç ÷ +ç ÷
è dt ø è R ø
2
2

18.

ВИДЫ ДВИЖЕНИЯ
1. Равномерное движение
Равномерным называют движение с постоянной по
модулю скоростью.
По определению
При равномерном движении тангенциального ускорения нет!
Если движение криволинейное, нормальное ускорение есть.
Полное ускорение равно нормальному.

19.

2. Равномерное прямолинейное движение
Вектор мгновенной скорости остается постоянным не
только по модулю, но и по направлению.
По определению

20.

3. Движение по произвольной траектории с
постоянной тангенциальной составляющей вектора
ускорения aτ
По определению

21.

4. Равнопеременное движение
Движение называют равнопеременным, если оно
происходит с постоянным вектором полного
ускорения
y
r
v
r A
at r r
a r
r
B v
r
a
r r
a=g
Cr
at r
r
v
a
x

22.

По определению
По определению

23.

5. Прямолинейное равнопеременное движение
В случае прямолинейного движения радиус кривизны
траектории R стремится к бесконечности, тогда
- движение
равноускоренное
- движение
равнозамедленное

24.

ДВИЖЕНИЕ ПО ОКРУЖНОСТИ
r
r
O
j
x
Движение точки по окружности задается
зависимостью φ (t).
φ – угол между радиус-вектором точки и осью х.

25.

R
Dj
O
Dj = 1рад.
Ds
x
Углом в 1 радиан называют такой
центральный угол, длина дуги которого Δs
равна её радиусу R.

26.

Для произвольного угла поворота Δφ
Ds
Dj =
R
Ds = R × Dj
Угол в 1 оборот равен 2 радиан.

27.

Вектор углового пути
Вектор углового пути по модулю равен
углу поворота.
Его направление определяется
правилом правого винта.

28.

r
dj
r
r
dj
dj
r
dj

29.

Угловая скорость
Угловая скорость характеризует быстроту
движения материальной точки по окружности.
Это векторная величина равная
производной вектора углового пути по
времени.
r
r dj
é рад. ù
w=
w] = ê
[
ú
dt
ë с û
r r&
w =j

30.

Направление вектора угловой скорости
также находят по правилу правого винта.
r
w
r
w

31.

Угловое ускорение
Угловое ускорение характеризует быстроту
изменения угловой скорости со временем.
Это векторная величина равная
производной угловой скорости по времени.
r
r dw
e=
é рад. ù
dt [ e ] = êë с úû
r r&
e =w
2

32.

Векторы углового пути, угловой скорости,
углового ускорения
направлены вдоль оси вращения.
Если ω увеличивается, то
r
w
r
e
r
an
Если ω уменьшается, то
r
r v
at
r
w
r
an
r
e
r
v
r
at

33.

Связь линейных и угловых характеристик движения
Свяжем линейный и угловой пути
ds = R × dj
Возьмем производную по времени
ds
dj
= R×
dt
dt
Получим связь линейной и угловой скоростей
v = wR

34.

Заметив, что векторы линейной и
угловой скоростей, а также радиусвектор взаимно перпендикулярны и
связаны правилом правого винта,
можно записать векторное равенство:
r
r r
v = [ w ,r ]

35.

Снова возьмем производную по времени:
dv
dw
=R
dt
dt
Получим
at = e R

36.

Теперь найдем нормальное ускорение
v w Rv
an = =
= wv
R
R
2
или
w R
an =
R
2
2
an = w R
2

37.

Характеристики равномерного вращения
Период Т равен времени, за которое
происходит один оборот.
Частота вращения ν равна числу
оборотов в единицу времени.
1
1
T = иn =
n
T
Угловая скорость при равномерном вращении:
j об 2
w=
=
= 2 n
tоб
T