Неопределенный интеграл

1.

Математика 2
Неопределенный интеграл
Лектор:
доцент отделения математики и информатики
Имас Ольга Николаевна

2.

Раздел 1. НЕОПРЕДЕЛННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Опр. 1
F(x), определенная на интервале ( a, b), называется
первообразной для f ( x ), если ∀x ∈ ( a, b) выполняется
F '(x) = f (x)
Функция
ТЕОРЕМА.1 (свойство первообразной)
Если в некотором конечном или бесконечном интервале D функция F(x)
является первообразной для функции f
первообразная.
(x), то F(x)+С (С – const) тоже
Обратно. Каждая первообразная
для f
.
Опр. 2.
(x) может быть представлена в форме
F(x)+С.
f(x), определенной на
интервале (a, b) называется неопределенным интегралом от функции f(x).
x – переменная интегрирования
Обозначают: f ( x)dx
f(x) – подынтегральная функция;
f(x)dx – подынтегральное выражение;
Совокупность всех первообразных для функции
– знак интеграла.

3.

Основные свойства неопределенного интеграла
1.
f ( x) dx f ( x)
2. d
f ( x) dx f ( x)dx
3. dF ( x) F ( x) C
4.
f ( x) g ( x) dx f ( x)dx g ( x)dx
5. k f ( x) dx k f ( x) dx
6.
1
f (ax b) dx F (ax b) C
a

4.

Таблица интегралов
1.
n 1
x
x n dx
C
n 1
ax
7. a dx
C
ln a
x
1(a). dx x C
1(b).
dx
2 x C
x
dx
2.
ln | x | C
x
3. sin x dx cos x C
7(a).
e
x
dx e C
x
12. sh x dx ch x C
13. ch x dx sh x C
14.
dx
1
x
8. 2 2 arctg C
a
a x a
15.
8(a).
9.
dx
arctg x C
1 x 2 arcctg x C 16.
dx
x
arcsin C
a
a2 x2
dx
th x C
ch 2 x
dx
cth x C
2
sh x
tg x dx ln | cos x | C
17. ctg x dx ln | sin x | C
dx
x
4. cos x dx sin x C
dx
arcsin x C
18.
ln
|
tg
| C
9(a).
2
sin x
2
1 x arccos x C
dx
5.
tgx C
dx
x
dx
1 a x
2
19.
ln
|
tg
10. 2 2 ln
C
| C
cos x
cos x
2 4
a x 2a a x
dx
dx
2
2
6.
ctgx
C
11.
ln(
x
x
a
) C
2
2
2
sin x
x a

5.

Методы интегрирования
1. Табличное интегрирование
2. Метод подведения под знак дифференциала (подстановки)
ТЕОРЕМА 2.
Пусть требуется
f ( x)dx
найти где первообразная не табличная
Пусть x=j(t), j(t) – непрерывная функция с непрерывной производной,
имеющая обратную функцию.
Тогда
f ( x)d x f j (t ) j (t )d t
Подведение под знак дифференциала
Вспомним определение дифференциала: dj(x)= j ′(x)dx
d j( x)
f (j( x))j ( x)dxj( x)
Тогда
dx
Выразим dx:
j ( x)
Пример.
j ( x)
f (j)ddtj
t
ln | t | C
sin xdx sin xd cos x
sin xd cos x
d cos x
cos x cos x (cos x) cos x ( sin x) cos x ln | cos x | C