Описание линейных дискретных систем в Zобласти. Тема № 8

1. Лекция по учебной дисциплине «Цифровая схемотехника и обработка сигналов» (Д-0205-1) Тема № 8: «Описание линейных дискретных

ВОЕННАЯ АКАДЕМИЯ СВЯЗИ
Лекция
по учебной дисциплине «Цифровая схемотехника и обработка
сигналов»
(Д-0205-1)
Тема № 8: «Описание линейных дискретных систем в Zобласти»
Занятие № 26: «ВВЕДЕНИЕ В Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ»
Руководитель занятия – доцент кафедры, к.т.н., доцент,
полковник Филимонов Василий Александрович
г. Санкт-Петербург
2018

2. Учебные цели:

2
Учебные цели:
1. Дать
базовые
понятия
о
Zпреобразовании.
2. Изучить
Z-изображения
функций
типовых дискретных сигналов.
Кафедра №2, ВАС

3. Учебные вопросы:

3
Учебные вопросы:
1.Определение
и
основные
свойства Z-преобразования.
2.Z-преобразования
типовых
дискретных
(цифровых)
сигналов.
3.Прямое
и
обратное
Zпреобразование.
Кафедра №2, ВАС

4. Литература для самостоятельной работы обучаемых:

4
Литература для самостоятельной работы обучаемых:
1. Солонина А. И., Улахович Д. А. и др. Основы цифровой
обработки сигналов: Курс лекций / Изд. 2-е испр. и
перераб. – СПб: Петербург, 2005, стр. 30 – 51
Кафедра №2, ВАС

5. Первый учебный вопрос

5
Первый учебный вопрос
Определение и основные
свойства Zпреобразования
Кафедра №2, ВАС

6. Первый учебный вопрос

6
Первый учебный вопрос
Определение Z-преобразования
p σ jω
X ( p ) x ( p ) x (t )e
pt
pt
x (t )e dt
dt;
t 0
оператор Лапласа
t 0
0
t nT
T – период частоты дискретизации
n 0
x(t ) t nT x(nT )
e pTn z e pT e pTn z n
Z x (nT ) X ( z ) x (nT ) z n ; x (nT ) n 0 0
n 0
оригинал
Z-изображение
Область сходимости z-изображения
n
x (nT ) z .
n 0
Формы представления комплексной переменной z:
z e pT e( jω)T eσT e jωT
показательная
r z ξ 2 η2 ;
радиус
re j
r cos r sin
ξ jη
алгебраическая
arg( z ) arctg
аргумент
η
ξ
Кафедра №2, ВАС

7. Первый учебный вопрос

7
Первый учебный вопрос
Задание точки на z-плоскости:
в декартовой системе координатами (ξ, η);
в полярной системе координатами (r, φ).
Единичный круг
Единичная окружность
|z| = 1
Кафедра №2, ВАС

8. Первый учебный вопрос

8
Первый учебный вопрос
Основные свойства Z-преобразования
1. Линейность.
x (n ) a1 x1 (n )
a k xk ( n )
Z x ( n ) X ( z ) a1 X 1 ( z )
K
a K x K ( n ) a k xk ( n )
ak X k ( z )
k 1
K
a K X K ( z ) ak X k ( z )
k 1
2. Z-изображение задержанной последовательности (теорема о задержке).
x ( n ) x ( n m),
Z x (n m) X ( z ) z m z m X ( z ).
3. Z-преобразование свёртки последовательностей (теорема о свертке).
x1 (n) и x2 (n)
x(nT ) x1(m) x2 (n m).
m 0
Z-изображение свертки равно произведению Z-изображений свертываемых
последовательностей
Z x ( n ) X ( z ) X 1 ( z ) X 2 ( z ).
Кафедра №2, ВАС

9. Второй учебный вопрос

9
Второй учебный вопрос
Z-преобразования
типовых дискретных
(цифровых) сигналов
Кафедра №2, ВАС

10. Второй учебный вопрос

10
1. Z-изображение задержанного цифрового единичного импульса
1, n 0;
u0 (n )
Z {u0 (n )} U 0 ( z ) u0 (n ) z n u0 (0) z 0 1
n 0
0, n 0.
2. Z-изображение задержанного цифрового единичного импульса
:
1, n m;
u0 (n m)
0, n m.
на основании теоремы о задержке имеем
:
Z {u0 ( n m)} U 0 ( z ) z m z m
3. Z-изображение цифрового единичного скачка
1, n 0;
u1 (n)
0, n 0.
n 0
n 0
n 0
n 0
Z {u1 (n)} U1 ( z ) u1 (n) z n 1 z n z n z 1
n
z 1 1
1
1 z 1
4. Z-изображение задержанного цифрового единичного скачка
1, n m;
u1 (n m)
0, n m
на основании
теоремы о задержке
Z {u1 (n m)} U1 ( z ) z
m
z m
1 z 1
Кафедра №2, ВАС

11. Второй учебный вопрос

5. Z-изображение убывающей
дискретной экспоненты
( a )n , n 0, a 1;
x(n)
0, n 0.
n n
Z {x(n)} X ( z ) ( a ) z
n 0
6. Z-изображение взвешенной
убывающей дискретной экспоненты
( a )n m , n m 0, a 1;
bx(n m)
0, n m 0.
bz m
X ( z)
1 az 1
8. Z-изображение последовательности
( az 1) n
n 0
Сумма членов (БУГП) с областью
сходимости
a
az 1 1
z
1 z a
и радиусом сходимости R =
|a|
x(n)
1
Z {x(n)} X ( z )
1 az 1
7. Z-изображение последовательности
sin (n 1)
x(n) r n
; ω T ωˆ
sin
X ( z)
Радиус полюса
полюса
r n
b1 z 1
ˆ;
sin n X ( z )
,
1
2
1 a1 z a2 z
a1 2 r cos , a2 r 2 , b1 r sin .
Частота (угол)
1
1
X
(
z
)
1 2r cos z 1 r 2 z 2
1 a1z 1 a2 z 2
a1 2r cos ; arccos
11
a1
; a2 r 2 ; r* a2
2r
9. Z-изображение последовательности
x ( n ) r n cos n
1 b1 z 1
ˆ;
X ( z)
,
1
2
1 a1 z a2 z
a1 2 r cos , a2 r 2 , b1 r sin .
Кафедра №2, ВАС

12. Второй учебный вопрос

Доказательство 7
X ( z)
n 0
r n
12
sin ( n 1) n
1 n
z
r sin (n 1) z n
sin
sin n 0
n j ( n 1) n n j ( n 1) n
1 n e j ( n 1) e j ( n 1) n
1
X ( z)
z
z r e
z
r
r e
sin n 0
2j
2 j sin n 0
n 0
j
1
j 1 n
j
j 1 n
e
(
r
e
z
)
e
(
r
e
z ) .
2 j sin
n 0
n 0
1
e j
e j
X ( z)
j 1
j 1
2
j
sin
1
r
e
z
1
r
e
z
r
j 1
R r ;
r e
z 1
1 z r
j 1
j 1
z
q
r
e
z
q r e z
e j r z 1 e j r z 1
1
1
e j e j
X ( z)
2 j sin (1 r e j z 1 )(1 r e j z 1 ) 2 j sin (1 r e j z 1 )(1 r e j z 1 )
e j ( n 1) e j ( n 1)
sin
2j
Кафедра №2, ВАС

13. Второй учебный вопрос

13
Доказательство 7
X ( z)
1
sin
1
sin (1 r e j z 1 )(1 r e j z 1 ) (1 r e j z 1 )(1 r e j z 1 )
X ( z)
1
1
,
1 r e j z 1 r e j z 1 r 2 z 2 1 r e j e j z 1 r 2 z 2
e j e j 2cos
X ( z)
1
1
X
(
z
)
1 2r cos z 1 r 2 z 2
1 a1z 1 a2 z 2
z 1,2 r e j
Кафедра №2, ВАС

14. Третий учебный вопрос

14
Прямое и обратное
Z-преобразование
Кафедра №2, ВАС

15. Третий учебный вопрос

3.1 Прямое Z-преобразование
x(n )
Согласно свойству
линейности:
b0r n
15
sin ( n 1) φ
sin( n φ )
b1r n 1
sin φ
sin φ
sin ( n 1) φ
n 1 sin( n φ )
X ( z ) Z b0 r n
Z
b1r
sin
φ
sin φ
sin ( n 1) φ
n 1 sin( n φ )
X ( z ) b0 Z r n
b
Z
1 r
sin
φ
sin
φ
sin ( n 1) φ
n 1 sin( n φ )
X ( z ) b0 Z r n
b
Z
1 r
sin
φ
sin
φ
Согласно соотношению 7
и свойству задержки:
X ( z)
b0
1 a1z
X ( z)
1
a2 z
2
b1z 1
1 a1z 1 a2 z 2
b0 b1z 1
1 a1z 1 a2 z 2
Кафедра №2, ВАС

16. Третий учебный вопрос

16
3.2. Обратное Z-преобразование
Z 1 X ( z ) x (n )
Согласно свойству
линейности:
Согласно
соотношению 5:
b0 b1 z 1
X ( z)
1 a1 z 1
b0
b1 z 1
X ( z)
1
1 a1 z
1 a1 z 1
X ( z)
1
n
x
(
n
)
a
1 a1 z 1
1
b
b
z
1
1
0
1
x(n) Z
Z
1
1
1 a1z
1 a1z
1
1
z
1
1
b0 Z
b1Z
.
1
1
1 a1z
1 a1z
Согласно свойству
задержки:
x(n) b0a b1a
n
n 1
Кафедра №2, ВАС

17. Заключение

17
Краткий обзор рассмотренных вопросов
(привлекаются курсанты). Даются рекомендации по
изучению материала.
Ещё раз подчёркивается практическое приложение
изученного и краткая постановка задачи на очередную
лекцию: получение передаточных функций и изучение
их свойств. Выдаётся электронная версия
раздаточного материала.
Кафедра №2, ВАС

18.

ЛЕКЦИЯ ЗАВЕРШЕНА!