Similar presentations:
Методы описания дискретных систем
1. Методы описания дискретных систем
Основы системного анализаМетоды описания дискретных систем
2. Описание дискретных систем в частотной области
1. Описание непрерывных системu t U p
u t U
d x t
d y t
y t ak
bm
k
m
dt
dt
k 0
m 1
k
K
K
M
m
M
Y p ak X p p bmY p p
k
k 1
m
(1)
m 1
K
Y p
H p
X p
H p
k
a
p
k
m k
k 1
M
1 bm p
m 1
(2)
m
2
3. Описание непрерывных систем во временной области. Моделирование электрической цепи первого порядка
RC - цепьUC
C
i
U0
R
UR
3
4. Уравнения электрической цепи первого порядка
Уравнения цепиi t iR t iC t
(1)
duC t
iC t C
dt
(2)
duC t
uR t i t R iC t R RC
dt
uR t uC t U 0 t
duC t
RC
uC t U 0 t
dt
(3)
(4)
(5)
4
5. Решение уравнения электрической цепи первого порядка
Уравнение (5) является неоднородным линейным уравнением первого порядка.Общее решение неоднородного уравнения представляется как сумма какогонибудь частного решения этого уравнения и общего решения соответствующего
однородного уравнения
duC t
RC
uC t 0 (6), т.е.
dt
uC î áù uC ÷àñòí uC î äí
(7)
Общее решение уравнения (6)
duC t
RC
uC t (8)
dt
t
ln uC t
ln A1
RC
(9)
где A1 - произвольная постоянная интегрирования.
Окончательное решение
t
RC
uC t U 0 1 e
(10)
5
6. Дискретизация уравнения цепи первого порядка для моделирования на ЭВМ
Замена производной конечной разностью:duC t
dt
uC t uC t t
t
(11)
Замена непрерывного времени дискретным: t n
uC n uC n t
RC
uC n U 0 n
t
(12)
6
7. Дискретизация уравнения цепи первого порядка для моделирования на ЭВМ
Преобразуем уравнение (12):uC n uC n t
1
1
uC n
U 0 n ;
t
RC
RC
t
t
uC n uC n t
uC n
U 0 n ;
RC
RC
t t
uC n 1
U 0 n uC n t ;
RC RC
k t
1
uC n
U 0 n kuC n t ,
ãäå k
RC
1 t
RC
RC
.
t RC
7
8. Дискретизация уравнения цепи первого порядка для моделирования на ЭВМ
Окончательное выражение для дискретизованного уравнения (12):t
RC
uC n
U0 n
uC n t .
t RC
t RC
(13)
Схема дискретной цепи, которой моделируется уравнение (13).
u0(n)
k1
t
RC
k1
, k2
.
t RC
t RC
+
Элемент
задержки
на t
k2
uC(n)
uC(n-1)
8
9. Описание дискретных систем в частотной области
2. Изображение преобразования Лапласа функцииe t cos t
9
10. Описание дискретных систем в частотной области
3. Дискретные системыf(n)
Решетчатая функция
n
f (n-k)
(n-k)
1
1
k
0
-символ Кронекера
n
k
n
0 1 2
Дискретный единичный скачок10
11. Описание дискретных систем в частотной области
f t t nT4. Последовательность -функций
n 0
(n-k)
0 1 2
k
d
n
Дискретное преобразование Фурье последовательности -функций
1 N 1
Y k y n exp j 2 k N , k 0,1,2,
N n 0
, N 1 (14)
11
12. Описание дискретных систем в частотной области
5. Дискретное преобразование Лапласаt : L t
t e
pt
dt 1 L t nTd e
pnTd
L y nTd Yd p y kTd e pkTd
k 0
Тогда
L y nTd Yd p y kTd e
pkTd
(15)
k 0
L f n kTd F p f n k p
k 0
k
(15а)
12
13. Описание дискретных систем в частотной области
6. Примерf t exp t , 0
f d nTd Kr 0 e Td Kr t Td e 2Td Kr t 2Td
e mTd Kr t mTd
Тогда, с учетом (15)
Yd p 1 e Td e pTd e 2Td e 2 pTd
e mTd e mpTd
(16)
Выражения (15) и (16) громоздки (двойные суммы
трансцендентных функций) и неудобны для использования
13
14. Описание дискретных систем в частотной области
z e7. z-преобразование
pTd
e
j Td
Тогда выражение (5) преобразуется к виду
Y z 1 e Td z 1 e 2Td z 2
e mTd z m
, (17)
а это– геометрическая прогрессия со знаменателем q e Td
z
1
При q 1 Y z
Td
z e
1 e Td z 1
Полюс функции (18)
(18)
z p exp Td
K
K
M
k 0
m 1
y n ak x n k bm y n m
Y z
H z
X z
k
a
z
k
k 0
M
1 bm z m
(19)
m 1
14
15. Описание дискретных систем в частотной области
8. Связь преобразования Лапласа и z-преобразованияj
j1
Im z
j /2Td
-1
0
1
0
Re z
-j /2Td
-j1
15
16. Описание дискретных систем в частотной области
9. z-преобразование функции et
cos t
16
17. Описание дискретных систем в частотной области
10. Частотная характеристика функции et
cos t на z-плоскости
17
18. Описание дискретных систем в частотной области
11. z-преобразование дробно-рациональной функции 5-го порядка18
19. Описание дискретных систем в частотной области
12. z-преобразование дробно-рациональной функции 5-го порядка2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
19
20. Описание дискретных систем в частотной области
13. Схема цифровой системы в канонической форме реализацииa0
a1
aK-1
aK
x(n)
y(n)
++
T
T
T
T
+
b1
b2
bL-1
bL
20
21. Описание дискретных систем в частотной области
14. Схемные реализации дискретных системПоследовательная
H z
1
K
k
b
z
k
k 0
1
1
z
zk
K
k 1
21
22. Описание дискретных систем в частотной области
15. Схемные реализации дискретных системПараллельная
1
H z
K
k
b
z
k
K
ck
1
zk
k 1 z
k 0
22
23. Применение метода пространства состояний для описания сложных систем
Определим состояние системы как минимальное количество информацииотносительно воздействий предыдущих сигналов на входе системы, необходимое
для полного описания выходного сигнала на некотором интервале наблюдения .
Переменные величины, которые содержат эту информацию, называются
переменными состояния.
Рассмотрим общий метод описания сложной динамической системы в терминах
переменных состояния. Пусть система описывается дифференциальным
уравнением вида:
y ( n ) (t ) Pn 1 (t ) y ( n 1) (t )
где
P0 (t ) y(t ) b0 (t )è (t )
(20)
(n)
d
y (t )
y ( n ) (t )
– n-я производная от y (t ) ; Pn (t ) – коэффициенты,
n
dt
зависящие от времени; b0 (t ) – зависящий от времени коэффициент усиления
входного сигнала U(t).
23
24. Применение метода пространства состояний для описания сложных систем
Схема системы, в которой моделируется уравнение (20)24
25. Применение метода пространства состояний для описания сложных систем
Векторное представление уравнения (20)X 1 (t ) Y (t )
X 2 (t ) Y (t ) X 1(t )
X 3 (t ) Y (t ) X 1 (t )
X n (t ) Y ( n 1) (t ) X n 1 (t )
(20а)
или
X n (t ) Y (t ) Pk 1 (t )Y
n
n
(n)
k 1
( k 1)
(t ) B0 (t )U (t ) Pk 1 (t ) X k (t ) B0 (t )U (t )
k 1
(20б)
25
26. Применение метода пространства состояний для описания сложных систем
Представим набор переменных X (t ), X (t ), , X (t ) в виде1
2
n
вектор-столбца X (t ). Тогда скалярному уравнению (20) n-го
порядка соответствует n-мерное векторное уравнение первого
порядка
где
dx (t )
X(t ) F(t ) X(t ) G (t )U(t ),
dt
1
0
0
0
0
1
F
0
0
0
P P P
1
2
0
0
1
Pn 1
(21)
0
0
Y(t ) CX(t )
G
0
B0
C 1
0
0
0
26