Переходные процессы в цепях первого порядка

1. Переходные процессы

в цепях первого порядка

2. Переходные процессы

В линейной электрической цепи, содержащей
реактивные элементы, при переходе от одного режима
к другому возникает переходный процесс, характер и
длительность которого определяется топологией
схемы и параметрами элементов.
Переходные
процессы
обусловлены
законами
коммутации, частными случаями закона сохранения
энергии.
Условия возникновения переходных процессов:
• а) наличие коммутации в цепи;
• б) скачкообразно меняются параметры цепи;
• в) скачкообразное изменение всей структуры цепи.

3. Законы коммутации

Первый закон:
• в ветви электрической цепи с катушками
индуктивности ток и магнитный поток не могут
измениться скачком, в первый момент после
коммутации они сохраняют те значения, которые
имели до коммутации.
Второй закон:
• напряжение на обкладках конденсатора и его заряд
не могут измениться скачком, и сразу после
коммутации они сохраняют те значения, которые
имели до коммутации

4. Начальные условия

Начальными условиями называются те значения
токов и напряжений, которые были на реактивных
элементах к моменту начала переходного процесса.
при замыкании ключа
R1
E
L2
R1
R2
E
L1
R2
R3
L1
iL1(0)=iL2(0)=0
iL1(0)=0, iC1(0)=0
uL1(0)=uL2(0)=0
uL1(0)=0, uC1(0)=E
С1

5. Начальные условия

Начальными условиями называются те значения
токов и напряжений, которые были на реактивных
элементах к моменту начала переходного процесса.
при размыкании ключа
R1
E
L2
R2
E
L1
R2
R1
R3
L1
iL1(0) ≠0, iL2(0) ≠ 0.
iL1(0)≠0, iC1(0) = 0.
uL1(0) ≠0, uL2(0) ≠ 0.
uL1(0)=0, uC1(0)=0.
С1

6. Математическое описание

Дифференциальное
уравнение,
описывающее
переходный процесс в цепи с n независимыми
накопителями энергии, имеет вид:
d nx
d n 1 x
dkx
dx
an n an 1 n 1 ... ak k ... a1 a0 x f (t )
dt
dt
dt
dt
где х – искомая функция времени (напряжение, ток,
потокосцепление и т.п.); f(t) – известное внешнее
воздействие (напряжение и (или) ток источника
электрической энергии); ak – k-й постоянный
коэффициент, определяемый параметрами цепи.

7. Решение диф. уравнения

Решение дифференциального уравнения в общем
случае имеет вид:
х = хпр + хсв
где хпр – принужденная составляющая, частное
решение диф. уравнения (зависит от внешнего
воздействия,
определяется
путем
расчета
стационарного режима работы схемы после
окончания переходного процесса), хсв – свободная
составляющая, общее решение диф. уравнения с
нулевой правой частью (соответствует режиму,
когда внешние (принуждающие) силы (источники
энергии) не воздействуют на цепь).

8. Классический метод расчета

Алгоритм
расчета
переходных
классическим методом:
процессов
• 1) определение начальных условий;
• 2)
составление
системы
уравнений
в
дифференциальной
форме
после
начала
переходного процесса;
• 3) составление характеристического уравнения и
расчет его корней (метод Эйлера);
• 4) расчет принужденной составляющей;
• 5)
запись
общего
решения
как
суммы
принужденной и свободной составляющих,
определение
постоянных
интегрирования,
построение графиков.

9. Расчет схемы первого порядка

R1
E
iL
L1
uвых
1.Определяем начальные условия:
R1
E
uL(0)
uL (0) = E,
iL (0) = 0.

10. Расчет схемы первого порядка

3. Решение для однородного дифференциального
уравнения первого порядка записывается в виде:
xсв Aе pt
Найдем производную для x(t):
dx(t ) d
Aе pt pAe pt px(t )
dt
dt
Дифференциальную формулу напряжения на
катушке можно представить в операторной форме:
di L
uL L
Lpi L
dt

11. Расчет схемы первого порядка

Для заданной схемы:
i L R1 L1 pi L 0
Составляем характеристическое уравнение при
отсутствии входного воздействия:
R1 L1 p 0
Находим корень:
R1
p
L1
Корень p определяет длительность переходного
процесса через постоянную времени τ:
1
p

12. Расчет схемы первого порядка

4. Определяем принужденную составляющую:
R1 iL
E
L1
uвых
После окончания переходного
становится постоянным:
R1
E
процесса,
iL
UL = 0,
IL = E/R.
ток

13. Расчет схемы первого порядка

5. Записываем решение в общем виде:
E
i L (t )
Ae pt
R1
Решаем уравнение при t = 0 (начальные условия):
E
E
A => 0
A
R1
R1
Окончательное решение:
i L ( 0)
i L (t )
E E
e
R1 R1
=>
A
R1
t
L1
diL (t )
EL1 pe
u L (t ) L
dt
R1
pt
Ee
R1
t
L1
E
R1

14. Расчет в SmathStudio

15. Расчет в SmathStudio

16. Расчет схемы первого порядка

R1
Е
С1
uвых
1.Определяем начальные условия:
R1
E
uС (0) = 0,
iС (0) = E/R1.

17. Расчет схемы первого порядка

2. Составляем уравнение по второму закону
Кирхгофа для цепи после коммутации:
R1
E
C1
uвых
u r1 u С 1 E
В общем виде:
В дифференциальной
форме:
duC
iС C
dt
C
duC
R1 uC E
dt

18. Расчет схемы первого порядка

3. Решение для однородного дифференциального
уравнения первого порядка записывается в виде:
xсв A pt
Найдем интеграл для x(t):
pt
Ae
x(t )
pt
.
xdt A dt
p
p
Дифференциальную формулу тока на емкости
можно представить в операторной форме:
pt
1
1
Ae
1
pt
x(t ).
xdt A dt
С
С
pС
pС

19. Расчет схемы первого порядка

Составляем характеристическое уравнение при
отсутствии входного воздействия:
R1С1 p 1 0
Находим корень:
1
p
R1C1
Корень p определяет длительность переходного
процесса через постоянную времени τ:
1
p

20. Расчет схемы первого порядка

4. Определяем принужденную составляющую:
R1
E
uвых
После
окончания
переходного
процесса,
напряжение на емкости становится равным
входному воздействию:
UС = E,
IC = 0.

21. Расчет схемы первого порядка

5. Записываем решение в общем виде:
uC (t ) E Ae pt
Решаем уравнение при t = 0 (начальные условия):
uC (0) E A =>
0 E A
=>
A E
Окончательное решение:
uС (t ) E Ee
1
t
R1C1
duC (t )
E
pt
iС (t ) C1
EС1 pe
e
dt
R1
1
t
R1C1

22. Расчет схемы первого порядка

23. Расчет схемы первого порядка

24. Анализ в LTSpice IV

Цепь первого порядка с катушкой индуктивности:

25. Настройки симуляции

26. Настройки источника vin

27. Напряжение источника vin

28. Напряжения vin и vL

29. Напряжение и ток на катушке

30. Анализ в LTSpice IV

Цепь первого порядка с конденсатором:

31. Напряжения vin и vС

32. Напряжение и ток на емкости

33. Операторный метод Хевисайда

Дифференциальное
уравнение
может
быть
представлено операторным изображением.
Сложные математические операции решения
дифференциальных
уравнений
заменяются
решением простых - алгебраических уравнений,
записанных в операторной форме. При этом f(t)
называют оригиналом, F(р) - изображением.
Полученные операторные уравнения решаются
относительно комплексного переменного F(р) для
искомой функции.
Заключительным этапом расчета переходных
процессов
операторным
методом
является
нахождение оригинала функции по известному
изображению.

34. Преобразование Лапласа

Для преобразования функции вещественного
переменного f(t) в функцию комплексного
переменного F(р) пользуются преобразованием
Лапласа:
F ( P ) e pt f (t )dt
0
Между изображением и оригиналом нет равенства,
а есть только соответствие:
f (t ) F ( p) или
F ( p ) f (t )
Известно
более
1500
оригиналов
соответствующих им изображений.
и

35. Оригиналы и их изображения

Оригинал
Изображение
А
А
p
e
1
p
t
e j ( t )
1 e
t
e j
p j
p( p )

36. Оригиналы и их изображения

Оригинал
sin t
sin( t )
Изображение
p2 2
p sin cos
p2 2
df (t )
dt
pF ( p ) f (0)
f (t )dt
F ( p)
p
t
0

37. Формула разложения

Переход от изображения к оригиналу возможен по
теореме разложения с помощью формулы:
F1 ( pk ) pk t
f (t )
e
k 1 F2 ( p k )
n
Порядок расчета:
1) приравнивая F2(р) нулю, определяют корни р1,
р2, р3 и т. д.;
2) вычисляют производную знаменателя дроби F
(р) и подставляют в нее поочередно корни;
3) вычисляют числитель F1(р), подставляя в него
корни;
4) рассчитывают оригинал f(t), производя
вычисления отдельных слагаемых и суммируя их.

38. Формула разложения

n
F1 ( pk ) p t
f (t )
e k
k 1 F2 ( pk )
Пример.
F ( p)
120
p 2 160 p 6000
Обозначим F1(р)=120; F2(р)=р2+160 р+6000.
Найдем корни многочлена знаменателя F2(р)=0;
p1.2 80 6400 6000 ;
p1 60
p2 100

39. Формула разложения

Применим формулу разложения:
F1(p1)=F1(p2)=F1(p)=120
Производная знаменателя F2/ (р) = 2р +160.
Подставляем в нее поочередно корни:
F2/(p1)=2(-60)+160=40
F2/(p2)=2(-100)+160= -40
По формуле разложения найдем оригинал:
n F (p )
F1 ( p1 ) p1t F1 ( p 2 ) p2t
p t
1
k
f (t )
e k
e
e
F2 ( p1 )
F2 ( p 2 )
k 1 F2 ( p k )
120 60t 120 100t
e
e
3e 60t 3e 100t
40
40

40. Операторный метод расчета

Алгоритм
расчета
операторным методом:
переходных
процессов
• 1) определение начальных условий;
• 2) построение операторной схемы замещения и
составление системы уравнений в операторной
форме после начала переходного процесса;
• 3) получение операторных функций токов и
напряжений в дробно-рациональном виде;
• 4) представление знаменателя в виде уравнения в
однородной форме, расчет его корней;
• 5) переход от операторного изображения к
оригиналу с помощью таблиц или формулы
разложения, построение графиков.

41. Операторные изображения

Операторные изображения для токов и напряжений
в электрической цепи:
u(t ) U ( p );
i (t ) I ( p );
di
u L (t ) L pLI ( p ) Li (0) U L ( p );
dt
du
iС (t ) C
pCU ( p ) Cu (0) I С ( p );
dt
I С ( p) Cu (0) I С ( p ) u (0)
U С ( p)
.
pC
pC
p

42. Операторные изображения

При нулевых начальных условиях:
u ( 0)
0.
Li (0) 0;
p
Операторные функции для тока на катушке и
напряжения на емкости примут вид:
I L ( p ) pLU ( p ) Z L ( p )U ( p );
I С ( p) I С ( p)
U С ( p)
.
pC
Z C ( p)
По аналогии с комплексным сопротивлением
вводится понятие операторного сопротивления:
1
Z С ( p)
.
Z L ( p ) pL;
pC

43. Операторные изображения

При ненулевых начальных условиях:
u ( 0)
0.
Li (0) 0;
p
Эти слагаемые называют внутренними эдс. Они
учитывают энергию запасенную в магнитном поле
катушки и в электрическом поле конденсатора к
моменту коммутации (при t=0).
На схеме замещения их моделируют введением
дополнительных источников эдс. Направление
источника совпадает с направлением тока через
катушку
и
противоположно
направлению
напряжения на конденсаторе.

44. Операторная схема замещения

Элемент электрической
цепи
L
С
Элемент операторной
схемы замещения
E
E/p
e(t)
E ( p j )
pL
1/pС
LiL(0)
uc(0)/p

45. Расчет схемы первого порядка

R1
E
iL
L1
uвых
1.Определяем начальные условия:
R1
E
uL(0)
uL (0) = E,
iL (0) = 0.

46. Расчет схемы первого порядка

2. Составляем операторную схему замещения и
уравнение по второму закону Кирхгофа:
R1
E/p
IL1(p)
pL1
UL1(p)
E
U R1 ( p ) U L1 ( p )
p
E
I L1 ( p ) ( R1 pL)
p

47. Расчет схемы первого порядка

3. Получение операторных функций тока
напряжений в дробно-рациональной форме:
E
I L1 ( p )
.
p ( R1 pL1 )
EL1
E
U L1 ( p )
pL1
.
p ( R1 pL1 )
R1 pL1
E
U R1 ( p )
R1.
p ( R1 pL1 )
и

48. Расчет схемы первого порядка

4. Применяем теорему разложения для расчета
оригинала тока. Находим корни:
R1
p1 0, р 2 .
p ( R1 pL1 ) 0.
L1
Вычисляем производную знаменателя:
F2 R1 2 pL1.
5. Находим оригинал тока по формуле разложения:
n F (p )
F1 ( p1 ) p1t F1 ( p 2 ) p2t
pk t
1
k
i L1 (t )
e
e
e
F2 ( p1 )
F2 ( p 2 )
k 1 F2 ( p k )
E
R1
E
R1
R1 2 L1
L1
e
R1
t
L1
E E
e
R1 R1
R1
t
L1

49. Расчет схемы первого порядка

Применяем теорему разложения для расчета
оригинала функции напряжения. Находим корни:
R1
p1 .
R1 pL1 0.
L1
Вычисляем производную знаменателя:
F2 L1.
Находим оригинал
разложения:
напряжения
по
формуле
F1 ( p k ) pk t F1 ( p1 ) p1t
u L1 (t )
e
e
F2 ( p1 )
k 1 F2 ( p k )
n
EL1
e
L1
R1
t
L1
Ee
R1
t
L1

50. Расчет схемы первого порядка

R1
Е
С1
uвых
1.Определяем начальные условия:
R1
E
uС (0) = 0,
iС (0) = E/R1.

51. Расчет схемы первого порядка

2. Составляем операторную схему замещения и
уравнение по второму закону Кирхгофа:
R1
E/р
1/рC1
UC1(p)
E
U R1 ( p ) U C1 ( p )
p
1
E
I С1 ( p ) ( R1
)
pC1
p

52. Расчет схемы первого порядка

3. Получение операторных функций тока
напряжений в дробно-рациональной форме:
EC1
I С1 ( p )
.
1 pR1C1 1
p R1
pC1
E
EC1
1
E
U C1 ( p )
.
pR1C1 1 pC1 p ( pR1C1 1)
EC1 R1
U R1 ( p )
R1
.
pR1C1 1
1
p R1
pC1
E
и

53. Расчет схемы первого порядка

4. Применяем теорему разложения. Находим корни:
1
.
R1C1
Вычисляем производную знаменателя:
F2 1 2 pC1 R1.
5. Находим оригинал напряжения:
p ( pR1C1 1) 0.
p1 0, р 2
F1 ( p k ) pk t F1 ( p1 ) p1t F1 ( p 2 ) p2t
uC1 (t )
e
e
e
F2 ( p1 )
F2 ( p 2 )
k 1 F2 ( p k )
n
E
E
1
R1C1
1 2
R1C1
e
1
t
R1C1
E Ee
1
t
R1C1
.

54. Расчет схемы первого порядка

Применяем теорему разложения для
оригинала функции тока. Находим корни:
1
p1
.
pR1C1 1 0.
R1C1
Вычисляем производную знаменателя:
F2 R1C1.
расчета
Находим оригинал тока по формуле разложения:
F1 ( p k ) pk t F1 ( p1 ) p1t
iC1 (t )
e
e
F2 ( p1 )
k 1 F2 ( p k )
n
EC1
e
R1C1
1
t
R1C1
E
e
R1
1
t
R1C1
.

55. Переходной процесс в цепи переменного тока

Алгоритм расчета переходных процессов в цепях
переменного
синусоидального
тока
остается
неизменным. Следует учитывать, что начальные
условия и вынужденное значение переменной
представляются в комплексной форме. При этом,
свободная составляющая рассчитывается точно так
же, как и в цепи постоянного тока, поскольку общее
решение дифференциального уравнения не зависит от
внешнего воздействия.

56. RL-цепь на переменном токе

iL
R1
Еmsin(ϖt+ψ)
L1
uвых
1.Определяем начальные условия:
R1
Еmsin(ϖt+ψ)
uL(0)
uL (0) = Еmsinψ,
iL (0) = 0.

57. RL-цепь на переменном токе

2. Составляем уравнение по второму закону
Кирхгофа для цепи после коммутации:
R1 iL
Еmsin(ϖt+ψ)
uL
L1
di
Ri L Е m sin( t ).
dt
3. Характеристическое уравнение и корень не
зависят от характера внешнего воздействия:
p
R1
.
L1

58. RL-цепь на переменном токе

4. Определяем принужденную составляющую:
R1 iLпр
Еmsin(ϖt+ψ)
uLпр
L1
После окончания переходного процесса, ток на
катушке рассчитывается по методу комплексных
амплитуд:
I пр
E m e j
.
R1 j L1

59. RL-цепь на переменном токе

Zm
R1
2
I пр
Im
L1 ; Z
2
E m e j E
Z m e j Z
Em
,
Zm
I пр I m e j ,
L1
.
arctg
R1
E m j ( E Z )
e
.
Zm
E Z .
iпр (t ) I m sin t .

60. RL-цепь на переменном токе

5. Записываем решение в общем виде:
i L (t ) I m sin t Ае рt .
Решаем уравнение при t = 0 (начальные условия):
А I m sin .
Окончательное решение:
i L (t ) I m sin t
I m sin е
R1
t
L1
.

61. RL-цепь на переменном токе

Дифференцируем формулу для нахождения
напряжения на катушке:
di L
u L (t ) L
dt
R
1t
L1
d I m sin t I m sin е
L
dt
I m L1 cos t I m R1 sin e
R1
t
L1
U m sin t I m R1 sin e
2
R1
t
L1
.

62. RL-цепь на переменном токе

График изменения тока на катушке при включении
RL-цепи на синусоидальное напряжение:

63. RC-цепь на переменном токе

R1
Еmsin(ϖt+ψ)
С1
uвых
1.Определяем начальные условия:
R1
E
uС (0) = 0.

64. RC-цепь на переменном токе

2. Составляем уравнение по второму закону
Кирхгофа для цепи после коммутации:
R1
Еmsin(ωt+ψ)
uC = uC пр + uC св
C1
duC
R1C1
uC E m sin( t )
dt
3. Характеристическое уравнение и корень не
зависят от характера внешнего воздействия:
p
1
.
R1C1

65. RC-цепь на переменном токе

4. Определяем принужденную составляющую:
R1
Еmsin(ωt+ψ)
C1
uC пр
После
окончания
переходного
процесса,
напряжение на емкости рассчитывается по методу
комплексных амплитуд:
U пр
E m e j
j
j
I
.
C1 R j C1
1
C1

66. RC-цепь на переменном токе

Zm
R1
2
1
; Z
C1
2
1
C1
arctg
R1
j
U пр
2
E m e j E
j E m j ( E Z ) e
e
.
j Z
C1
Z me
C1 Z m
Im
U пр
.
Im
e
C1
Em
,
Zm
j
2
,
E Z .
Im
u пр (t )
sin t .
C1
2

67. RC-цепь на переменном токе

5. Записываем решение в общем виде:
Im
u с (t )
sin t Ае рt .
C1
2
Решаем уравнение при t = 0 (начальные условия):
Im
А
sin .
C1
2
Окончательное решение:
Im
u с (t )
sin t
C1
2
Im
sin е
C1
2
1
t
R1C1
.

68. RC-цепь на переменном токе

Находим функцию тока на емкости. Вынужденное
значение силы тока:
I пр I m e j ,
iпр (t ) I m sin t .
Свободная составляющая:
1
du c
Im
R1C1 t
iс (t ) C
sin е
.
dt
C1 R1
2
iс (t ) I m sin t
Im
sin е
C1
2
1
t
R1C1
.

69. RC-цепь на переменном токе

График изменения напряжения на конденсаторе
при включении RC-цепи
на синусоидальное
напряжение:

70. RC-цепь на переменном токе

График изменения тока на конденсаторе при
включении RC-цепи
на синусоидальное
напряжение:

71. Расчет схемы первого порядка

R1
E
iL
L1
uвых
1.Определяем начальные условия:
R1
E
uL(0)
uL (0) = E,
iL (0) = 0.

72. Расчет схемы первого порядка

2. Составляем операторную схему замещения и
уравнение по второму закону Кирхгофа:
E ( p j )
R1
IL1(p)
pL1
U R1 ( p ) U L1 ( p )
UL1(p)
E
.
p j
E
I L1 ( p ) ( R1 pL)
.
p j

73. Расчет схемы первого порядка

3. Получение операторных функций тока
напряжений в дробно-рациональной форме:
E
I L1 ( p )
.
( p j )( R1 pL1 )
E
U L1 ( p )
pL1
( p j )( R1 pL1 )
EpL1
.
( p j )( R1 pL1 )
и

74. Расчет схемы первого порядка

4. Применяем теорему разложения для расчета
оригинала тока. Находим корни:
R1
p1 j , р 2 .
( p j )( R1 pL1 ) 0.
L1
Вычисляем производную знаменателя:
F2 R1 L1 (2 p j ).
5. Находим оригинал тока по формуле разложения:
F1 ( p k ) pk t
Ee j
i L1 (t )
e
e j t
R1 j L1
k 1 F2 ( p k )
n
j
Ee
e
( R1 j L1 )
R1
t
L1
I m sin( t ) I m sin( )e
R1
t
L1
.