Дисциплина: Основы теории цепей
Лекция №14
Учебные вопросы
Литература
Недостатки классического метода
Сущность операторного метода
Этапы развития операторного метода
Этапы развития операторного метода
Преобразования Лапласа
Изображение напряжения на резистивном элементе
Изображение напряжения на индуктивном элементе
Изображение напряжения на ёмкостном элементе
Закон Ома в операторной форме для последовательной цепи
Законы Кирхгофа в операторной форме
Алгоритм анализа переходных процессов операторным методом
Алгоритм анализа переходных процессов операторным методом
Способы перехода к оригиналам
Теорема разложения
Теорема разложения (продолжение)
Алгоритм применения теоремы разложения
Пример. Пусть задано изображение в виде
595.00K
Category: physicsphysics

Теория цепей. Операторный метод анализа переходных процессов

1. Дисциплина: Основы теории цепей

2. Лекция №14

Тема: Операторный
метод анализа
переходных процессов

3. Учебные вопросы

1 Преобразование Лапласа и его
свойства.
2 Законы Ома и Кирхгофа в
операторной форме. Операторная
схема замещения.
3 Алгоритм анализа переходных
процессов операторным методом.
4 Определение оригинала по его
изображению. Теорема разложения.

4. Литература

1. Попов В.П. Основы
теории цепей: Учебник
для вузов спец.
"Радиотехника".-М.:
Высшая школа, 2007, с.
331-342.

5. Недостатки классического метода

1) ограниченность применения, используется в
основном в тех случаях, когда исследуемая
цепь имеет невысокий порядок сложности, а
внешнее воздействие на нее после коммутации
является гармонической функцией времени
либо постоянно;
2) громоздкость при анализе переходных
процессов цепей более второго порядка, так как
нахождение свободной составляющей и
постоянных интегрирований требует решение
алгебраических уравнений высокого порядка.

6. Сущность операторного метода

Расчет переходного процесса переносится из
области функций действительной переменной
(времени t) в область функций комплексного
переменного p j . При этом операции
дифференцирования и интегрирования функций
времени заменяются соответствующими
операциями умножения и деления функций
комплексного переменного на оператор p. Это
существенно упрощает расчет, так как сводит
систему дифференциальных уравнений к
системе алгебраической.

7. Этапы развития операторного метода

1. Математическое обоснование
операторного метода впервые
дано в 1862г. русским
математиком М.Е.ВащенкоЗахарченко, который показал
возможность применения
символического (операторного)
исчисления к интегрированию
дифференциальных уравнений
на основе прямого
преобразования Лапласа

8. Этапы развития операторного метода

2. В конце XIX в. английские
инженеры-электрики
О.Хэвисайд и Д.Карсон
успешно применили и
развили символический
метод решения
дифференциальных
уравнений для расчета
переходных процессов в
электрических цепях

9. Преобразования Лапласа

Прямое преобразование Лапласа
F ( p)
0
где f(t) – ограниченная функция
действительного переменного t,
f (t )e pt dt
определенная при (при t < 0; f(t) = 0) .
Обратное преобразование Лапласа определяют
из решения уравнения:
1
f (t )
2 j
c j
pt
F
(
p
)
e
dp
c j
Условные обозначения
соответствия оригинала
и изображения:
f (t ) F ( p); f (t ) F ( p); F ( p) L[ f (t )]; f (t ) L 1[ F ( p)]

10.

Функция оригинал f(t)
Выражение
функции
o при t 0
1(t )
1 при t 0
e t
1 e
e
t
e
1
p
1
p
p( p )
1
p2
t
t
Вид функции
Изображение
функции
F(p)
t
( p )( p )

11.

Свойства преобразования
Лапласа
1. Теорема о сложении или линейность
преобразования
L[a1 f1 (t ) a2 f 2 (t )] a1 L[ f1 (t )] a2 L[ f 2 (t )]
2. Теорема о дифференцировании
df (t )
L
pF
(
p
)
f
(
O
)
dt

12.

Свойства преобразования
Лапласа
3. Теорема об интегрировании
t
1
L f (t ) dt
F ( p)
p
0
4. Теорема запаздывания
L f (t T ) e
pT
L[ f (t )] e
pT
F ( p)

13. Изображение напряжения на резистивном элементе

Ur(t) = r i(t)
Операторная схема
замещения
U r ( p) r e pT i(t )dt rI ( p)
0
Ur(p) = r I(p)
Закон Ома в
операторной форме
для резистивного
элемента

14. Изображение напряжения на индуктивном элементе

UL
di
L
dt
U L(p) = - L i(0) + pLI(p)
Операторная схема
замещения
где i(0) = i(0-) = i(0+) – ток в
индуктивном элементе в
момент коммутации t = 0,
учитывающий начальные
условия (согласно первого
закона коммутации).

15. Изображение напряжения на ёмкостном элементе

1
u C (t ) u C (0) 1(t )
C
t
i
0
u C (0)
1
Uc ( p )
I
p
Cp
C
(t )dt Операторная схема
замещения
где Uc(0) = Uc(0-) = Uc(0+) –
напряжение на емкостном
элементе, соответствующее
(p)
начальному условию
(согласно второго закона
коммутации).

16. Закон Ома в операторной форме для последовательной цепи

U c (0 ) 0; i L (0 ) 0
t
( p)
t
di 1
di
1
u Ri L idt Ri L U c (0 ) idt
dt c
dt
c0
U c (o) 1
U ( p) RI ( p) LpI ( p) Li (0)
I ( p)
p
Cp
1
Z ( p)
1
R Lp
1
Cp
U ( p)
I ( p)
U ( p) Y ( p)
Z ( p)

17. Законы Кирхгофа в операторной форме

Первый закон Кирхгофа в операторной форме:
Он гласит: алгебраическая сумма
операторных токов в любом узле
цепи равна нулю.
Второй закон Кирхгофа в операторной форме:
Он гласит: алгебраическая сумма
операторных падений
напряжений на всех участках
замкнутого контура равна
алгебраической сумме
операторных ЭДС, включенных
в этот контур.

18.

Операторная схема
замещения
При составлении эквивалентных операторных схем источники
тока и напряжений i(t) и U(t) заменяются
соответствующими изображениями I(p) и U(p),
индуктивность L заменяется на Lp, а емкость C – на 1/Cp
при нулевых начальных условиях.
Если начальные условия ненулевые, то последовательно с
Lp добавляется источник напряжения Li(0), а с C –
источник напряжения –Uc(0)p

19. Алгоритм анализа переходных процессов операторным методом

1. Изображается исходная расчетная схема
замещения цепи и определяются
начальные условия коммутации.
2. Все известные электрические величины и
параметры изображаются в операторной
форме (сложные функции – с помощью
таблиц оригиналов и изображений) и
осуществляется переход к операторной
схеме замещения цепи.

20. Алгоритм анализа переходных процессов операторным методом

3. На основе законов Ома, Кирхгофа в операторной форме в
соответствии с выбранным методом расчета цепи после
ее коммутации составляется система операторных
уравнений с учетом начальных условий, которая
решается относительно изображений искомых
переходных токов и напряжений.
4. Полученные изображения искомых переходных токов и
напряжений преобразуются либо к табличным, либо к
виду, удобному для применения теоремы разложения, и
определяются оригиналы (переходные токи и
напряжения).
5. Производится анализ характера переходного процесса.

21. Способы перехода к оригиналам

Способы перехода
к оригиналам
С помощью таблиц
оригиналов
и изображений
С помощью
обратного
преобразования
Лапласа
На основе
теоремы
разложения

22. Теорема разложения

Теорема разложения формулируется следующим
образом.
Если изображение искомой функции можно
представить в виде рациональной дроби
F1 ( p) a m p m a m 1 p m 1 ... a0
F ( p)
F2 ( p)
bn p n bn 1 p n 1 ... b0
где многочлены F1(p) и F2(p) общих корней не
имеют;
ak и bk – действительные числа,

23. Теорема разложения (продолжение)

то F(p) можно разложить на ряд слагаемых,
каждому из которых соответствует табличный
интеграл
F ( p)
F1 ( p1 )
1
F(p )
1
F(p )
F(p )
F(p )
1 2
... 1 1 e p t 1 2 e p t ... 1 n e p t
F2 ( p1 ) p p1 F2 ( p2 ) p p2
F2 ( p1 )
F2 ( p 2)
F2 ( pn )
1
2
где p1,p2,...,pn – корни характеристического уравнения F2(p) = 0;
F1(p1),F1(p2),…,F1(pn) – значения многочлена числителя при
соответствующих корнях
p1,p2,…,pn характеристического уравнения;
F2 ( p1 ), F2 ( p2 ),...., F2 ( pn )
- значения производных многочлена знаменателя при
соответствующих корнях p1,p2,…,pn характеристического
уравнения.
n

24. Алгоритм применения теоремы разложения

1. Изображение искомой функции представить в
виде рациональной дроби.
2. Составить характеристическое уравнение
знаменателя и определить его корни p1,p2,…,pn.
3. Определить значения многочлена числителя при
каждом из корней характеристического
уравнения.
4. Определить в общем виде производную
многочлена знаменателя и ее значения при
каждом из корней характеристического
уравнения.
5. По теореме разложения записать оригинал
(искомую функцию).

25. Пример. Пусть задано изображение в виде

p 2
F ( p)
p ( p 2 5 p 4)
Необходимо найти его оригинал.
Решение.
Обозначим F1(p) = p +2; F2(p) = p(p2 + 5p +4).
Найдем корни характеристического уравнения F2(p) = p(p2
+ 5p +4) = 0.
p1 = 0; p2 = - 1; p3 = - 4.
При этом F1(p1) = 2; F1(p2) = 1; F1(p3) = - 2.
Определим производную
2
F2 ( p) 3 p 10 p 4
Отсюда
F2 ( p1 ) 4
F2 ( p2 ) 3
F2 ( p3 ) 12
Окончательно получим:
F1 ( p1 ) p t F1 ( p2 ) p t F1 ( p3 ) p t 1 1 t 1 4t
f (t )
e
e
e e e
F2 ( p1 )
F2 ( p2 )
F2 ( p3 )
2 3
6
1
2
3
English     Русский Rules