Эффекты квантования чисел в цифровых цепях

1. Лекция по учебной дисциплине «Цифровая схемотехника и обработка сигналов» (Д-0205-1) Тема № 9: «Описание ЛДС в частотной

ВОЕННАЯ АКАДЕМИЯ СВЯЗИ
Лекция
по учебной дисциплине «Цифровая схемотехника и обработка
сигналов»
(Д-0205-1)
Тема № 9: «Описание ЛДС в частотной области»
Занятие № 34: «Эффекты квантования чисел в
цифровых цепях»
Руководитель занятия – доцент кафедры, к.т.н., доцент,
полковник Филимонов Василий Александрович
г. Санкт-Петербург
2018

2. Учебные цели:

2
Учебные цели:
Изучить
процесс
формирования
шума (ошибок) квантования и свойства
шума квантования.
2.
Дать представление о способах
квантования и кодирования чисел в
системах ЦОС.
3.
Изучить влияние шума квантования
АЦП.
1.
Кафедра №2, ВАС

3. Учебные вопросы:

3
Учебные вопросы:
1. Способы квантования чисел.
2. Шум
аналого-цифрового
преобразования.
3. Собственный шум цифровой
цепи.
4. Эффекты
квантования
коэффициентов.
Кафедра №2, ВАС

4. Литература для самостоятельной работы обучаемых:

4
Литература для самостоятельной работы обучаемых:
1. Цифровая обработка сигналов. Краткий курс/ Д. А.
Улахович – СПб.: ВАС, 2017. – 408 с. (стр. 107-134).
2. Цифровая обработка сигналов./ Авторы: Д. А. Улахович/
Электронное учеб. пособие /– СПб.: ВАС, 2015.
Кафедра №2, ВАС

5. Первый учебный вопрос

5
Способы квантования
чисел
Кафедра №2, ВАС

6. Первый учебный вопрос

6
Первый учебный вопрос
1. Источники шума (ошибок) квантования; допущения о свойствах
шума квантования
Источники шума (ошибок) квантования в цифровых системах:
1) аналого-цифровое преобразование (АЦП) сигналов;
2) умножение цифровых сигналов, результат которого округляется или усекается;
3) квантование коэффициентов (разностного уравнения или передаточной функции).
Кафедра №2, ВАС

7. Первый учебный вопрос

7
Первый учебный вопрос
1. Источники шума (ошибок) квантования; допущения о свойствах
шума квантования
Источники шума (ошибок) квантования в цифровых системах:
1) аналого-цифровое преобразование (АЦП) сигналов;
2) умножение цифровых сигналов, результат которого округляется или усекается;
3) квантование коэффициентов (разностного уравнения или передаточной функции).
Свойства шума квантования e(n):
1) последовательность e(n) является случайным
процессом типа «белый шум», т. е. любые её два
отсчёта не коррелированы ;
2) последовательность e(n) не коррелирована как с
квантуемой последовательностью x(n), так и с шумом
от других источников;
3) представляет собой ошибку округления e(n) = eₒ(n);
Кафедра №2, ВАС

8. Первый учебный вопрос

8
Первый учебный вопрос
1. Источники шума (ошибок) квантования; допущения о свойствах
шума квантования
Источники шума (ошибок) квантования в цифровых системах:
1) аналого-цифровое преобразование (АЦП) сигналов;
2) умножение цифровых сигналов, результат которого округляется или усекается;
3) квантование коэффициентов (разностного уравнения или передаточной функции).
e(n) eo (n)
Свойства шума квантования e(n):
Рис. 1
1) последовательность e(n) является случайным
процессом типа «белый шум», т. е. любые её два
xц ( n ) x (n ) e(n )
x(n)
отсчёта не коррелированы ;
2) последовательность e(n) не коррелирована как с
квантуемой последовательностью x(n), так и с шумом
от других источников;
3) представляет собой ошибку округления e(n) = eₒ(n);
4) шум является аддитивным (рис. 1);
Кафедра №2, ВАС

9. Первый учебный вопрос

9
Первый учебный вопрос
1. Источники шума (ошибок) квантования; допущения о свойствах
шума квантования
Источники шума (ошибок) квантования в цифровых системах:
1) аналого-цифровое преобразование (АЦП) сигналов;
2) умножение цифровых сигналов, результат которого округляется или усекается;
3) квантование коэффициентов (разностного уравнения или передаточной функции).
e(n) eo (n)
Свойства шума квантования e(n):
Рис. 1
1) последовательность e(n) является случайным
процессом типа «белый шум», т. е. любые её два
xц ( n ) x (n ) e(n )
x(n)
отсчёта не коррелированы ;
2) последовательность e(n) не коррелирована как с
P ( e)
квантуемой последовательностью x(n), так и с шумом
от других источников;
1
3) представляет собой ошибку округления e(n) = eₒ(n);
Q
4) шум является аддитивным (рис. 4);
5) распределение вероятности ошибок равномерно по
диапазону ошибок квантования (рис. 5).
Рис. 2
Q
2
0
Q
2
e
Кафедра №2, ВАС

10. Первый учебный вопрос

10
Первый учебный вопрос
1.2. Представление двоичного числа в регистре
8-битовый (8-разрядный) регистр,
m – длина
m=8
Номер бита
7
6
5
4
3
2
1
0
Знаковый
разряд
Знак:
«+» 0
«-» 1
Логическая
точка
(запятая)
Значащие разряды
b = m-1
Рис. 3. Регистр (элемент памяти) при использовании арифметики с фиксированной точкой (запятой)
Кафедра №2, ВАС

11. Первый учебный вопрос

11
Первый учебный вопрос
1.2. Представление двоичного числа в регистре
8-битовый (8-разрядный) регистр,
m – длина
m=8
Номер бита
7
6
5
4
3
2
1
Знаковый
разряд
8-битовый (8-разрядный) регистр,
m – длина
m=8
0
Номер бита
Знаковый
разряд
Знак:
«+» 0
«-» 1
Логическая
точка
(запятая)
7
6
5
4
3
2
0
0 1
1
0
1 0
1
0
1
Знак:
«+» 0
«-» 1
Значащие разряды
b = m-1
Логическая
точка
(запятая)
Значащие разряды
b = m-1
Рис. 3. Регистр (элемент памяти) при использовании арифметики с фиксированной точкой (запятой)
Кафедра №2, ВАС

12. Первый учебный вопрос

12
Квантование выполняется двумя способами:
1. Усечение k-разрядного числа до b значащих разрядов (k > b)
Максимальная ошибка усечения
0.0110 11
равна шагу квантования:
0,421875
b
max eу (n ) Q 2
(1)
n
0.0110
0,375
Кафедра №2, ВАС

13. Первый учебный вопрос

13
Квантование выполняется двумя способами:
1. Усечение k-разрядного числа до b значащих разрядов (k > b)
Максимальная ошибка усечения
0.0110 11
0.0110
равна шагу квантования:
0,421875
0,375
b
max eу (n ) Q 2
(1)
n
2. Округление k-разрядного числа до b значащих разрядов (k > b)
а) Округление до ближайшего
Q
xо (n) x(n)
2
max eо ( n )
n
0.0110 11
0,421875
max eо ( n )
n
(2)
Q
2 b 1
2
(3)
0.0111
0,4375
Q
2 b 1
2 5 0,015625
b 4
2
eо 0,015625
Кафедра №2, ВАС

14. Первый учебный вопрос

0 A 1;
A 0, a1, a2 ,..., a j ,..., ab ;
a j ,
14
j 1, 2, ... , b
Значащие разряды
Прямой код
A 0
0. a1 a2 ... a j ... ab
0. 1 0 1 1 1
A 0
1. a1 a2 ... a j ... ab
1. 1 0 1 1 1
используется при
выполнении
умножения
Кафедра №2, ВАС

15. Первый учебный вопрос

0 A 1;
A 0, a1, a2 ,..., a j ,..., ab ;
a j ,
15
j 1, 2, ... , b
Значащие разряды
A 0
A 0
Прямой код
Обратный код
0. a1 a2 ... a j ... ab
0. a1 a2 ... a j ... ab
0. 1 0 1 1 1
0. 1 0 1 1 1
1. a1 a2 ... a j ... ab
1. a1 a2 ... a j ... ab
1. 1 0 1 1 1
1.0 1 0 00
используется при
выполнении
умножения
Кафедра №2, ВАС

16. Первый учебный вопрос

16
Первый учебный вопрос
0 A 1;
A 0, a1, a2 ,..., a j ,..., ab ;
a j ,
j 1, 2, ... , b
Значащие разряды
Прямой код
A 0
A 0
Обратный код
Дополнительный код
0. a1 a2 ... a j ... ab
0. a1 a2 ... a j ... ab
0. a1 a2 ... a j ... ab
0. 1 0 1 1 1
0. 1 0 1 1 1
0. 1 0 1 1 1
1. a1 a2 ... a j ... ab
1. a1 a2 ... a j ... ab
1. a1 a2 ... a j ... ab 2 b
1. 1 0 1 1 1
1.0 1 0 00
1.0 1 0 0 0 2 5
1.0 1 0 0 1
используется при
выполнении
умножения
Подобен без знаковому
числу: бит, находящийся в
знаковом разряде, участвует
во всех арифметических
операциях
Кафедра №2, ВАС

17. Первый учебный вопрос

17
Первый учебный вопрос
Уровни
квант.
x ( n)
x (t )
x ( n)
q7 111
Шаг квантования
q6 110
Q 2 b qi qi 1 q1 const
q5 101
q4 100
Варианты
округления
q3 011
q2 010
Q 2 3
1
0,125
8
b 7
q1 001
q0
b 3
000
0
1
2
3
4
……………………………..
k
…………………
n
Q 2 7
1
1
7
128
2
Рис. 2. Формирование цифрового сигнала (квантование по времени и по уровню)
x(t) – аналоговый сигнал, подвергающийся дискретизации,
x͂(n)– дискретный сигнал с неограниченной точностью представления отсчётов,
x(n)– цифровой сигнал, значения которого отмечены точками.
Количество уровней квантования (включая нулевой) R 2b ;
int[a] - ближайшее целое, не меньшее a
b int log2 R
Пример 1:
b int log2 8 3; b int log2120 int 6,9068904 7
В системах ЦОС с фиксированной точкой (запятой):
0 A 1 0 A 1 2 b.
Кафедра №2, ВАС

18. Второй учебный вопрос

18
Второй учебный вопрос
Шум аналого-цифрового
преобразования
Кафедра №2, ВАС

19. Второй учебный вопрос

19
2. Оценки шума АЦП при округлении чисел
eАА ( n )
x (t )
Идеальный x(n)
дискретизатор
xц ( n ) x ( n ) x ( n ) eА ( n )
Рис. 5
Кафедра №2, ВАС

20. Второй учебный вопрос

20
Второй учебный вопрос
2. Оценки шума АЦП при округлении чисел
eАА ( n )
x (t )
Идеальный x(n)
дискретизатор
xц ( n ) x ( n ) x ( n ) eА ( n )
Рис. 5
Вероятностные оценки:
2
1
1 e А (n)
A E eA (n ) eА (n ) pА (e) deА (n ) eА (n )
deА (n )
Q
QА 2
A
QА 2
Математическое
ожидание:
QА 2
3
1
1 e А (n)
2
2
2
2
deА (n )
Дисперсия: А E eA ( n ) A eА ( n ) pА ( e)deА ( n ) eА ( n )
Q
QА 3
А
QА 2
QА 2
QА 2
0.
QА 2
QА 2
QА 2
QА2
.
12
Кафедра №2, ВАС

21. Второй учебный вопрос

21
Второй учебный вопрос
2. Оценки шума АЦП при округлении чисел
eАА ( n )
Идеальный x(n)
дискретизатор
x (t )
xц ( n ) x ( n ) x ( n ) eА ( n )
Рис. 5
Вероятностные оценки:
2
1
1 e А (n)
A E eA (n ) eА (n ) pА (e) deА (n ) eА (n )
deА (n )
Q
QА 2
A
QА 2
Математическое
ожидание:
QА 2
QА 2
0.
QА 2
QА 2
3
1
1 e А (n)
2
2
2
2
deА (n )
Дисперсия: А E eA ( n ) A eА ( n ) pА ( e)deА ( n ) eА ( n )
Q
QА 3
А
QА 2
QА
2bА
2
QА
2
Мощность шума
PА 10lg
10lg
20bА lg 2 10lg12 (6,02bА 10,79) [дБ].
квантования:
12
12
Детерминированная
оценка:
абсолютная граница
шума АЦП
QА 2
EA max eA ( n )
n
2
QА2
.
12
QА
2 bА 1.
2
Кафедра №2, ВАС

22. Второй учебный вопрос

22
Второй учебный вопрос
2. Оценки шума АЦП при округлении чисел
eАА ( n )
Идеальный x(n)
дискретизатор
x (t )
xц ( n ) x ( n ) x ( n ) eА ( n )
Рис. 5
Вероятностные оценки:
2
1
1 e А (n)
A E eA (n ) eА (n ) pА (e) deА (n ) eА (n )
deА (n )
Q
QА 2
A
QА 2
Математическое
ожидание:
QА 2
QА 2
0.
QА 2
QА 2
3
1
1 e А (n)
2
2
2
2
deА (n )
Дисперсия: А E eA ( n ) A eА ( n ) pА ( e)deА ( n ) eА ( n )
Q
QА 3
А
QА 2
QА
2bА
2
QА
2
Мощность шума
PА 10lg
10lg
20bА lg 2 10lg12 (6,02bА 10,79) [дБ].
квантования:
12
12
Детерминированная
оценка:
Пример:
QА 2
абсолютная граница
шума АЦП
bА 8,
bА 12,
A 0,
A 0,
EA max eA ( n )
n
PA 58.8,
PA 82.8,
2
QА2
.
12
QА
2 bА 1.
2
EA 2 9 0.001953125
EA 2 13 0.000122
Кафедра №2, ВАС

23. Второй учебный вопрос

23
2. Шум АЦП, приведённый к выходу цифровой системы
Условия:
• коэффициенты системы и все арифметические операции реализуются точно;
• шум АЦП аддитивный.
eА ( n )
x(n)
x(n) x(n) eА (n) Цифровая y(n) eA,вых (n)
система
h( n )
Кафедра №2, ВАС

24. Второй учебный вопрос

24
Второй учебный вопрос
2. Шум АЦП, приведённый к выходу цифровой системы
Условия:
• коэффициенты системы и все арифметические операции реализуются точно;
• шум АЦП аддитивный.
eА ( n )
x(n) x(n) eА (n) Цифровая y(n) eA,вых (n)
система
y
(
n
)
h(m) x (n m)
x(n) - отсчеты дискретного входного сигнала,
h( n )
m 0
представленного точно;
eA ( n ) - шум АЦП;
x(n)
x(n) - квантованный сигнал;
y (n) - отсчеты дискретного выходного сигнала,
представленного точно;
eA, вых (n ) - шум АЦП, приведённый к выходу
цифровой системы;
eA, вых (n) h(m) eA (n m)
m 0
Кафедра №2, ВАС

25. Второй учебный вопрос

25
Второй учебный вопрос
m 0
m 0
А, вых E eА, вых E h (m ) eА (n m ) h (m ) E eА (n m ) 0;
2
A,
вых
EА 0
2
QА2 2
2
2
2
E eA, вых (n ) A, вых E eA, вых (n ) h (m) E eA (n m)
h (m)
m 0
12 m
0
2
0
Q
2 А
A
12
Кафедра №2, ВАС

26. Третий учебный вопрос

26
Собственный шум
цифровой системы
Кафедра №2, ВАС

27. Третий учебный вопрос

27
Определение:
Собственный шум цифровой системы — это выходной шум квантования, обусловленный
округлением результатов операций умножения.
Для анализа собственного шума необходимо:
1. Составить линейную модель цифровой системы, учитывающую шумы квантования в
тех точках системы, в которых выполняется операция умножения.
2. Вычислить все реакции системы на каждый шумовой сигнал, формируемый
умножителем (составляющие собственного шума).
3. Найти оценки собственного шума цифровой системы на основе полученных
составляющих.
Кафедра №2, ВАС

28. Третий учебный вопрос

28
Определение:
Собственный шум цифровой системы — это выходной шум квантования, обусловленный
округлением результатов операций умножения.
Для анализа собственного шума необходимо:
1. Составить линейную модель цифровой системы, учитывающую шумы квантования в
тех точках системы, в которых выполняется операция умножения.
2. Вычислить все реакции системы на каждый шумовой сигнал, формируемый
умножителем (составляющие собственного шума).
3. Найти оценки собственного шума цифровой системы на основе полученных
составляющих.
Кафедра №2, ВАС

29. Третий учебный вопрос

29
Третий учебный вопрос
1. Собственный шум умножителя
Условие: умножение осуществляется точно, а к
результату подмешивается аддитивная ошибка
квантования.
eу ( n )
x(n)
a
ax(n)
xу (n ) ax(n ) eу (n )
Рис. 7. Линейная модель умножителя с
квантованием
Параметры:
• ошибка квантованияeу (n ),
• разрядность результата умножения
• шаг квантования
Оценки шума:
математическое ожидание У 0;
дисперсия
У2 QУ2 12;
абсолютная граница
EУ max eУ (n ) QУ 2 2 bУ 1.
n
Кафедра №2, ВАС

30. Третий учебный вопрос

30
Третий учебный вопрос
3.2. Полный собственный шум цепи
Составляющие полного собственного шума — это реакции цифровой
цепи на ошибки каждого умножителя.
Hi ( z)
H1 ( z )
H L ( z)
ai
i-ый
Импульсная характеристика от
hi ( n ) i-го источника шума до выхода
источник
eiу (n) eу (n)
шума
цепи
Рис. 8
По свойству линейности цифровой системы:
L
eу,вых (n ) eу i ,вых (n )
eу i , вых ( n ) hi ( m ) eу i ( n m )
i 1
m 1
m 0
m 0
у i , вых hi (m) E eу (n m) hi (m ) у i 0
0
m 0
hi ( m ) eу ( n m )
m 1
eу i eу
У2 i , вых У2 i hi2 ( m )
m 0
EУ i ,вых max eУ i ,вых (n) EУ i hi (m)
n
QУ2 2
hi (m)
12 m 0
QУ
hi (m)
2 m 0
Кафедра №2, ВАС

31. Третий учебный вопрос

31
Полный собственный шум цепи
Математическое ожидание
L
μ У,вых μ У i,вых 0
i 1
σ 2У i , вых
QУ2 L 2
hi ( m)
12 i 1 m 0
EУ,вых EУ i,вых
QУ L
hi (m)
2 i 1 m 0
σ 2У, вых
Дисперсия
L
i 1
L
Абсолютная граница
i 1
Полный выходной шум цепи
eвых (n) eА,вых (n) eу,вых (n)
μ вых μ А,вых μ У,вых 0
σ 2вых σ 2А, вых σ 2у, вых
Eвых max eвых ( n ) EА, вых Eу, вых
n
Кафедра №2, ВАС

32. Четвертый учебный вопрос

32
Эффекты квантования в
цифровых цепях
Кафедра №2, ВАС

33.

Четвертый учебный вопрос
33
1. Эффекты квантования коэффициентов
Квантование коэффициентов эквивалентно изменению значений нулей и полюсов
передаточной функции, что приводит к изменению частотных характеристик цепи.
В БИХ-цепях квантование коэффициентов может привести к потере устойчивости
цепи!
Кафедра №2, ВАС

34.

Четвертый учебный вопрос
34
1. Эффекты квантования коэффициентов
Квантование коэффициентов эквивалентно изменению значений нулей и полюсов
передаточной функции, что приводит к изменению частотных характеристик цепи.
В БИХ-цепях квантование коэффициентов может привести к потере устойчивости
цепи!
1
H ( z)
1 1,603z 1 0,645z 2
z 1,2 0,8 0,05 j 0,8016 e j 3,6
z 1,2 1
а)
Рис. 9
Кафедра №2, ВАС

35.

35
Четвертый учебный вопрос
1. Эффекты квантования коэффициентов
Квантование коэффициентов эквивалентно изменению значений нулей и полюсов
передаточной функции, что приводит к изменению частотных характеристик цепи.
В БИХ-цепях квантование коэффициентов может привести к потере устойчивости
цепи!
1
1
Округление до
H ( z)
H
(
z
)
1
2
десятых
1 1,603z 0,645z
1 1,6 z 1 0,6 z 2
z 1,2 0,8 0,05 j 0,8016 e j 3,6
z 1 1 j 0,2 1,02 e j 0,063π
z 2 0,6 j 0,2 0,63 e j 0,1π
z 1,2 1
а)
б)
Рис. 9
Кафедра №2, ВАС

36.

36
Четвертый учебный вопрос
2. Понятие о предельных циклах
Виды предельных циклов:
• предельные циклы низкого уровня, связанные с квантованием отсчетов обрабатываемого
сигнала;
• предельные циклы высокого уровня, связанные с переполнениями регистров сумматоров.
Определение:
Предельными циклами низкого уровня называют незатухающие колебания, которые
могут возникать в рекурсивных системах при отсутствии (или малом уровне)
воздействия и ненулевых начальных условиях.
Появление этих колебаний обусловлено ошибками округления при квантовании сигналов на
выходах умножителей.
y(n) x(n) 0,8 y(n 1); x(n) 0; Ненулевые начальные условия :
n
y(n) 0,8 y(n 1)
y (n) с округлением
0
0,8
0,8
1
0,64
0,6
2
0,48
0,5
3
0,4
0,4
4
0,32
0,3
5
0,24
0,2
6
0,16
0,2
y( 1) 1
7
0,16
0,2
8
0,16
0,2
…
…
…
предельный цикл низкого
уровня
Кафедра №2, ВАС

37. Четвертый учебный вопрос

37
3. Переполнение в сумматорах и коэффициенты масштабирования
Определение:
Переполнением называют такое состояние сумматора, когда при сложении отсчётов
одинаковых знаков, значения которых по абсолютной величине не превышают единицы,
сумма оказывается больше единицы.
Кафедра №2, ВАС

38. Четвертый учебный вопрос

38
3. Переполнение в сумматорах и коэффициенты масштабирования
Определение:
Переполнением называют такое состояние сумматора, когда при сложении отсчётов
одинаковых знаков, значения которых по абсолютной величине не превышают единицы,
сумма оказывается больше единицы.
x1 (n) 0,5
1, 25
x2 (n) 0,75
0.100
0.110
1.010 0, 25
результат сложения
в дополнительном
коде
Рис. 10. Эффект
переполнения
Кафедра №2, ВАС

39. Четвертый учебный вопрос

39
3. Переполнение в сумматорах и коэффициенты масштабирования
Определение:
Переполнением называют такое состояние сумматора, когда при сложении отсчётов
одинаковых знаков, значения которых по абсолютной величине не превышают единицы,
сумма оказывается больше единицы.
x1 (n) 0,5
1, 25
x2 (n) 0,75
0.100
0.110
1.010 0, 25
результат сложения
в дополнительном
коде
Рис. 10. Эффект
переполнения
Масштабирование сигналов: подбирается такая положительная константы γ < 1,
умножение на которую отсчётов обрабатываемой последовательности (сигнала) исключает
переполнение сумматора.
Кафедра №2, ВАС

40. Четвертый учебный вопрос

40
Пример (рис. 11) простейшего масштабирования по количеству звеньев второго
порядка
1
γ 2 1
2
γ
γ
γ
Выход
Вход
H L ( z)
H 2 ( z)
H1 ( z )
γс 2
Вход
2 L
Рис. 11
.
L
а
коэффициент масштабирования системы
Выход
H1 ( z )
H L ( z)
б
Кафедра №2, ВАС

41. Заключение

41
В цифровых системах проблема точности представления параметров
системы (коэффициентов передаточных функций и иных констант) и
результатов арифметических вычислений является чрезвычайно
актуальной. Без учёта эффектов их квантования всегда возможно
получить ошибочный результат. По этой причине при реализации того или
иного алгоритма в процессорах с фиксированной точкой применяют
представление чисел с двойной точностью; если же и это не спасает, то
переходят к процессорам с плавающей точкой, что далеко не всегда
эффективно.
Кафедра №2, ВАС

42.

ЛЕКЦИЯ ЗАВЕРШЕНА!