Фильтры с бесконечной импульсной характеристикой. Построение структурных схем БИХ-фильтров

1. Лекция по учебной дисциплине «Цифровая схемотехника и обработка сигналов» (Д-0205-1) Тема № 11: «Фильтры с бесконечной

ВОЕННАЯ АКАДЕМИЯ СВЯЗИ
Лекция
по учебной дисциплине «Цифровая схемотехника и обработка
сигналов»
(Д-0205-1)
Тема № 11: «Фильтры с бесконечной импульсной
характеристикой»
Занятие № 45: «Построение структурных схем БИХфильтров»
Руководитель занятия – доцент кафедры, к.т.н., доцент,
полковник Филимонов Василий Александрович
г. Санкт-Петербург
2018

2. Учебные цели:

2
Учебные цели:
Научиться
синтезировать
БИХфильтры методом билинейного Zпреобразования
с
использованием
пакета программ FD3.
2.
Подготовить
курсантов
к
лабораторной работе.
1.
Кафедра №2, ВАС

3. Учебные вопросы:

3
Учебные вопросы:
1. Пример синтеза фильтра по
заданным требованиям.
2. Расчёт
добротностей
полюсов.
3. Конструирование каскадной
(последовательной) схемы.
4. Система
разностных
уравнений.
Кафедра №2, ВАС

4. Первый учебный вопрос

4
Первый учебный вопрос
Пример синтеза фильтра
по заданным
требованиям
Кафедра №2, ВАС

5.

Первый учебный вопрос
5
1. Задание требований:
частота дискретизации fд = 2000 Гц;
граничные частоты: f–k = 200 Гц; f–χ = 350 Гц; fχ = 600 Гц; fk = 750 Гц;
допустимые отклонения: в полосе пропускания amax = 1 дБ (δ1 = 0,108749), в полосе
задерживания a0 = –30 дБ (δ2 = 0,0316228);
аппроксимация АЧХ – Золотарёва-Кауэра.
2. Расчёт заданного фильтра.
Рассмотреть содержание всех окон и возможности их управления:
фильтр рассчитывается автоматически (в данном случае он равен 6) и не может быть
изменён;
сколько звеньев 2-го порядка (биквадратных звеньев) содержит фильтр 6 порядка;
обратить внимание на принципиальную нелинейность ФЧХ БИХ-фильтров и наличие
скачков на π рад в полосах задерживания на тех частотах, где A(f) = 0. Пояснить связь
между АЧХ и картой нулей и полюсов;
убедиться в бесконечности импульсной характеристики БИХ-фильтра.
Кафедра №2, ВАС

6. Второй учебный вопрос

6
Расчёт добротностей
полюсов
Кафедра №2, ВАС

7. Второй учебный вопрос

Добротность Qk k-го нуля или полюса определяется по формуле:
где rk – радиус полюса (нуля),
Qk
7
ˆk
rk
1 rk2
ˆ k – нормированная частота (угол) полюса (нуля).
Поскольку добротности комплексно-сопряжённых полюсов (нулей) одинаковы, достаточно вычислить до
Радиусы и нормированные частоты можно найти по координатам η и ξ на карте нулей и полюсов. Так, д
z*1,2 r*1e jω̂* ξ*1 jη*1 0,0699405 j 0,80144,
r*1 0,06994052 0,801442 0,804486,
0,80144
arctg11,458882=1,4837482 [рад],
0,0699405
0,804486 1,4837482 0,804486 1,4837482
Q*1
3,3833552.
1 0,8044862
1 0,647198
ω̂*1 arctg
Кафедра №2, ВАС

8. Второй учебный вопрос

8
Второй учебный вопрос
Добротность Qk k-го нуля или полюса определяется по формуле:
где rk – радиус полюса (нуля),
Qk
ˆk
rk
1 rk2
ˆ k – нормированная частота (угол) полюса (нуля).
Поскольку добротности комплексно-сопряжённых полюсов (нулей) одинаковы, достаточно вычислить до
Радиусы и нормированные частоты можно найти по координатам η и ξ на карте нулей и полюсов. Так, д
z*1,2 r*1e jω̂* ξ*1 jη*1 0,0699405 j 0,80144,
r*1 0,0699405 0,80144 0,804486,
2
2
0,80144
arctg11,458882=1,4837482 [рад],
0,0699405
0,804486 1,4837482 0,804486 1,4837482
Q*1
3,3833552.
1 0,8044862
1 0,647198
ω̂*1 arctg
Аналогично для второй пары полюсов:
z*3,4 r*3e jω̂* ξ*3 jη*3 0,414262 j 0,825008,
r*3 0,4142622 0,8250082 0,923174,
0,825008
arctg1,9915126 1,1054454 [рад],
0,414262
0,923174 1,1054454 0,923174 1,1054454
Q*3
6,9;
1 0,9231742
1 0,852251
ω̂*3 arctg
Кафедра №2, ВАС

9. Второй учебный вопрос

9
Второй учебный вопрос
Добротность Qk k-го нуля или полюса определяется по формуле:
где rk – радиус полюса (нуля),
Qk
ˆk
rk
1 rk2
ˆ k – нормированная частота (угол) полюса (нуля).
Поскольку добротности комплексно-сопряжённых полюсов (нулей) одинаковы, достаточно вычислить до
Радиусы и нормированные частоты можно найти по координатам η и ξ на карте нулей и полюсов. Так, д
z*1,2 r*1e jω̂* ξ*1 jη*1 0,0699405 j 0,80144,
r*1 0,0699405 0,80144 0,804486,
2
2
0,80144
arctg11,458882=1,4837482 [рад],
0,0699405
0,804486 1,4837482 0,804486 1,4837482
Q*1
3,3833552.
1 0,8044862
1 0,647198
ω̂*1 arctg
и для третьей пары полюсов:
Аналогично для второй пары полюсов:
z*3,4 r*3e jω̂* ξ*3 jη*3 0,414262 j 0,825008,
r*3 0,4142622 0,8250082 0,923174,
0,825008
arctg1,9915126 1,1054454 [рад],
0,414262
0,923174 1,1054454 0,923174 1,1054454
Q*3
6,9;
1 0,9231742
1 0,852251
ω̂*3 arctg
z*5,6 r*5e jω̂* ξ*5 jη*5 0,277788 j 0,875263,
r*5
0,277788
2
0,8752632 0,918287,
0,875263
arctg 3,15083 1,877118 [рад],
0,277788
0,918287 1,877118 0,918287 1,877118
Q*5
10,996.
1 0,9182872
1 0,843251
ω̂*5 arctg
Кафедра №2, ВАС

10. Третий учебный вопрос

10
Конструирование
каскадной
(последовательной)
схемы
Кафедра №2, ВАС

11.

Третий учебный вопрос
11
1. Формирование биквадратных звеньев и расположение их в каскадной структуре.
Вследствие полученных результатов имеет место следующее соотношение добротностей полюсов:
Q*1,2 Q*3,4 Q*5,6
поэтому в таком порядке (слева направо) в каскадной структуре и должны располагаться
соответствующие биквадратные звенья, которые формируются из полюсов и нулей, наиболее близко
расположенных друг к другу, т. е. имеющих близкие добротности. Поскольку в исследуемом случае все
нули лежат на единичной окружности, то их радиусы равны единице, и выбор нулей в пары с полюсами
целесообразно производить только по принципу близкого расположения, начиная с полюса максимальной
добротности. Тогда для формирования биквадратных звеньев получим следующие пары полюсов и нулей:
Кафедра №2, ВАС

12.

Третий учебный вопрос
12
1. Формирование биквадратных звеньев и расположение их в каскадной структуре.
Вследствие полученных результатов имеет место следующее соотношение добротностей полюсов:
Q*1,2 Q*3,4 Q*5,6
поэтому в таком порядке (слева направо) в каскадной структуре и должны располагаться
соответствующие биквадратные звенья, которые формируются из полюсов и нулей, наиболее близко
расположенных друг к другу, т. е. имеющих близкие добротности. Поскольку в исследуемом случае все
нули лежат на единичной окружности, то их радиусы равны единице, и выбор нулей в пары с полюсами
целесообразно производить только по принципу близкого расположения, начиная с полюса максимальной
добротности. Тогда для формирования биквадратных звеньев получим следующие пары полюсов и нулей:
0,329611 0,497897 z 1 0,329611z 2
z 5, 6 ; z 5, 6 H 3 ( z ) 1 0,555577 z 1 0,843251z 2 ,
коэффициент масштабирования m3 = 1;
Кафедра №2, ВАС

13.

Третий учебный вопрос
13
1. Формирование биквадратных звеньев и расположение их в каскадной структуре.
Вследствие полученных результатов имеет место следующее соотношение добротностей полюсов:
Q*1,2 Q*3,4 Q*5,6
поэтому в таком порядке (слева направо) в каскадной структуре и должны располагаться
соответствующие биквадратные звенья, которые формируются из полюсов и нулей, наиболее близко
расположенных друг к другу, т. е. имеющих близкие добротности. Поскольку в исследуемом случае все
нули лежат на единичной окружности, то их радиусы равны единице, и выбор нулей в пары с полюсами
целесообразно производить только по принципу близкого расположения, начиная с полюса максимальной
добротности. Тогда для формирования биквадратных звеньев получим следующие пары полюсов и нулей:
0,329611 0,497897 z 1 0,329611z 2
z 5, 6 ; z 5, 6 H 3 ( z ) 1 0,555577 z 1 0,843251z 2 ,
коэффициент масштабирования m3 = 1;
0,329611 0,540254 z 1 0,329611z 2
z 3, 4 ; z 3, 4 H 2 ( z ) 1 0,828525z 1 0,852251z 2 ,
коэффициент масштабирования m2 = 0,66342;
Кафедра №2, ВАС

14.

Третий учебный вопрос
14
1. Формирование биквадратных звеньев и расположение их в каскадной структуре.
Вследствие полученных результатов имеет место следующее соотношение добротностей полюсов:
Q*1,2 Q*3,4 Q*5,6
поэтому в таком порядке (слева направо) в каскадной структуре и должны располагаться
соответствующие биквадратные звенья, которые формируются из полюсов и нулей, наиболее близко
расположенных друг к другу, т. е. имеющих близкие добротности. Поскольку в исследуемом случае все
нули лежат на единичной окружности, то их радиусы равны единице, и выбор нулей в пары с полюсами
целесообразно производить только по принципу близкого расположения, начиная с полюса максимальной
добротности. Тогда для формирования биквадратных звеньев получим следующие пары полюсов и нулей:
0,329611 0,497897 z 1 0,329611z 2
z 5, 6 ; z 5, 6 H 3 ( z ) 1 0,555577 z 1 0,843251z 2 ,
коэффициент масштабирования m3 = 1;
0,329611 0,540254 z 1 0,329611z 2
z 3, 4 ; z 3, 4 H 2 ( z ) 1 0,828525z 1 0,852251z 2 ,
коэффициент масштабирования m2 = 0,66342;
0,329611 0,329611z 2
z 1, 2 ; z 1, 2 H1 ( z ) 1 0,139881z 1 0,64714 z 2
коэффициент масштабирования m1 = 0,513342.
Кафедра №2, ВАС

15.

Третий учебный вопрос
15
1. Формирование биквадратных звеньев и расположение их в каскадной структуре.
Вследствие полученных результатов имеет место следующее соотношение добротностей полюсов:
Q*1,2 Q*3,4 Q*5,6
поэтому в таком порядке (слева направо) в каскадной структуре и должны располагаться
соответствующие биквадратные звенья, которые формируются из полюсов и нулей, наиболее близко
расположенных друг к другу, т. е. имеющих близкие добротности. Поскольку в исследуемом случае все
нули лежат на единичной окружности, то их радиусы равны единице, и выбор нулей в пары с полюсами
целесообразно производить только по принципу близкого расположения, начиная с полюса максимальной
добротности. Тогда для формирования биквадратных звеньев получим следующие пары полюсов и нулей:
0,329611 0,497897 z 1 0,329611z 2
z 5, 6 ; z 5, 6 H 3 ( z ) 1 0,555577 z 1 0,843251z 2 ,
коэффициент масштабирования m3 = 1;
0,329611 0,540254 z 1 0,329611z 2
z 3, 4 ; z 3, 4 H 2 ( z ) 1 0,828525z 1 0,852251z 2 ,
коэффициент масштабирования m2 = 0,66342;
0,329611 0,329611z 2
z 1, 2 ; z 1, 2 H1 ( z ) 1 0,139881z 1 0,64714 z 2
коэффициент масштабирования m1 = 0,513342.
Передаточная функция фильтра с учётом коэффициентов масштабирования имеет вид:
H ( z ) m1 H1 ( z ) m2 H 2 ( z ) H 3 ( z )
Кафедра №2, ВАС

16.

Третий учебный вопрос
16
2. Оптимизация структуры звеньев с целью достижения минимума собственного шума, приведённого к
Замечаем, что при неканонической структуре всех звеньев собственный шум фильтра составляет ≈ –10
прямая структура – каноническая структура – прямая структура
z 1
z 1
z 1
z 1
Рис. 1. Структурная схема фильтра
Кафедра №2, ВАС

17.

Третий учебный вопрос
17
3. Запись передаточной функции с учётом коэффициентов масштабирования.
С целью уменьшения числа умножителей и, как следствие, уменьшения собственного шума фильтра
коэффициенты масштабирования учитываются в предыдущем звена путём умножения коэффициентов его
числителя этого звена на этот коэффициент масштабирования. Это означает, что коэффициенты
числителя первого звена должны быть умножены на произведение коэффициентов масштабирования
первого и второго звеньев:
m = m1∙ m2 = 0,513342∙0,66342 = 0,34056134964 ≈ 0,340562.
Поэтому передаточная функция первого звена получает вид:
Hˆ 1 ( z )
0,329611 0,329611z 2 0,340562
0,1119122 0,111912z 2
1 0,139881z 1 0,64714 z 2
1 0,139881z 1 0,64714 z 2
а вся передаточная функция оказывается такой:
H ( z)
0,1119122 0,111912z 2
0,329611 0,540254z 1 0,329611z 2
1 0,139881z 1 0,64714 z 2
1 0,828525 z 1 0,852251z 2
0,329611 0,497897 z 1 0,329611z 2
.
1 0,555577 z 1 0,843251z 2
Кафедра №2, ВАС

18. Четвертый учебный вопрос

18
Система разностных
уравнений
Кафедра №2, ВАС

19. Четвертый учебный вопрос

19
Запись разностного уравнения фильтра с учётом канонической схемы второго звена:
y1 (n) 0,1119122x(n) 0,111912x (n 2) 0,139881y1 (n 1) 0, 64714 y1 (n 2);
v(n) y1 (n) 0,828525v(n 1) 0,852251v(n 2);
уравнения 2-го звена
y2 (n) 0,329611v(n) 0,540254v(n 1) 0,329611v(n 2);
y (n) 0,329611y (n) 0, 497897 y (n 1) 0,329611y (n 2) 0,555577 y (n 1) 0,843251y (n 2).
2
2
2
Кафедра №2, ВАС