Решение тригонометрических уравнений

1. Методы решения тригонометрических уравнений

2.

«Если вы хотите научиться плавать, то
смело входите в воду, а если хотите
научиться решать задачи, то решайте их!»
Д. Пойа
Желаю работать , желаю трудиться
Желаю успехов сегодня добиться
Ведь в будущем все это вам пригодится.
И легче в дальнейшем вам будет учиться

3. Общие формулы корней простейших тригонометрических уравнений.

1)
sin x a
а)
2)
cos x a
б)
3)
tgx=a,
4)
сtgx=a,
x arccos a 2 n
n
x =arcctg a + n.
n
в) x 1 n arcsin a n
г)
x arctga n
n
n
Поставьте в соответствие формулы уравнений и
их решений.

4. Уравнение, содержащее переменную под знаком тригонометрической функции, называется тригонометрическим

5. Способы решения тригонометрических уравнений

1. Тригонометрические уравнения, приводимые к алгеб-
раическим уравнениям относительно одной тригонометрической функции
2. Тригонометрические уравнения, решаемые путем
преобразований тригонометрическими формулами
3. Тригонометрические уравнения, решаемые путем
понижения степени уравнения
4. Решение однородных тригонометрических уравнений
5.Формулы универсальной тригонометрической
подстановки

6. 1. Тригонометрические уравнения, приводимые к алгебраическим уравнениям относительно одной тригонометрической функции

Рассмотрим пример.
2 sin 2 x 3 sin x 2 0
sin x t
2t 2 3t 2 0
D 9 16 25,
t1 2,
sin x 2,
нет решений
1
sinx ,
2
x 1
n
6
1
t2 .
2
n, n Z

7.

Рассмотрим пример 2.
3 cos 2 x 7 cos x,
co s 2 x 2 cos 2 x 1
3(2 cos 2 x 1) 7 cos x
6 cos 2 x 3 7 cos x 0
6 cos 2 x 7 cos x 3 0,
cos x a
6a 2 7 a 3 0
D 49 72 121
a1
3
,
2
1
a2 .
3
3
cos x , нет решений
2
1
1
cosx , x arccos 2 n, n Z
3
3
1
x ( arccos ) 2 n, n Z
3

8. 2. Тригонометрические уравнения, решаемые путем преобразований тригонометрическими формулами

Рассмотрим пример 1.
sin x sin 2 x sin 3 x 0, сгруппируем слагаемые (sin x sin 3x) sin 2 x 0
Применим формулу
sin sin 2 sin
2
cos
2
x 3x
x 3x
sin 2 x 0
cos
2
2
sin 2 x (2 cos x 1) 0
2 sin 2 x cos( x) sin 2 x 0,
2 sin
sin 2 x 0,
cos x
1
2
1
x arccos 2 n, n Z
2
2
2 n, n Z
x n, n Z , x
3
2
2
Ответ :
x n, x
2 n, п Z
2x n,
2
3
, получаем

9. 3. Тригонометрические уравнения, решаемые путем понижения степени уравнения

Пример.
cos 2 x cos 2 2 x cos 2 3 x cos 2 4 x 2
Используем формулы понижения степени cos 2
x 1 cos x
2
2
1 cos 2 x 1 cos 4 x 1 cos 6 x 1 cos 8 x
2
2
2
2
2
(cos 2 x cos 8 x) (cos 4 x cos 6 x) 0
2 cos 5 x cos 3 x 2 cos 5 x cos x 0
2 cos 5 x (cos 3 x cos x) 0,
cos 5 x 0;
5x
x
2
10
cos 2 x 0;
n;
n
5
2 cos 5 x cos 2 x cos x 0
;
2x
x
общее решение : x
2
4
10
n,
n
2
5
cos x 0
x
2
n, n Z
;
n, п Z
или х
1
п , п Z
5 2

10. 4. Решение однородных тригонометрических уравнений

Опр. Тригонометрическое уравнение называется однородным, если
показатели степени слагаемых равны.
Пример.
6 sin 2 x 3 sin x cos x cos 2 x 1
Используем равенство sin 2 x cos 2 x 1
6 sin 2 x 3 sin x cos x cos 2 x sin 2 x cos 2 x 0
5sin 2 x 3 sin x cos x 2 cos 2 x 0,
5tg 2 x 3tgx 2 0,
tgx a
5a 2 3a 2 0,
tgx 0,4;
разделим уравнение на cos 2 x 0,
D 9 40 49,
tgx 1
x1 arctg 0,4 n;
Ответ : - arctg0,4 n,
x
4
n,
4
n Z
n, n Z
a1 0,4; a 2 1

11. 5.Формулы универсальной тригонометрической подстановки:

12.

13.

14. Применение знаний

15. Итог урока

Что нового вы узнали на уроке?
Трудным ли показался вам учебный материал?
Что необходимо сделать, чтобы эта тема была
усвоена вами?