Методы решения простейших тригонометрических уравнений. Рекомендации по решению тригонометрических уравнений

1. Методы решения простейших тригонометрических уравнений

2.

Рекомендации по решению тригонометрических уравнений
1. Если аргументы функций одинаковые, попробовать получить одинаковые
функции, использовав формулы без изменения аргументов.
2. Если аргументы функций отличаются в два раза, попробовать получить
одинаковые аргументы, использовав формулы двойного аргумента.
3. Если аргументы функций отличаются в четыре раза, попробовать их привести к
промежуточному двойному аргументу.
4. Если есть функции одного аргумента, степени свыше первой, попробовать
понизить степень, используя формулы понижения степени или формулы сокращенного
умножения.
5. Если есть сумма одноименных функций первой степени с разными аргументами
(вне случаев 2,3), попробовать преобразовать сумму в произведение для появления
общего множителя.
6. Если есть сумма разноимённых функций первой степени с разными аргументами
(вне случаев 2, 3), попробовать использовать формулы приведения, получить затем
случай 5.
7. Если в уравнении есть произведение косинусов (синусов) различных аргументов,
попробовать свести его к формуле синус двойного аргумента, умножив и разделив это
выражение на синус (косинус) подходящего аргумента:
8. Если в уравнении есть числовое слагаемое (множитель), то его можно
представить в виде значений функции угла. Например:

3.

I. Приведение
тригонометрического уравнения
к алгебраическому виду.
II. Приведение к
однородному
уравнению первого
порядка
III. Приведение
уравнения к
однородному уравнению
II порядка
V. Понижение степени
IV. Разложение
левой части на
множители
VI.Трехчленное
уравнение

4. Решение уравнений разложением на множители

5.

Пример 1
2 cos x cos 2 x cos x
Решение:
2 cos x cos 2 x cos x 0
cos x 2 cos 2 x 1 0
x 2 n, n Z
x 2 n, n Z
cos x 0
cos 2 x 0,5
2 x 2 k , k Z x k , k Z
3
6
Ответ:
2
n, n Z
6
k , k Z

6. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям

7.

Пример 2
3 cos 2 x 10 cos x 3 0
Решение:
Пусть cos x t,
t 1
3t 2 10t 3 0
t1 1 / 3,
t2 3 , t 1
тогда
cos x 1 / 3
x arccos 1 / 3 2 n, n Z
ответ:
arccos 1/ 3 2 n, n Z

8. Пример 3

6 cos 2 x 5 sin x 7 0
Пример 3
Решение:
6(1 sin 2 x) 5 sin x 7 0
6 sin 2 x 5 sin x 1 0
1
sin x 2
1
sin x
3
n
x
1
n, n Z
6
n
x 1 arcsin 1 / 3 k , k Z
Ответ:
1 n n, n Z 1 n arcsin 1 / 3 k , k Z
6

9. Решение однородных и сводящихся к ним уравнений

10.

Пример 4
cos 3x sin 3x 0
Решение:
Т.к. значения x при которых cos3x равен нулю, не являются корнем
уравнения ,то разделим обе части уравнения
cos3x sin3x
0
cos3x cos3x
1 tg3x 0
tg3x -1
3x - /4 n, n Z
x - /12 n/3, n Z
ответ:
- /12 n/3, n Z

11. Пример 5

sin 2 x 2 sin x cos x 3 cos 2 x 0
Решение:
Уравнение является однородным второй степени
sin 2 x 2 sin x cos x 3 cos 2 x
0
2
2
2
cos x
cos x
cos x
tg 2 x 2tgx 3 0
cos x 0
tgx 1
x / 4 n, n Z
tgx 3 x arctg 3 k , k Z
ответ:
/ 4 n, n Z ; arctg 3 k , k Z

12. Пример 6:

5 sin 2 x 3 sin x cos x 6 cos 2 x 5
5 sin 2 x 3 sin x cos x 6 cos 2 x 5 sin 2 x cos 2 x
Решение:
3 sin x cos x cos 2 x 0
В этом уравнении нельзя делить на cosx
cos x 3 sin x cos x 0
x 2 n, n Z
cos x 0
x 2 n, n Z
3 sin x cos x 0
tgx 3
x k , k Z
6
3
Ответ:
2
n, n Z
6
k , k Z

13. Решение уравнений с помощью введения вспомогательного аргумента

14.

Пример 7
3
1
cos x sin x 1
2
2
Решение:
cos / 6 cos x sin / 6 sin x 1
cos x / 6 1
x / 6 2 n, n Z
x / 6 2 n, n Z
Ответ:
/ 6 2 n, n Z

15. Решение уравнений преобразованием суммы тригонометрических функций в произведение

16.

Пример 8
cos 3x sin 2x sin 4x 0
Решение:
cos 3 x sin 2 x sin 4 x 0
cos 3 x 2 sin x cos 3 x 0
cos 3 x 1 2 sin x 0
n
x
,n Z
3
x
n
,
n
Z
cos
3
x
0
6
3
2
1
sin
x
k
x 1 k k , k Z
x 1
k , k Z
2
6
6
Ответ:
6
n
3
,n Z
1 k k , k Z
6

17. Решение уравнений преобразования произведения тригонометрических функций в сумму

18.

Пример 9
sin 5x cos 3x sin 6x cos 2x
Решение:
1
1
sin 8 x sin 2 x sin 8 x sin 4 x
2
2
sin 2 x sin 4 x 0
2 sin x cos 3 x 0
x n, n Z
sin x 0
cos 3 x 0 x k , k Z
6
3
Ответ:
n, n Z
6
k
3
,k Z

19. Решение уравнений вида

Asinx+Bcosx=C
где
A,B,C
- действительные числа,
A,B 0
Решается подстановкой
x
1 tg
2
cos x
x
1 tg 2
2
x 2 n, n Z
2
sin x
x
2tg
2
1 tg 2
x
2

20. Пример 10

Решение:
3 cos x 4 sin x 5
x
3 1 tg 2 4 2tg x
2
2 5
x
x
1 tg 2
1 tg 2
2
2
x
x
x
3 3tg 2 8tg 5 5tg 2
2
2
2
x
x
4tg 2 4tg 1 0
2
2
2
x
2tg 1 0
2
x 1
tg
2 2
x 2arctg 1 / 2 2 n, n Z
Ответ:
2arctg 1 / 2 2 n, n Z

21. Библиография

Алексеев А. Тригонометрические подстановки. // Квант. – 1995. - №2. –с.
40 – 42.
Выгодский М. Я. «Справочник по элементарной математике». М.,
«Наука», 1982 г.
Г. И. Глейзер История математики в школе. – М.: «Просвещение» 1983г.
Карасев В.А., Лёвшина Г.Д. «12 уроков по тригонометрии» - М.: Илекса,
2013.- 200 с.:ил.
Крамор В.С. Тригонометрические функции. – М.: Просвещение, 1979.
Сост. Гряда Н. Н. и др. Обобщающее повторение в системе подготовки к
ЕГЭ по теме «Тригонометрические уравнения», Армавир, 2005г.
Цукарь А.Я. Упражнения практического характера по тригонометрии
//Математика в школе. 1993-№3- с 12-15.
Шаталов В.Ф. Методические рекомендации для работы с опорными
сигналами по тригонометрии. - М.: Новая школа, 1993.