Методы решения тригонометрических уравнений

1. Методы решения тригонометрических уравнений

2. Содержание

Метод замены переменной
Метод разложения на множители
Однородные тригонометрические уравнения
С помощью тригонометрических формул:
− Формул сложения
− Формул приведения
− Формул двойного аргумента

3. Метод замены переменной

С помощью замены t = sinx или t = cosx, где t ∈ [−1;1]
решение исходного уравнения сводится к решению
квадратного или другого алгебраического уравнения.
См. примеры 1 – 3
Иногда используют универсальную тригонометрическую
x
подстановку: t = tg
2
α
1 tg
1 t2
2
cos α
2
α
1
t
2
1 tg
2
2
α
2tg
2t
2
sin α
2
α
1
t
2
1 tg
2

4. Пример 1

2 sin 2 x 5 sin x 2 0
Пусть sin x t , где t 1; 1 , тогда
2t 2 5t 2 0
t1 2, не удовлетворяет условию t 1; 1
t 2 1 ;
2
Вернемся к исходной переменной
1
sin x
2
x 1 arcsin
n
1
πn , n Z
2
π
πn , n Z
6
n π
Ответ : 1
πn , n Z .
6
x 1
n

5. Пример 2

cos 2 x sin 2 x cos x 0
Поскольку sin 2 x 1 cos2 x , то
cos2 x 1 соs2x cos x 0
2cos 2 x cos x 1 0
Пусть соsx t , где t 1; 1 , тогда
2t 2 t 1 0
t1 1,
t 2 1 ;
2
Вернемся к исходной переменной :
x 2πk , k Z
соsx 1,
x 2πk , k Z
1
1
cos x ;
x arccos 2πn , n Z
x 2π 2πn , n Z
2
3
2
Ответ : 2πk , k Z ;
2π
2πn , n Z .
3

6. Пример 3

tg
x
x
3ctg 4
2
2
Поскольку ctg
Вернемся к исходной переменной
x
1
, то
2 tg x
2
tg
tg
x
3
4
x
2 tg
2
x
Пусть tg t , где t 0, тогда
2
3
t 4
t
t
t 2 4t 3 0
tg
t1 1
t 3
2
x
x
1,
arctg1 πn , n Z
2
2
x
x arctg 3 πk , k Z
3;
2
2
x
2 arctg1 πn , n Z
x arctg 3 πk , k Z
2
x π
2 4 πn , n Z
x 2arctg 3 πk , k Z
π
x
2πn , n Z
2
x 2arctg 3 2πk , k Z
Ответ :
π
2πn ; 2arctg 3 2πk ; n , k Z .
2

7. Метод разложения на множители

Суть этого метода заключается в том, что
произведение нескольких множителей равно нулю,
если хотя бы один из них равен нулю, а другие при
этом не теряют смысл:
f(x) · g(x) · h(x) · … = 0
⟺ f(x) = 0 или g(x) = 0 или h(x) = 0
и т.д. при условии существования каждого из сомножителей
См. примеры 4 – 5

8. Пример 4

1
2
sin x cos x 0
3
5
1
sin x 3 0,
cos x 2 0;
5
x
x
1
sin
x
,
3
cos x 2 ;
5
1
1
n
n
x 1 arcsin πn , n Z
1 arcsin πn , n Z
3
3
2
x π arccos 2 2πk , k Z
arccos 2πk , k Z
5
5
Ответ : 1 arcsin
n
1
2
πn ; π arccos 2πk ; n ,k Z .
3
5

9. Пример 5

2sin x cos 5x cos 5x 0
cos 5x 2sin x 1 0
2 sin x 1 0,
cos 5x 0;
1
sin
x
,
2
cos 5x 0;
1
n
x
1
arcsin
πn , n Z
2
5x π πk , k Z
2
n π
x
1
πn , n Z
6
x π πk , k Z
10
5
π πk
n π
Ответ : 1
πn , n Z ;
, k Z.
6
10
5

10. Однородные тригонометрические уравнения

Уравнение вида a sin x + b cos x = 0 называют
однородным тригонометрическим уравнением
первой степени.
a sin x + b cos x = 0
a sin x b cos x
0
cos x + cos x = cos x
a tg x + b = 0
b
tg x = –
a
: cos x
Замечание.
Деление на cos x допустимо, поскольку решения
уравнения cos x = 0 не являются решениями
уравнения a sin x + b cos x = 0.

11. Однородные тригонометрические уравнения

Уравнение вида a sin2x + b sin x cos x + c cos2x = 0
называют однородным тригонометрическим
уравнением второй степени.
: cos2x
a sin2x + b sin x cos x + c cos2x = 0
a sin2x
b sin x cos x
c cos2x
0
+
=
+
2x
2
2
cos
cos x
cos2x
cos x
a tg2x + b tg x + c = 0
Далее, вводим новую переменную tg x = t и решаем
методом замены переменной.
Замечание. Если в данном уравнении а = 0 или с = 0
то, уравнение решается методом разложения
на множители.

12. Пример 6

2sin x 3cos x 0
: cos x
2 sin x 3 cos x
0
cos x
cos x
cos x
2tgx 3 0
tgx
3
2
3
x arctg πn , n Z
2
Ответ : arctg
3
πn , n Z .
2
Пример 7
: cos 2x
sin 2x cos 2x 0
sin 2x cos 2x
0
cos 2x cos 2x cos 2x
tg 2x 1 0
tg 2x 1
π
2x πn , n Z
4
π πn
x
, n Z
8
2
π πn
Ответ :
, n Z.
8
2

13. Пример 8

sin 2 x 3 sin x cos x 2cos 2 x 0
sin 2 x 3 sin x cos x 2cos 2 x
0
2
2
2
cos x
cos x
cos x
: cos2 x
tg 2x 3tgx 2 0
Пусть tgx t , тогда
t 2 3t 2 0
t1 1
t 2
2
Вернемся к исходной переменной :
π
tgx 1,
x
πn , n Z
4
tgx 2;
x arctg 2 πk , k Z
Ответ :
π
πn ; arctg 2 πk ; n ,k Z .
4

14. Пример 9

3 sin x cos x cos2 x 0
cos x 3 sin x cos x 0
3 sin x cos x 0,
cos x 0;
: sin x
3 сtgx 0,
ctgx 3
x n, n Z ;
x n, n Z ;
2
2
5
x arсrсc 3 k , k Z ,
x
k , k Z ,
6
x n, n Z ;
x n, n Z .
2
2
Ответ :
5
k ;
6
2
n; n, k Z .

15. Пример 10

sin 3 x sin 2 x cos x 3 sin x cos2 x 3cos3 x 0
: cos3 x
sin 3 x sin 2 x cos x 3 sin x cos2 x 3cos3 x
0
3
3
3
3
cos x
cos x
cos x
cos x
tg 3x tg 2x 3tgx 3 0
tg 2x tgx 1 3 tgx 1 0
tg
2
x 3 tgx 1 0
tg x 3 0,
tgx 1 0;
2
tg x 3,
tgx 1;
2
x arctg 3 πk , k Z ,
x π πn , n Z ;
4
Ответ :
tgx 3 ,
x π πn , n Z ;
4
π
x
πk , k Z ,
3
x π πn , n Z .
4
π
π
πn ; πk ; n , k Z .
4
3

16. Пример 11

3 sin 2 3x 2 3 sin 3x cos 3x 5cos2 3x 2
cos2 3x sin 2 3x
3 sin 2 3x 2 3 sin 3x cos 3x 5 cos 2 3x 2 cos 2 3x sin 2 3x
3 sin 2 3x 2 3 sin 3x cos 3x 5cos2 3x 2cos2 3x 2sin 2 3x 0
sin 2 3x 2 3 sin 3x cos 3x 3cos2 3x 0
: cos2 3x
sin 2 3x 2 3 sin 3x cos 3x 3 cos 2 3x
0
2
2
2
cos 3x
cos 3x
cos 3x
tg 2 3x 2 3tg 3x 3 0
Вернемся к исходной переменной
Пусть tg 3x t , тогда
tg 3x 3
3x arctg 3 πn , n Z
t 2 2 3t 3 0
3
t 3 0
π
πn , n Z
3
π πn
x
,n Z
9
3
t 3
Ответ :
t 2 3t
2
t 3
2
0
2
0
3x
π πn
, n Z.
9
3

17. С помощью тригонометрических формул

1. Формулы сложения:
sin (x + y) = sinx cosy + cosx siny
sin (x − y) = sinx cosy + cosx siny
cos (x + y) = cosx cosy − sinx siny
cos (x − y) = cosx cosy + sinx siny
tg (x + y) =
tg (x − y) =
tgx + tgy
1 − tgx tgy
tgx − tgy
1 + tgx tgy
сtgx сtgy − 1
сtg (x + y) =
сtgу + с tgх
сtgx сtgy + 1
сtg (x − y) =
сtgу − с tgх

18. Пример 12

3 cos x sin x 1
:2
3
1
1
cos x sin x
2
2
2
3
π 1
π
Заметим, что
cos ,
sin , тогда
2
6 2
6
π
π
1
cos cos x sin sin x
6
6
2
π
1
cos x
6
2
π
1
x arccos 2πn , n Z
6
2
π π
x 2πn , n Z
3 6
π π
Ответ : 2πn , n Z .
3 6

19. Пример 13

π
π
sin x cos x 3
3
6
π
π
π
π
π
π
sin x cos x sin cos x cos sin x cos cos x sin sin x
3
3
6
6
3
6
3
1
3
1
cos x sin x
cos x sin x 3 cos x
2
2
2
2
3 cos x 3
cos x 1
x 2πn , n Z
Ответ : 2πn , n Z

20. С помощью тригонометрических формул

2. Формулы приведения:
π
sin t cos t
2
sin π t sint
π
cos t sin t
2
cos π t cos t
3π
sin
t cos t
2
3π
cos
t sin t
2
sin 2π t sin t
cos 2π t cos t
π
tg t ctg t
2
tg π t tg t
π
ctg t tg t
2
ctg π t ctg t
3π
tg
t ctg t
2
tg 2π t tg t
3π
ctg
t tg t
2
ctg 2π t ctg t

21. Лошадиное правило

В
старые
добрые
времена
жил
рассеянный математик, который при
поиске ответа менять или не менять
название функции (синус на косинус),
смотрел на свою умную лошадь, а она
кивала
головой
вдоль
той
оси
координат,
которой
принадлежала
точка,
соответствующая
первому
слагаемому аргумента π/ 2 + α или π + α.
Если лошадь кивала головой вдоль оси
ОУ, то математик считал, что получен
ответ «да, менять», если вдоль оси ОХ,
то «нет, не менять».

22. С помощью тригонометрических формул

3. Формулы двойного аргумента:
sin 2x = 2sinx cosx
cos 2x = cos2x – sin2x
2tgx
tg 2x =
1 – tg2x
ctg2x – 1
ctg 2x =
2ctgx
cos 2x = 2cos2x – 1
cos 2x = 1 – 2sin2x

23. Пример 14

sin 4x cos 2x 0
2sin 2x cos 2x cos 2x 0
cos 2x 2sin 2x 1 0
cos 2x 0,
2 sin 2x 1 0;
cos 2x 0,
sin 2x 1 ;
2
π
2
x
πn , n Z
2
2x 1 k arcsin 1 πk , k Z
2
Ответ :
π πn
,n Z;
4
2
π πn
x
,n Z
4
2
x 1 k π πk , k Z
12
2
π πk
1
, k Z.
12
2
k

24. С помощью тригонометрических формул

4. Формулы понижения степени:
sin 2 α
1
1 cos 2α
2
1
cos α 1 cos 2α
2
2
sin α cos α
1
sin 2α
2
sin α cos α 2 1 sin 2α
5. Формулы половинного угла:
α
1 cos α
sin
2
2
α
sin α
1 cos α
tg
2 1 cos α
sin α
α
1 cos α
2
2
α
sin α
1 cos α
ctg
2 1 cos α
sin α
cos

25. С помощью тригонометрических формул

6. Формулы суммы и разности:
cos α cos β 2cos
α β
α β
cos
2
2
α β
β α
cos α cos β 2 sin
sin
2
2
sin α sin β 2 sin
α β
α β
cos
2
2
α β
α β
sin α sin β 2 sin
cos
2
2
sin( α β )
tg α tg β
cos α cos β
sin( α β )
tg α tg β
cos α cos β
sin( α β )
ctg α ctg β
sin α sin β
ctg α ctg β
sin( β α )
sin α sin β

26. С помощью тригонометрических формул

7. Формулы произведения:
1
cos α cos β cos α β cos α β
2
1
sin α sin β cos α β cos α β
2
1
sin α cos β sin α β sin α β
2

27. Мнемоническое правило “Тригонометрия на ладони”

Очень часто требуется знать
наизусть значения cos, sin, tg, ctg
для углов 0°, 30°, 45°, 60°, 90°.
Но если вдруг какое-либо значение
забудется, то можно
воспользоваться правилом руки.
Правило: Если провести линии
через мизинец и большой палец,
то они пересекутся в точке,
называемой “лунный бугор”.
Образуется угол 90°. Линия мизинца образует угол 0°.
Проведя лучи из “лунного бугра” через безымянный, средний,
указательный пальцы, получаем углы соответственно 30°, 45°, 60°.
Подставляя вместо n: 0, 1, 2, 3, 4, получаем значения sin, для
углов 0°, 30°, 45°, 60°, 90°.
Для cos отсчет происходит в обратном порядке.