Методы решения тригонометрических уравнений

1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

2. Способы решения тригонометрических уравнений

• Уравнения , приводимые к квадратным
уравнениям
• Однородные уравнения
• Разложение на множители
• Замена переменной
• Метод вспомогательного угла
• Понижение степеней

3. МЕТОД СВЕДЕНИЯ УРАВНЕНИЯ К КВАДРАТНОМУ

3sin2x – 5sinx – 2 = 0
2sin2x + 3cosx = 0

4. Уравнения, приводимые к квадратным

• Схема решения
• Шаг 1. Привести уравнение к
алгебраическому виду относительно
одной из тригонометрических функций.
• Шаг 2. Обозначить полученную функцию
переменной t (если необходимо, ввести
ограничения на t).
• Шаг 3. Записать и решить полученное
алгебраическое уравнение.
• Шаг 4. Сделать обратную замену.
• Шаг 5. Решить простейшее
тригонометрическое уравнение.

5. МЕТОД СВЕДЕНИЯ УРАВНЕНИЯ К КВАДРАТНОМУ

3 sin x 5 sin x 2 0
2
sin x t
3t 5t 2 0
2
D 25 24 49
1
t
3
t 2
ответ:
1
sin x
3
x 1
n 1
1
arcsin n, n Z
3
sin x 2
x 1
n 1
НЕ ИМЕЕТ РЕШЕНИЯ
1
arcsin n, n Z
3

6. МЕТОД СВЕДЕНИЯ УРАВНЕНИЯ К КВАДРАТНОМУ

2 sin x 3 cos x 0
2
D 9 16 25
1
2(1 cos x) 3 cos x 0 t 2
2
2 2 cos x 3 cos x 0 t 2
2
2 cos 2 x 3 cos x 2 0
cos x t
2t 3t 2 0
2

7. МЕТОД СВЕДЕНИЯ УРАВНЕНИЯ К КВАДРАТНОМУ

cos x 2
НЕ ИМЕЕТ РЕШЕНИЯ
1
cos x
2
x 2 n, n Z
3
2
x 2 n, n Z
3
ответ:
2
х
2 n, n Z
3

8. МЕТОД РАЗЛОЖЕНИЯ НА МНОЖИТЕЛИ

2сos x 3 cos x 0
2
cos x 2 cos x 3 0
cos x 0
2сosx 3 0
2сosx 3 0
x
2
n, n Z
х 2 k
6
5
x
2 k , k Z
6

9.

МЕТОД РАЗЛОЖЕНИЯ НА МНОЖИТЕЛИ
ответ:
x
2
n, n Z
5
x
2 k , k Z
6

10.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ:
Уравнение вида
аsinx + bcosx = 0
называют однородным тригонометрическим
уравнение первой степени.
Алгоритм решения однородного
тригонометрического уравнения первой
степени:
Деление обеих частей уравнения на cosx,
cosx ≠ 0.

11.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ:
Уравнение вида
a sin2x + b sinx cosx + c cos²x = 0
называют однородным тригонометрическим
уравнением второй степени.

12. Метод решения однородных уравнений (первой и второй степеней)

Схема решения
Шаг 1. Привести данное уравнение к
виду
a) a sin x + b cos x = 0 (однородное
уравнение первой степени)
или к виду
б) a sin2 x + b sin x · cos x + c cos2 x = 0
(однородное уравнение второй
степени).

13. Метод решения однородных уравнений (первой и второй степеней)

(первой и второй степеней)
Шаг 2. Разделить обе части уравнения на
а) cos x ≠ 0;
б) cos2 x ≠ 0;
и получить уравнение относительно tg x:
а) a tg x + b = 0;
б) a tg2 x + b arctg x + c = 0.
Пример 1: Решите уравнение
3 cosx - 2 sinx = 0.
Решение:

14. Метод решения однородных уравнений (первой и второй степеней)

3 cosx - 2 sinx = 0/: cosx,
3 – 2 tgx= 0,
tgx= 1,5,
x = arctg1,5 +πn, nϵZ
Ответ: x = arctg1,5 +πn, nϵZ

15. Метод решения однородных уравнений (первой и второй степеней)

Пример 2:
5sin2 x + 3sin x · cos x – 4 = 0.
Решение.
1) 5sin2 x + 3sin x · cos x – 4(sin2 x +
cos2 x) = 0;
5sin2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos2 x
= 0;
sin2 x + 3sin x · cos x – 4cos2 x = 0 /cos2 x
≠ 0.

16.

ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ
5sinx + 6cosx = 0
3sin2x +sinxсosx =2cos2x

17. ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ

5 sin x 6 cos х 0
sin x
cos x
0
5
6
cos x
cos x cos x
5tgx 6 0
6
tgx
5
ответ:
x arctg 65 n, n Z
6
x arctg n, n Z
5

18. ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ

3 sin 2 x sin x cos x 2 cos 2 x
sin 2 x sin x cos x
cos 2 x
3
2
0
2
2
cos x
cos x
cos x
3tg 2 x tgx 2 0
tgx t
tgx 1
3t 2 t 2 0
x arctg1 n
D 1 24 25
t 1
2
t
3
x
4
n, n Z
2
tg
3
2
x arctg k , k Z
3

19.

ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ответ:
x
4
n, n Z
2
x arctg k , k Z
3

20. Методы использования различных тригонометрических формул

• Схема решения
• Шаг 1. Используя всевозможные
тригонометрические формулы,
привести данное уравнение к
уравнению, решаемому методами I, II,
III.
• Шаг 2. Решить полученное уравнение
известными методами.

21. Методы использования различных тригонометрических формул

Пример.
sin x + sin 2x + sin 3x = 0.
Решение:
1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;
2sin 2x · cos x + sin 2x = 0.
2) sin 2x · (2cos x + 1) = 0;
sin 2x = 0 или 2cos x + 1 = 0;

22. Методы использования различных тригонометрических формул

Из первого уравнения
2x = π/2 + πn, n ϵZ;
из второго уравнения: cos x = -1/2.
Имеем х = π/4 + πn/2, n ϵ Z;
получим x = ±(π – π/3) + 2πk, k ϵ Z.
В итоге х = π/4 + πn/2, n ϵ Z;
x = ±2π/3 + 2πk, k ϵ Z.
Ответ: х = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 +
2πk, k ϵ Z.

23.

Формулы.
Универсальная подстановка.
x
2tg
2 ;
sinx
x
1 tg 2
2
x
1 - tg
2;
cosx
x
1 tg 2
2
2
x
2 ;
tgx
x
1 tg 2
2
2tg
х + 2 n;
Проверка
обязательна!
Понижение степени.
= (1 + cos2x ) : 2
cos 2 x
sin 2 x
= (1 – cos 2x) : 2
Метод вспомогательного аргумента.
a cosx +b sinx заменим на C sin(x+ ), где
sin =
а
;
С
cos =
b
;
С
С a 2 b2 ;
- вспомогательный аргумент.

24.

Правила.
Увидел квадрат – понижай степень.
Увидел произведение – делай сумму.
Увидел сумму – делай произведение.

25.

лицей №90 Балагурова-Шемота
Н.Ю.
25

26.

,
и
.
3 sin x tgx tgx sin x 3
sin x 1
cos x 0
sin x 1
tgx 3
3 tgx 0
tgx 3
x
3
k
лицей №90 Балагурова-Шемота
Н.Ю.
7
,
2 4
k Z
26

27. Ответ:

3
2
3
5
3
лицей №90 Балагурова-Шемота
Н.Ю.
27

28.

лицей №90 Балагурова-Шемота
Н.Ю.
28