Методы решения тригонометрических уравнений

1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Учитель математики
МБОУ СОШ №9 г. Уфы
В.М.Хабибуллина

2.

МЕТОДЫ
РЕШЕНИЯ
УРАВНЕНИЙ
• сведения уравнения к
квадратному
• разложения на
множители
• решение однородных
уравнений

3. МЕТОД СВЕДЕНИЯ УРАВНЕНИЯ К КВАДРАТНОМУ

3sin2x – 5sinx – 2 = 0
2sin2x + 3cosx = 0

4. МЕТОД СВЕДЕНИЯ УРАВНЕНИЯ К КВАДРАТНОМУ

3 sin x 5 sin x 2 0
2
sin x t
3t 5t 2 0
2
D 25 24 49
1
t
3
t 2
ответ:
1
sin x
3
x 1
n 1
1
arcsin n, n Z
3
sin x 2
x 1
n 1
НЕ ИМЕЕТ РЕШЕНИЯ
1
arcsin n, n Z
3

5. МЕТОД СВЕДЕНИЯ УРАВНЕНИЯ К КВАДРАТНОМУ

2 sin x 3 cos x 0
2
D 9 16 25
1
2(1 cos x) 3 cos x 0 t 2
2
2 2 cos x 3 cos x 0 t 2
2
2 cos 2 x 3 cos x 2 0
cos x t
2t 3t 2 0
2

6. МЕТОД СВЕДЕНИЯ УРАВНЕНИЯ К КВАДРАТНОМУ

cos x 2
НЕ ИМЕЕТ РЕШЕНИЯ
1
cos x
2
x 2 n, n Z
3
2
x 2 n, n Z
3
ответ:
2
х
2 n, n Z
3

7. МЕТОД РАЗЛОЖЕНИЯ НА МНОЖИТЕЛИ

2сos x 3 cos x 0
2
cos x 2 cos x 3 0
cos x 0
2сosx 3 0
2сosx 3 0
x1
2
n, n Z
х2 2 k
6
5
x2
2 k , k Z
6

8.

МЕТОД РАЗЛОЖЕНИЯ НА МНОЖИТЕЛИ
ответ:
x1
2
n, n Z
5
x2
2 k , k Z
6

9.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ:
Уравнение вида
аsinx + bcosx = 0
называют однородным тригонометрическим
уравнением первой степени.
Алгоритм решения однородного
тригонометрического уравнения первой
степени:
Деление обеих частей уравнения на cosx,
cosx ≠ 0.

10.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ:
Уравнение вида
a sin2x + b sinx cosx + c cos²x = 0
называют однородным тригонометрическим
уравнением второй степени.

11.

Алгоритм решения однородного тригонометрического
уравнения второй степени:
1.Посмотреть, есть ли в уравнении член asin2 x.
2.Если член asin2 x в уравнении содержится (т.е. а ≠ 0), то
уравнение решается делением обеих частей уравнения на
cos2x и последующим введение новой переменной.
3.Если член asin2 x в уравнении не содержится (т.е. а = 0),
то уравнение решается методом разложения на
множители: за скобки выносят cosx.

12.

ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ
5sinx + 6cosx = 0
3sin2x +sinxсosx =2cos2x

13. ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ

5 sin x 6 cos х 0
sin x
cos x
0
5
6
cos x
cos x cos x
5tgx 6 0
6
tgx
5
ответ:
x arctg 65 n, n Z
6
x arctg n, n Z
5

14. ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ

3 sin 2 x sin x cos x 2 cos 2 x
sin 2 x sin x cos x
cos 2 x
3
2
0
2
2
cos x
cos x
cos x
3tg 2 x tgx 2 0
tgx t
tgx 1
3t 2 t 2 0
x1 arctg1 n
D 1 24 25
t 1
2
t
3
x1
4
n, n Z
2
tgx
3
2
x2 arctg k , k Z
3

15.

ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ответ:
x1
4
n, n Z
2
x2 arctg k , k Z
3

16.

А, В, С 0
УРАВНЕНИЯ ВИДА: А cos x + B sin x = C,
МЕТОДЫ:
1) Универсальная подстановка
x
x
х + 2 n;
1 - tg 2
2tg
Проверка обязательна!
2
2
cosx
;
sinx
;
x
2
2 x
1
tg
1 tg
2
2
2) Метод вспомогательного аргумента
a cosx +b sinx заменим на C sin(x+ ), где
sin =
а
;
С
cos =
b
;
С
С a b ;
2
2
- вспомогательный аргумент.

17.

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА
Вариант 1
Вариант 2
На «3»
На «3»
1) 3 sin x+ 5 cos x = 0
1) cos x+ 3 sin x = 0
2) 5 sin2 х - 3 sinх cos х - 2 cos2х =0 2) 6 sin2 х - 5 sinх cos х + cos2х =0
На «4»
На «4»
1) 3 cos2х + 2 sin х cos х =0
1) 2 sin2 x – sin x cosx =0
2) 5 sin2 х + 2 sinх cos х - cos2х =1 2) 4 sin2 х - 2sinх cos х – 4 cos2х =1
На «5»
1) 2 sin x - 5 cos x = 3
2) 1- 4 sin 2x + 6 cos2х = 0
На «5»
1) 2 sin x - 3 cos x = 2
2) 2 sin2 х - 2sin 2х +1 =0

18.

ОТВЕТЫ
Вариант 1
5
arctg
k , k Z
1)
3
2) k , arctg 0,4 n, k , n Z
4
1) 2 k , arctg1,5 n, k , n Z
2) k , arctg 0,5 n, k , n Z
4
1) 2arctg ( 1 5 ) 2 k , k Z
2) k , arctg 7 n, k , n Z
4
Вариант 2
1
1) arctg k , k Z
3
1
2) arctg k , arctg 1 n, k , n Z
3
2
1
1) k , arctg 2 n, k , n Z
2) k , arctg 5 n, k , n Z
4
3
1) 2arctg 5 2 k ,
2
2 n, k , n Z
2) k , arctg 1 n, k , n Z
4
3